2023届高考数学复习专题 ★★圆锥曲线压轴训练（Word版含解析）

1、试卷第 =page 4 4页，共 =sectionpages 4 4页试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页2023届高考数学复习专题 圆锥曲线压轴1已知直线与圆有公共点，且公共点的横纵坐标均为整数，则满足的有（）A40条B46条C52条D54条2设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是_3椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.4已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中

2、点位于第一象限内(1)求双曲线的方程；(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由5已知直线l1：yk1x和l2：yk2x与抛物线y22px（p0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y2x+p分别相交于P，Q两点，且(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；(2)求POQ面积的最小值6在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M满足记M的轨迹为C(1)求C的方程；(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值7已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.(1)求椭圆

3、的方程；(2)若，的最大值；(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若和点共线，求实数的值.8已知点分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.(1)求证：；(2)求证：为定值，并求出该定值；(3)求的最大值.9如图，已知点分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且，连接，且交于点Q(1)当时，求点B的横坐标；(2)若的面积为，试求的值10抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，(1)若的面积为，求的值及圆的方程(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T

4、，求|的取值范围.答案第 = page 19 19页，共 = sectionpages 19 19页答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页参考答案：1A【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点对称的两点所连直线，关于x轴对称的两点所连直线（不含），关于y轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用几何意义得到原点到直线的距离小于等于，利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与比较后发现不合要求，进而继续求解第二小弦长，第三小弦长，求出原点到每类直线的距离，与比较得到

5、结论，利用组合知识求出答案.【详解】圆上的整数点共有12个，分别为，如图所示，由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去其中变形为，几何意义为原点到直线的距离小于等于，这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类，以下为具体情况：，弦长为的直线有4条，此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去，弦长为的直线有8条，此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去，弦长为的直线有8条

6、，此时原点到此直线的距离为，满足要去，其他情况弦长均大于，故均满足要求，由组合知识可知：满足要求的直线条数为：故选：A【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案.2【分析】设，将转化成探求线段长最值问题求解作答.【详解】依题意，设，显然圆C与直线l相离，当且仅当时取“=”，当时，其中锐角由确定，此时，当且仅当时取“=”，当时，其中锐角由确定，此时，当且仅当时取“=”，显然，因此，当时，则，所以的最小值是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为

7、自变量，借助三角函数解决.3(1)(2)【分析】（1）根据椭圆过的点以及椭圆的离心率，可列出等式，求得a,b，即得答案；（2）分类讨论直线AB的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设直线AB方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，根据条件求出参数之间的关系式，进而表示出四边形的面积，进行化简，可求得答案.（1）椭圆经过点，,椭圆的离心率为，则，即,即，解得， 所以椭圆的方程为.（2）当直线斜率不存在时，设以AB为直径的圆的圆心为，则 ，则不妨取，故，解得 ，故方程为，直线过中点，即为轴，得，故；直线斜率存在时，设其方程为，联立，可得，则，以为直径的圆过原点即，化简可得，将两式代入，整理得，

8、即，将式代入式，得恒成立，则，设线段中点为，由，不妨设 ，得，又，又由，则点坐标为，化简可得，代回椭圆方程可得即，则，综上，四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆相交时的四边形的面积的最大值问题，综合性强，计算量大，解答的关键是表示出四边形ACBD的面积，并能进行正确的化简，求得最值.4(1)(2)证明见解析(3)存在，2【分析】（1）根据题意可得，即可求解的值，进而得到双曲线方程；（2）设直线的方程及点的坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，得到的值，进而得到点的坐标，计算的值即可；（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得，再证明对直线存在斜率的情形也成立，将角度问

9、题转化为斜率问题，即，即可求解.(1)解：由题可知：，c2，双曲线C的方程为：(2)证明：设直线的方程为：，另设：，又直线的方程为，代入,同理，直线的方程为，代入,，,故为定值.(3)解：当直线的方程为时，解得，易知此时为等腰直角三角形，其中 ，即，也即：，下证：对直线存在斜率的情形也成立，结合正切函数在上的图像可知，5(1)(2)【分析】（1）联立方程，求出，表达出线段AB的中点M的坐标，消去参数，求出轨迹方程；（2）设直线，与抛物线联立，求出两根之和，两根之积，表达出弦长，进而表达出面积，换元后，求出最小值.(1)联立，解得：，把代入得：，所以，同理可得：，则线段AB的中点M的坐标为，因为

10、，所以，消去得：所以线段AB的中点M的轨迹方程为(2)设，则直线，与联立得：，则，所以，同理可得：，则，其中，解得：，设直线，与抛物线联立得：，则，又，所以，则，所以，点O到直线PQ的距离为，所以POQ面积为，令，则，所以，当，即时，POQ面积取得最小值，最小值为.【点睛】抛物线相关的弦长或面积问题，一般设出直线方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，根据题干条件得到等量关系，用一个变量表达出弦长或面积，求出最值或取值范围.6(1)(2)证明过程见解析【分析】（1）利用椭圆定义求轨迹方程；（2）设出直线l为：，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长，再求出AB中点，进而表达出

11、AB的垂直平分线，求出P点坐标，得到的长，得到为定值.(1)由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，所以，所以C的方程为(2)设直线l为：，则联立得：，设，则，则，AB中点坐标为，所以AB的垂直平分线为，令得：，所以，【点睛】直线与椭圆结合问题，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，表达出弦长或面积，进而求解定值或取值范围等.7(1)(2)(3)【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到，结合的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出两点坐标，由三点共线得到方程，化简后得到.(1)由题意得：焦距

12、为，得，点坐标代入椭圆方程得：，解得：，所以椭圆的标准方程为.(2)设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，则，则，易得当时，故的最大值为.(3)设，则，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，由，及，代入可得，又，所以，所以，同理可得.故，因为三点共线，所以.将点，的坐标代入，通分化简得，即.【点睛】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数.8(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析，定值为1(3)4【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出；（2）利用点到直线距离公

13、式得到，结合，求出，结合第一问的结论证明出为定值1；（3）利用向量线性运算及点在直线的同侧得到，结合第二问得到，再用投影向量的知识得出，其中为的夹角），结合第一问结论得到，利用基本不等式求出最值.(1)联立与得：，由直线与椭圆有一个公共点可知：，化简得：；(2)由题意得：，因为，所以，故，其中，所以，为定值，该定值为1；(3)，由题意得：点在直线的同侧，所以，（其中为的夹角），由此可知：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4.【点睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点.9(1)；(2).【分析】（1）设

14、出点A，B的坐标，利用给定条件列出方程组，求解方程组即可作答.（2）延长交椭圆C于D，可得，再结合图形将用的面积及表示，设出直线AD方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理求出即可求解作答.(1)设，依题意，由，得，即，由得，两式相减得，即有，则，即，由得，所以点B的横坐标为(2)因，则，即有，记，则，即同理，而，连并延长交椭圆C于D，连接，如图，则四边形为平行四边形，有点D在直线上， 因此， 因此，即，设直线，点，有，即，则，由消去x并整理得：，有，则，于是得，解得，所以【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，则面积；过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，则面积.10(1)，圆的方程为(2)【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到，结合面积求出，圆的方程为；（2）表达出关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出，从而利