常考压轴01线段长问题-2020年中考数学特训营

1、 【十大必考考点特训】解题策略指导01线段长问题求线段长度问题，是中考数学中一个非常重要的问题.尤其是在选择题或填 空题的压轴题中特别常见，例如 2019年内蒙古巴彦淖尔中考、2019年内蒙古鄂 尔多斯市、2019四川乐山市、2019天津市中考、2019山西省中考、2019江苏省 常州市中考、2019江苏省无锡市、2019江苏省镇江市、2019重庆市中考A卷、 2019重庆市中考B卷这些城市中考数学试卷所出现的计算某线段的长度或某多 边形的周长等难度较大，综合性太强，试题的区分度较大.要求学生有很好的知 识基础和很强的知识综合运用能力以及分析问题、解决问题的能力.解决有关线段长度问题有其基本的

2、或者说常用的解决策略，要灵活运用好这些基本策略才能解决好这种类型的问题.策略一：最亲民的勾股定理法可以说，所有计算长度问题的方法中，勾股定理是最常用的，或者说使用频 率是最高的.但，压轴题当中的求线段长度，肯定不是直接使用勾股定理能够解决的. 一定不 会出现你想要的直角三角形，所以我们要构造包含所求线段的直角三角形， 这是 我们解决问题的关键.当然，构造直角三角形也就是过某点作垂线， 可能会有多 种方法作辅助线，需要一定的经验和尝试.灵活处理，学会变通.策略二：最高大上的三角函数法支在计算长度问题时，勾股定理虽然很好用，但有时计算量太大，因为它需要 开方运算，使用不是太方便，而如果能很好地借助

3、三角函数来解决有关线段长度 问题，经常会带来出其不意的效果.当然,我们要很好地利用三角函数，首先要将所求的问题放在一个直角三角 形内，一般是不会直接给我们直角三角形的， 所以关键也是添加辅助线一一作垂 线，构造直角三角形，然后利用特殊角的三角函数去解决问题.策略三：最深奥的相似三角形法支相似三角形是很好地一种计算线段长度的工具，只所以说它深奥，是因为在 一个复杂的图形中，可能会有多对相似三角形，我们到底用哪一对相似三角形来 求问题当中的线段长，这也能是所有同学学习和使用相似三角形时最大的感触， 其实，我们只要抓住问题的核心，先从直观上看可能相似的三角形大概有哪几对， 再结合所求的问题，找出它们

4、的关系即可以很快地找出我们所需要的相似三角 形，然后找出所求及与所求线段对应的线段， 其它一对对应线段要根据已知条件 去找，已知到谁的长度，我们就用谁，当然，如果其他两对都未知，可以通过设 未知量的方法来表示.策略四：最易忽略的建立坐标系法有些几何问题，尤其是求一些线段长度问题，在平面几何知识范围内不方便 解决，我们可以借助平面直角坐标系，可以将其问题转化为代数问题，这种方法 很多时候最容易被我们所忽略，其实这种方法使用在不少时候是很方便的，不仅 求线段长，证明线段相等，线段之间的数量关系都可以使用.当你在几何范围内不能顺利解决时，千万不要忘了通过建系、设点的坐标、 两点之间距离公式这种方法可

5、以很好的解决问题.【十大常考压轴题特训】特训01线段长问题题量：10题；分值：100分；推荐时间：60分钟问题1 （2019年内蒙古巴彦淖尔中考）如图，在正方形 ABCD中，AB 1 ,点E , F分别在边 BC和CD上，AE AF , EAF 60 ,贝U CF的长是（）C. V3 1问题2. （2019年内蒙古鄂尔多斯市）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点 O,且EG/BC ,将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕 MN过点G .若 AB 祁，EF 2 , H 120 ,则DN的长为（D. 273 V6问题3. （2019四川乐山市）如图，在边长为J3的菱形ABCD中,B 30

6、,过点A作AE BC于点E ,现将AF与CD交于点G .则CG等于 ABE沿直线AE翻折至 AFE的位置,B. 1A.3 1问题4. （2019天津市中考）如图，正方形纸片ABCD的边长为12, E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点 A落在AE上的G点，并使折痕经过点 B,得到折痕BF,点F在AD上，若 DE=5,则GE的长为问题5. （2019山西省中考）如图，在AABC 中，/BAC=90, AB=AC=10cm,点 D 为AABC 内一点，ZBAD=15, AD = 6cm,连接BD,将9BD绕点A逆时针方向旋转，使 AB与AC重合，点 D的对应点 巳连接DE, DE交AC于点F

7、,则CF的长为 cm.问题6. （2019江苏省常州市中考）如图，在矩形 ABCD中，AD = 3AB=3，10,点P是AD的中点，点 E在BC上，CE =2BE,点M、N在线段BD上.若/ PMN是等腰三角形且底角与/ DEC相等，则MN =问题7. （2019江苏省无锡市）如图，在 ABC中，AC:BC:AB=5:12:13, OO在 ABC内自由移动，若。O的半径为1,且圆心O在 ABC内所能到达的区域的面积为 ，则4 ABC的周长为3问题8. （2019江苏省镇江市）如图，菱形 ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方， 对角线BD的长是310,点E （2,

8、0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动.当 点F （0,6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）10A .三 3B,匹16 C. 3D. 3问题9. （2019重庆市中考A卷）如图，在 ABC中，D是AC边上的中点, 连结BD,把 BDC沿BD翻折，得到 BDC,DC与AB交于点E,连结AC,若AD = AC=2, BD=3,则点D至ij BC的距离为（）B.721C.市D. V13问题10. （2019重庆市中考B卷）如图，在 4ABC 中，Z ABC = 45 , AB=3, ADXBC 于点 D, BEAC 于点 E, AE=

9、1 ,连 接DE,将 AED沿直线AE翻折至 ABC所在的平面内，得 AEF,连接DF .过点D作 DGLDE交BE于点G.则四边形 DFEG的周长为（）D. 372+2【十大常考压轴题特训】特训01线段长问题题量：10题；分值：每小题 10分，共计合计100分；推荐时间：60分钟问题1. （2019年内蒙古巴彦淖尔中考）如图，在正方形 ABCD中，AB 1 ,点E , F分别在边 BC和CD上， AE AF ,EAF 60 ,贝U CF的长是（）C. V3 1【分析】由正方形的性质得出/B=Z D = Z BAD =90, AB= BC= CD = AD = 1 ,证明RtAABE 9 Rt

10、ADF 得出/ BAE=Z DAF ,求出/ DAF = 15,在 AD 上取一点 G,使/ GFA=11/DAF = 15 ,则 AG =FG, / DGF = 30 ;由直角二角形的性质得出DF=5FG=/AG, DG3DF,设 DF=x,贝U DG=$x, AG=FG = 2x,贝U 2x+3 x=1,解得：x= 2 得出DF = 2 即可得出结果.【解答】Q四边形ABCD是正方形,ZB=Z D = Z BAD = 90, AB= BC = CD= AD= 1 ,.一AE= AF在 RtAABE 和 RtAADF 中，,AB = ADRtAABE RtAADF ,/ BAE = / DA

11、F, . / EAF = 60 ； / BAE + / DAF = 30 ； ./ DAF = 15,在AD上取一点 G,使/ GFA=Z DAF =15,如图所示: .AG=FG, / DGF = 30 ；.DF = ；FG=；AG, DG = 3DF, 22设 DF = x,贝U DG =43x, AG=FG = 2x,则 2x+3 x= 1,得出 DF = 2R3 .CF=CD DF= 1(2/3,根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，.DN + CM=2PG=/6,.,.DN = 6-j3;故选：A.【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、

12、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题 的关键.问题3. （2019四川乐山市）如图，在边长为 J3的菱形ABCD中， B 30 ,过点A作AE BC于点E ,现将 ABE沿直线AE翻折至 AFE的位置，AF与CD交于点G .则CG等于1A. 73 1B. 1C.2【分析】A要求CG的长，可以先利用解直角三角形求出BE长，再根据翻折性质得到 BF,从而求出CF=BF-BC = 2BE-BC,最后根据 ADG s AFCG ,得出与CG有关的比例式， 即可求得CG长.【解答】在 Rt AABE 中，/ B = 30 , AB = 3, 3BE 一 2，根据折

13、叠可得，BF = 2BE = 3,.CF = BF BC=3 13,. AD / CF.ADG s CG,.-,AD- = DGCF CG33-CG3CG解得CG=#1 故选A 以及折叠的相关性质、平【点评】本题重点考查了菱形的有关性质，解直角三角形的方法, 行线分线段成比例定理及推论、相似三角形的性质，综合性较强.问题 4. (2019天津市中考)如图，正方形纸片 ABCD的边长为12, E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点 A落在AE上的G点，并使折痕经过点 B,得到折痕BF , 点F在AD上，若 DE = 5,则GE的长为 .【分析】由折叠及轴对称的性质可知， ABFA GBF,

14、 BF垂直平分 AG ,先证 ABFDAE,推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在 RtAADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出 AG的长，GE的长.【解答】.四边形 ABCD为正方形，.AB=AD=12, /BAD = /D=90 ,由折叠及轴对称的性质可知，ABFAGBF, BF垂直平分AG , BFXAE, AH = GH, ./ FAH + Z AFH = 90 ,又 / FAH + Z BAH = 90 , ./ AFH = / BAH,ABFADAE (AAS),.-.AF=DE = 5,在 RtAADF 中,BF= ：AB2+AF2 = 122 + 52 = 1

15、3,11Sa ABF = /AB?AF = /BF ?AH ,12X5= 13AH ,60AH =13,120 . AG= 2AH = -13 , AE= BF= 13,.GE= AE-AG = 13120 491313,49故答案为：”.13【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理, 面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质.问题5. （2019山西省中考）如图，在AABC 中，/BAC=90, AB=AC=10cm,点 D 为AABC 内一点，ZBAD=15, AD = 6cm,连接BD,将9BD绕点A逆时针方向旋转，使

16、AB与AC重合，点 D的对应点 巳连接DE, DE交AC于点F,则CF的长为 cm.【分析】求线段长的一般方法有三种：勾股定理； 三角函数；相似三角形.不论是利用勾股定理还是三角函数，都需要有直角三角形作为媒介，而此处并没有和CF有关的直角三角形，所以我们需要添加垂线构造一个直角三角形.如何添加辅助线，需要经验，更需要的是尝试，此处我们可以过A作AG DE比较方便，构造 RtAAFG,在RtAAFG中，我们可以求得 AF,进而求出CF.【解答】过点 A作AGLDE于点G,由旋转可知：AD = AE, Z DAE = 90, Z CAE = Z BAD ./ AED = 45;在 AAEF 中：

17、/ AFD = / AED+Z CAE = 60在 RtAADG 中:AG=DGAD2在 RtAAFG 中:GF=AG=3、6,AF = 2FG= 26.-，CF=AC-AF=10 26故答案为：10 - 26【点评】本题灵活地考查了等腰直角三角形的性质、图形旋转的性质、利用解直角三角形，以及三角形内角和定理及推论的有关知识，很好地将这些知识融合为一体，综合性较强，区分度较大，能很好地考查学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力.本题的关键在于作辅助线构造直角三角形以及通过内角和定理推论找出/AFG的度数.问题6. （2019江苏省常州市中考）如图，在矩形 ABCD中，AD = 3AB=3诟，

18、点P是AD的中点，点 E在BC上，CE =2BE,点M、N在线段BD上.若 PMN是等腰三角形且底角与/ DEC相等，则MN =.【分析】作 PFMN于F,则/ PFM =/ PFN = 90 ,由矩形的性质得出 AB= CD , BC = AD= 3AB=3T0 , /A=/C=90 ,得出 AB= CD= .,70 , BD = ：AB2+AD2 =10, 证明PDFsBDA,得出PF = PD,求出PF = 3,证出CE=2CD,由等腰三角形的性质AB BD2得出 MF = NF, / PNF = Z DEC ,证出 PNFA DEC ,得出 NF = CE = 2,求出 NF = PF

19、 CD2PF = 3,即可得出答案.【解答】作PFXMN于F,如图所示：则/ PFM = Z PFN = 90 ,四边形ABCD是矩形，.AB=CD, BC=AD= 3AB= 3河 ,/A=/C = 90AB=CD=Vl0, BD = AB2+ AD2 =10,点P是AD的中点,1PD = 2 AD =3 102. / PDF = Z BDA, . PDFA BDA,3 10,PFABPD 口. PF 2心即诉=3解得：PF.CE=2BE,BC= AD=3BE, 3 ，BE=CD,，CE=2CD, PMN是等腰三角形且底角与/ DEC相等，PFXMN ,.MF=NF, / PNF = Z DE

20、C,. / PFN = Z C=90 ,. PNFA DEC,.NF CE 一 2 PF CD NF= 2PF = 3,MN = 2NF = 6;故答案为：6.【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键.问题7. （2019江苏省无锡市）如图，在 ABC中，AC:BC:AB=5:12:13, OO在 ABC内自由移动，若。O的半径为 1,且圆心O在4ABC内所能到达的区域的面积为 10 ,则 ABC的周长为310 一EFG的面积，利用面积为W可【分析】如图，由题意知圆心 。所能到达的区

21、域是 EFG,由 EFGAAC B,可以得出 EFG三边比例也为 5 ： 12 ： 13,设其中一边就可表示出4以求得 EFG的三边长，从而可以求出 ABC的三边长，也就求出了其周长.【解答】如图，由题意知点。所能到达的区域是 EFG,连接AE,并延长AE交BC于H,作 HM AB 于 M, EK AC 于 K,作 FJ AC 于 J. EG / AB, EF / AC, FG / BC, ./ EGF = /ABC, /FEG = /CAB,EFG s AACB.EF : FG : EG= AC : BC : AB=5 ： 12 ： 13设 EF = 5k,则 FG = 12k, EG= 1

22、3k110- 2 5k 12k=3解得k= 13_ 5EF=3.四边形EKJF是矩形，_ 5.kj = ef=3设 AC=5m,则 BC=12m, AB= 13m易证 HAC 9 HAM.AM=AC=5m, CH = HM , BM = 8m,设 CH=HM = x在Rt BHM中，由勾股定理得 x2+(8m)2= (12m x)2解得x= m 31.EK/CH管=第a=绘 m , 一 33 525解得ak=2ac = ak+kj + cj=2+3+1=1 25. bc = 5刈2 =101 2565AB = 5 X6- M3= .ABC 的周长=AC+BC + AB=25+10 + 65=

23、25 66故答案为25【点评】本题是一道与动点有关的问题，难度较大一题，计算量较大，综合性很强，考查的 知识较多，既考查了三角形的全等、相似的性质和判定， 又有解直角三角形等知识，解题的关键在于理解题意，学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，本题属于中考填空题中的压轴题，也是一道非常好的题目.问题8. （2019江苏省镇江市）如图，菱形 ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方， 对角线BD的长是3/10,点E （2, 0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动.当 点F （0,6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长

24、等于（）10A-彳D. 3【分析】如图，当点 P恰好在AB的中点时，作FG PE于G,连接EF.首先说明点 G 与点E重合时，FG的值最大，如图中，当点 G与点E重合时，连接 AC交BD于H, PE 交BD于J,设BC = 2a,利用相似三角形的性质构建方程即可求解.【解答】如图1,当点P恰好在AB的中点时，作 FG，PE于G,连接EF .,. E ( 2, 0), F (0, 6) .OE = 2, OF =6, EF=、OE2+OF2 = % 22+ 62 = 2/i0 . / FGE = 90.FG & EF当G与E重合时，FG的值最大.如图2,当G与E重合时，连接 AC交BD于H, P

25、E交BD于J,设BC= 2a,. PA=PB, BE=EC=a.PE / AC, BJ = JH四边形ABCD是菱形,八,1010.-.AC BD, BH=DH=, BJ = -fcr- 36.-.PE BD0. / BJE=/ EOF = Z PEF=90EBJ=Z FEO . BJE s AEOF TOC o 1-5 h z .BE BJ -=-EF EO10,a _6,而=丁5斛得a=310 BC = 2a= 3故选A【点评】本题重点考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短的相关知识,解决本题的关键在于添加辅助线构造相似三角形.此题是很好的一道中考压轴题.区分度较大.问题9.

26、 （2019重庆市中考A卷）如图，在 ABC中，D是AC边上的中点, 连结BD,把 BDC沿BD翻折，得到 BDC,DC 与AB交于点E,连结 AC,若 AD = AC =2, BD=3,则点D至ij BC的距离为（）C. 73 21B-7 【分析】连接 CO,交BD于点M,过点D作DHLBC于点H,由翻折知， BDCABDC, BD垂直平分 CC,证 ADC为等边三角形， 利用解直角三角形求出 DM = 1 , CM = 3dM = %3, BM = 2,在RtBMC中，利用勾股定理求出 BC的长，在 BDC中禾U用 面积法求出DH的长.【解答】如图，连接 CC,交BD于点M,过点D作DHL

27、BC于点H,AD=AC =2, D是AC边上的中点,DC = AD = 2,由翻折知， BDCA BDC, BD垂直平分 CC,DC = DC=2, BC = BC, CM = CM,.AD： AC = DC=2,.ADC为等边三角形，.Z ADC=Z ACD=Z CAC=60 , DC = DC, 1./ DCC = /DCC= /60 = 30 ,在 RtACDM 中，/DCC=30 , DC=2,DM = 1, CM = 3DM=V3,，BM=BD DM =3- 1 = 2,在 RtABMC43,BC=BM2+ CM2 =正+函）2 =取11Sbdc=2 BC?DH=BD?CM ,. .、:DH =3X 3,3 21DH =故选：B.【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度.问题10. （2019重庆市中考B卷）如图，在 4AB