高中数学直线与圆地方程知识点总结

1、y y yy1x1x-高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角： 找 ：直线向上方向、 x轴正方向；平行： =0；X围： 0 180。2、斜率： 找 k： k=tan 90；垂直：斜率 k不存在；X围：斜率 kR。3、斜率与坐标： ktan 1 2 21 x2 x2构造直角三角形数形结合；斜率 k值于两点先后顺序无关；注意下标的位置对应。4、直线与直线的位置关系：l1:ykxb,l:ykxb11222相交：斜率k1k 前提是斜率都存在2特例-垂直时： 1l1x轴，即 k不存在， 那么k；12斜率都存在时： 1k1k。 2平行： 斜率都存在时： k1k2 ,b1b2； y=(a-1)(x

2、+2)+3令： x+2=0过点 (-2,3)含有两个参数 -(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令： 3x+y=、0 2y-x-1=联0立方程组求解 =必过点 (-1/7,3/7)4、易错辨析：讨论斜率的存在性：1 / 18-解题过程中用到斜率，一定要分类讨论： 1率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。注意 “截距可正可负，不能 “错认为截距就是距离，会丢解； 求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。2 / 18.AaBbC-直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。圆的方程1.定义：一个动点到一

3、个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径 .2.圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程2yDxEyF2x0其中圆心DEC，,222EF2D4半径 r.2当 D40时，方程表示一个圆， 2E2F2E2F当 D40时，方程表示一个点2E2F当 D40时，方程无图形 .第二种：圆的标准方程 圆2()22(xayb.其r中点)第三种：圆的参数方程 圆的参数方程：注：圆的直径方程： A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(y)03.点和圆的位置关系：给定点 (,)M及圆 x0yM在圆 C内 (xaybr 220)()00222M在圆 C上M在圆

4、C外4.直线和圆的位置关系： x0a)(yb2)r2022(xaybr0)()02yb2rr2B22设圆圆 C： ()()(0)AxB；yCxa；直线 l： 0(A0)ED,22C(a,b为) 圆心， r为半径的xya r cos b r sin为参数C:(xa)y.b2)2()22圆心 C(a,b到)直线 l 的距离 d.2B2Adr时， l与 C相切；dr时， l与 C相交；，1 / 18-dr时， l与 C相离 .5、圆的切线方程：一般方程假设点 (x0,y0)在圆上，那么过圆 2y r2x上一点 有一条 )2P(,y0)的切线方程为(x a)0 a)+ b)0 b)=R2.特别地，2x

5、0 xyy.r(注 :该点在圆上，那么切线方程只02 / 18R222-y1假设点 (x0,y0)不在圆上，圆心为 (a,b那)么y k(x x0by11 0k(a2R1)x ) ， 联立求出 k切线方程 .注：1过圆外的点引切线必定有两条 ,假设联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X 轴的直线。6.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：2x+E2y+2F=0那么过两圆的交点圆方程可设为： x2x+y+ =0C2:x 2+y2+y2+DC1:x 2+D1x+E1y+F1=01x+E1y+F1=0 x1x+E1y+F1+2+y2+D2+y2+D2+y2+D过两圆的交点的直

6、线方程：7.与圆有关的计算：弦长的计算： AB=2 R2-d2 2x1x+E1y+F1-x2+y2+D+y+D程就是直线方程2+y2+D2x+E2y+F2=0 两圆的方程相减得到的方 2x+E2y+F2=0 两圆的方程相减得到的方-d2 其中 R 是圆的半径， d等于圆心到直线的距离2AB= 1+k * X1-X2 其中 k是直线的斜率， X1与 X2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题 圆上的点到直线的最短距离圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离减去半径=圆心到直线的距离加上半径假设 P x， y是在某个

7、圆上的动点，那么 x-a / y-b的最值可以转化为圆上的点与该点 a， b的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。假设 Px，y是在某个圆上的动点，那么求 x+y或 x-y的最值可以转化为：设 T=x+ T=x-，y在圆上找到点 (X,Y使)得以 y=x+ y=x- Y轴上的截距最值化。9.圆的对称问题圆关于的直线对称，那么对称后的圆半径与圆半径是相等的，只需求出圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。假设某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，那么这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆 心坐标圆锥曲线椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长定长大于两定点间距离的点的集

8、合1、定义： PF1P2a(2a1)第二定义： (01)222、标准方程： xyab221(ab0)PFcda或 yxab221(ab0)1 / 18ee；aPFF-3、参数方程xa cos yb sin4、几何性质：只给出焦点在、顶点 (a,0),(0,b)为参数几何意义：离心角x轴上的的椭圆的几何性质、焦点 (c,0)c 、离心率 e(0e1)a2准线： xc5、焦点三角形面积：6、椭圆面积： Sab椭课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出Sb设 F1P (推导过程必须会 )2tan122了解即可7、直线与椭圆位置关系：相离 0；相交0； 相切 0判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别

9、式判断根的个数8、椭圆切线的求法1切点 xy时，002切线斜率 k时，9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离22xy221(0)22ab abya221(0)ab ab22xyab221(ab0)22yxab221(ab0)22xy221(0)abab 22yx221(0)ababraex左加右减0raey下加上减01 / 18切线切线切线切线xxyy00221abyyxx00221ab222ykxakb222ykxbka-双曲线PFcda1、定义： PF1P2a第二定义： e(e1)2 / 18a-2、标准方程：参数方程：3、几何性质顶点 (a,0)22xyab221(a0,b0)22yxab22

10、1(a0,b0)xa sec yb tan焦点在 x轴焦点在 y轴为参数用法：可设曲线上任一点 P(asec,btan)焦点 (c,0)22b2离心率 e c e 12准线 x ac22渐近线 xyab221(a0,b0)22yx 221(0,0)ab ab4、特殊双曲线22、等轴双曲线 xy221aa22、双曲线 xy221abyxab或yxab或e2渐近线 yx的共轭双曲线22xy221ab22xy220ab22yx220ab性质 1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质 2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系 相离 0； 相切 0；相交 HYPERLINK

11、 l _bookmark1 0判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式22xy221(0,0)点 P在右支上 rea 左加右减abab点 P在左支上 r(exa)左加右减01 / 1822(0) ypxp2-22yxab221(a0,b0)7、双曲线切线的求法切点 P(x0,y0)切线斜率 K8、焦点三角形面积：点 P在上支上 rea 下加上减点 P在上支上 r(eya)下加上减0PFF22xyab221(a0,b0)22yxab221(a0,b0)22xy221ab22yx221abSb为 F1P2cot122切线切线ykxakbkykxabkkx

12、xyy00221abyyxx00221abb222()a222(b)a抛物线1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合轨迹2、几何性质：标准方程：P几何意义：焦准距焦点到准线的距离设为 P22(0)ypxp图像：X 围： x0 x0对称轴：顶点：焦点：离心率：准线：2x轴 x轴0， 0 0， 0 pp,0 ,022e1e1p x标准方程： 22(0)xpyp图像：X 围： y0y0对称轴： y轴 y轴px22(0)xpyp1 / 18-定点： 0， 0 0，焦点： 0，0p2 (0,)p2离心率： e1e1准线：y2 t为参数方程3、参数方程 x2pty2pt 4、通径：过焦点且垂

13、直于对称轴的弦2椭圆：双曲线通径长 2bay22(0)ypxp抛物线通径长 2Pp2p25、直线与抛物线的位置关系1相交有两个交点或一个交点 2相切有一个交点；3相离没有交点6、抛物线切线的求法1切点 P(x,y)：002切线斜率 K：22(0)ypxp的切线； y0yp(x)22(0): pypxpykx 2k22(0): pypxpykx 2k222(0):xpypykx 2pk22(0):xpypykx此类公式填空选择或解答题中局部可作公式直接应用附加：弦长公式： ykxb与曲线交与两点 A、 B 那么2pk22dABxx1kyy121212解题指导：轨迹问题：(一 )求轨迹的步骤 1、

14、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点1kp x， y2、立式：写出适条件的 p点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式 f x， y =04、化简：化成简单形式，并找出限制条件1 / 18-5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上二求轨迹的方法2 / 18, 2154 52 =-1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹2、定义法：利用或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线， 然后联立，消去变量即可。5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点

15、的横坐标和纵坐标，联立消参。6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。弦长问题： |AB|(=1k)()4弦的中点问题：中点坐标公式2xxx。x21212-注-意应用判别式。 .求曲线的方程1曲线的形状这类问题一般可用待定系数法解决。例 1 1994年全国直线 L过原点，抛物线 C的顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上。假设点 A -1， 0和点 B 0， 8关于 L的对称点都在 C 上，求直线 L和抛物线 C 的方程。分析：曲线的形状，可以用待定系数法。设出它们的方程， L： y=kx0),C:y/设 A、 B关于 L的对称点分别为 A、 B2=2px(p0).，那

16、么利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/ / 得：k2-k-1=得： k= .得： k=2k2k1 525,p=.251 2k /216k8(k1) 。因为 A/、 B/均在抛物线上，代1 k 1， B ,2k2 1入，消去 p，/、 B/均在抛物线上，代 k1 入，消去 p，所以直线 L的方程为： y=x,抛物线 C的方程为 y2= x.252曲线的形状未知 -求-轨迹方程例 3 1994年全国直角坐标平面上点 Q 2， 0和圆C：x2+y2=1,动M点 M到圆 C的切线长与 |MQ的| 比等于常数 0 ,N求动点 M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。1 / 18-分析：如图，设 MN切圆 C

17、 于点 N，那么动点 M组成的OQ2 / 18-集合是：P=M|MN|=|M，Q由|平面几何知识可知： |MN|可得： ( 2-1)(2x+y2)-x+(1+2=0.当=1时它表示一条直线；当 1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。2=|MO2-|ON2=|MO2-|1，将 M点坐标代入， .研究圆锥曲线有关的问题B1有关最值问题C例 6(199全国 )设椭圆中心为坐标原点， x在上，离心率，OAx3 到这个椭圆上的点的最远距离是 7，点P0，2求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 P的距离等于 7的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键 是将点 P 到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函

18、数的知识求其最大值。22xy设椭圆方程为 122ab设 Q(x,椭圆上任意一点，那么 :3 得： a2=4，所以 x2=4b2-4y 22 2=4，所以 x2=42b-4y，那么由 e=1|PQ|=假设 b 22)x(y=，那 么 -32121得： 2 2 b=7-与 b，0a,0且斜率为 1的直线 L与抛物线交于不同的两点 A、B， |AB|2p。 1求 a的取值 X；围2 / 181 22- 2假设线段 AB的垂直平分线交 x轴于点 N，求 NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于 1，可以设法得到关于 a的不等式，通过解不等式求出 a的 X 围，即： “求 X 围，找不等式。或者将 a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a的 X 围；对于 2首先要把 NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值 ,即： “最值问题，函数思想 。解： (1)直线 L的方程为： y=x- y=x-入抛物线方程物线两交点的坐标分别为 A x1,y1 ,B(,y2)，那么222121212|AB|(xx)(yy)2(