高中数学阶段质量检测(一)解三角形新人教A版必修5

1、阶段质量检测（一）解三角形（时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.在ABC中，a=k,b=J3k（k0）,A=45,则满足条件的三角形有（）A.0个B.1个2个D.无数个解析：选A由正弦定理得一工=b-B，sinAsinBsin B=bsinsin B=bsinA 61,即sin B 1,这是不成立的.所以没有满足此条件的三角形.2.在 ABC4形.2.在 ABC43,A=彳,BC= 3, AB=强，则 C=()3B 37t兀CN兀D. 6解析：选C由BC AB解析：选C由BC ABsin A sin

2、 C得sin C=半.BC= 3, AB=邓,，AC,则 C为锐角，故 C=；BC= 3, AB=邓,，AC,则 C为锐角，故 C=；43.在 ABC43, a=15, b=20, A= 30 ,则 cos B=(A.土 _J一32 B.-3C.解析：选A因为sin A sinB所以就且sin B解得sin B= 3因为ba,所以BA,故B有两解，所以cosB=*.34.在 4.在 ABC43,已知(b+c) ： (c + a)：(a+ b) = 4 ： 5 ： 6,则 sin A： sin B sin C等于（A.C.4：5：6C.解析：选B/(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6,

3、b+cc+aa+b人b+cc+aa+b丁=k=令丁=k=k=k(k0)，7a=2k,b+c=4k,一，5，则c+a=5k,解得b=/k,a+b=6k,c=2k.sin A : sinB：sinC=a：b：c=7：5sin A : sin,一一,一2Acbi.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin则ABC的形状22c为（）B.直角三角形D.B.直角三角形D.等腰直角三角形C.等腰三角形解析：选B由已知可得解析：选B由已知可得1 cos A 1 b2- 2-2c，即cosA=b=ccosA.c由余弦定理得cos A=b由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bcb2+c2-a2

4、2bc，所以c2=a2+b2,由此知ABE直角三角形.法二：由正弦定理，得sinB=sinCcosA.在ABC43,sinB=sin(A+C),从而有sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA,即sinAcosC=0.在ABC43,sinAw0, TOC o 1-5 h z -一兀一所以cosC=0.由此得C=-2,故ABC直角三角形.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16隹，则三角形的面积为（）A.22B.82C.2D.当.一，abc解析：选C-_=-=-Z=2R=8,sinAsinBsinC.sinC=c,ab=labsinC=黑喀f.8216167

5、.在ABC中，三边长分别为a-2,a,a+2,最大角的正弦值为专,则这个三角形的面积为（）15A.4解析：选B二.三边不等，最大角大于60.设最大角为a,故a所对的边长为a+ 2, sin5a,故 a= 5口=喙，,a=120.由余弦定理得(a+2)2=(a2)2+a2+a+ 2, sin5a,故 a= 5故三边长为3,5,7,S；Aabc=13X5Xsin120=竺8.如图,在 ABC8.如图,在 ABC中，D是边AC上的点,且 AB= AD,2AB= BQBC=2BQ 贝UsinC的值为（）B-i.sin C=.sin C=祟 sin A=个BC2a36C3C.3解析：选D设 BD= a,

6、贝U BC= 2a,AB= AD= 解析：选D设 BD= a,贝U BC= 2a,AB= AD= -2a.在 AB计,由余弦定理，得A百+aD-bD 岁a 2+乎a2-a2C0S A 2AB AD13.二、填空题（本大题共7二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填22又A为ABC勺内角，.-sinA=.3BCAB在ABB,由正弦定理得，京7=在题中木It线上）a9.在a9.在 ABC中，已知cos A cos B cos C则这个三角形的形状是解析：由正弦定理sin A sin B sin C: =解析：由正弦定理sin A sin B sin C: =导

7、acesin A sin B sin C cos Acos B cos C1. tan A= tan B=解析：由题意得,b1 2 + c2+a2bca2 + 2bccos A+ a2bc=2cos A+ 2sin A= 2/2sin A+亍 &2y12,从而所求最大值tanC,，A=B=C,三角形ABE等边三角形.答案：等边三角形.在ABC43,B=30,C=120,则A=,a：b：c=.解析：A=180B-C=30,由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC,即a：b：c=sin30:sin30:sin120=1：1：/3.答案：301：1：。3 TOC o 1-5 h z .,

8、.兀.已知ABC4内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=,b=2acosB,c3=1,则B=,ABC勺面积等于.解析：由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sin=J3，又BC(0,兀)，所以B=,3,3兀又八=b=,则aABC正三角形，3，1133所以Skabc=2bcsinA=2x1x1x-2-=-.兀/3答案：-7.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2a,B=A+60。，则A=,三角形的形状为.解析：.b=2a,由正弦定理，得sinB=2sinA,又B=A+60,sin(A+60)=2sinA,即JsinA+乎cosA=2sin

9、A,.tanA=哗.又0vAv180，.=A=30,B223=90.答案：30直角三角形ACABBC.已知三角形ABC中，BC边上的图与BC边长相等，则献耐AB.AC勺最大值是是22.在ABC,已知cosA=3,cosB=5-,b=3,则sinC=513解析：在ABO,cosA=30,5sinA=.5 cos12B= cos12B=逅B=0,sin13.sinC=sin兀一(A+B)=sin(A+B)=sin A=sin Acos B+ cos Asin4 5_ 3 12_56 B= 5X13+ 5X13=65.由正弦定理知s=sn飞3X56bsinC6514c=sinB12513答案:56答

10、案:5665147.太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的距离是km.解析：如图，/CAB=15。，ZCBAf18075=105,/ACB=18010515=60,AB=1(km).、一BCAB由正弦定理得京./sin/CABsin/ACBBC=.：。sin15=#一户(km).sin60243设C到直线AB的距离为d,则d=BCsin75。=限*理克=当(32346答案：-736三、解答题（本大题共5三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(

11、14分)在ABC43,a=3,b=2B=2A求cosA的值;3 2,6.sin A sin 2 3 2,6.sin A sin 2 A解：（1）因为a=3,b=2郃,B=2A,所以在ABC,由正弦定理得所以YsA等.故cosA=哗.sinA33(2)由(1)知cosA=率,所以sinA=Jicos2A=f.3又因为B=2A,所以cosB=2cos2A1=；.3所以sinB= yi - cos 2B=在 ABC, sin C= sin( A+ B)=sin Acos B+ cos A所以sinB= yi - cos 2B=在 ABC, sin C= sin( A+ B)=sin Acos B+

12、cos Asin_asin C所以 c=5.17.（15分）如图，观测站C在目标A的南偏西200方向，经过 A处有一条南偏东40走向的公路，在 C处观测到与 C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得A之间的距离.解：由已知，得 CD- 21 km, BC= 31 km, B 20 km,在bcdK由余弦定理，得cos / BDC=cD+bD- bC _2CD- BD =C, D相距 21 km,求 D,设/ ADC= a ,则 cos a17, sin4.3 a = 7 ,在acdK由正弦定理得,AD CDsin ZACD sin / CAD得AD寸 s

13、in得AD寸 sin60 + a sin 6042所以 A sin(60+ a )=下专cos a + 7sin ,3 22= 15(km),即所求D, A之间的距离为15 km.18.(15分)如图，某海轮以18.(15分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得 海面上油井P在南偏东60 ,向北航行40分钟后到达B点，测得油井 P在南偏东30 ,海轮改为北偏东 60的航向再行驶 80分钟到达C 点，求P, C间的距离.解：由题意知 AB= 40, /A= 120 , / ABP= 30 ,所以/ APB= 30 ,所以 AP= 40,所以 BFP=A+AF2-2AP- AB co

14、s 120= 402+402 2X40X40X_1 =402X3,所以BP=403.4又/PBC=90,BC=604=80,3所以pC=bP+BC2=(40小)2+802=11200,所以PC=40.7海里.(15分)已知ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin(2A+B)=2sinA+2cos(A+B)sinA(1)求bb的值;(2)若ABC勺面积为专,且a=1,求c的值.解：(1)-.sin(2A+B)=2sinA+2cos(A+B)sinA,.sinA+(A+B)=2sinA+2cos(A+B)sinA,A= 2sin A,sin(A+B)cosAcos(A+B)sin

15、A= 2sin A,sinB=2sinA,由正弦定理得 b= 2a,a 1 b由正弦定理得 b= 2a,a 1 b= 2.(2) . a=1,b=2,1SiL abc= absin1C= 2x1X2Xsin3所以sinC=八1皿.八cos C= 2时，八1皿.八cos C= 2时，- cos C=a2+ b2 c2 1 + 4c22abc= 3.1)cos C= 2时，cos C=a2+b2c21 + 4 c22ab2，c= 7.故c=y3或c=y7.(15分)在AB8,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足sinA+43cosA=2.(1)求角A的大小;_兀_1ABC勺(2)现给出三个条件：a=2；B=彳；c=，3b.试从中选出两个可以确定ABC勺条件，写出你的方案并以此为依据求ABC勺面积.(写出一种方案即可)7t7t解：(1)依题意得7t7t解：(1)依题意得 2s