2022版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第7节立体几何中的向量方法一-证明平行与垂直学案北师大版

1、2021版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第7节立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直学案北师大版PAGE PAGE 31第7节立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知 识 梳 理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq o(AB,sup6()为直线l的方向向量，与eq o(AB,sup6()平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(2)平面的法向量可利用方

2、程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为eq blc(avs4alco1(na0，,nb0.)2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0常用结论与微点提醒1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等

3、来确定点的坐标.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行，则a.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则a.()解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a；(3)两平面平行或重合；(4)a或a.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材练习改编)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()A. B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，相交但不垂直.答案C3.若直线l

4、的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()A.l B.lC.l D.l与斜交解析a(1，0，2)，n(2，0，4)，n2a，即an.l答案B4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A.(1，1，1) B.(1，1，1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(3),3)，f(r(3),3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(3),3)，f(r(3),3)解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则eq blc(avs4alco1(no(A

5、B,sup6()0，,no(AC,sup6()0，)化简得eq blc(avs4alco1(xy0，,xz0，)xyz.答案C5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.解析以A为原点，分别以eq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()，eq o(AA1,sup6()所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2

6、)，f(1,2)，0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，1).eq o(AM,sup6()eq o(ON,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，1)0，ON与AM垂直.答案垂直考点一利用空间向量证明平行问题【例1】 (一题多解)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2eq r(2)，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正

7、半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，eq r(2)，2)，B(0，eq r(2)，0)，D(0，eq r(2)，0).设点C的坐标为(x0，y0，0).因为eq o(AQ,sup6()3eq o(QC,sup6()，所以Qeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)x0，f(r(2),4)f(3,4)y0，f(1,2).因为M为AD的中点，故M(0，eq r(2)，1).又P为BM的中点，故Peq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(1,2)，所以eq o(PQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)x0，f(r(2),4)f(

8、3,4)y0，0).又平面BCD的一个法向量为a(0，0，1)，故eq o(PQ,sup6()a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).eq o(CF,sup6()eq f(1,4)eq o(CD,sup6()，设点F坐标为(x，y，0)，则(xx0，yy0，0)eq f(1,4)(x0，eq r(2)y0，0)，eq blc(avs4alco1(xf(3,4)x0，,yf(r(2),4)f(3,4)y0，)eq o(OF,sup6()eq blc(rc)(av

9、s4alco1(f(3,4)x0，f(r(2),4)f(3,4)y0，0)又由法一知eq o(PQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)x0，f(r(2),4)f(3,4)y0，0)，eq o(OF,sup6()eq o(PQ,sup6()，PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.规律方法1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后

10、说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【训练1】 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG平面B1CD1.证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).得Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，0)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，Geq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，eq o(EF,sup6()

11、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)，eq o(EG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2).设n1(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2(x2，y2，z2)为平面B1CD1的一个法向量.则eq blc(avs4alco1(n1o(EF,sup6()0，,n1o(EG,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(f(1,2)x1f(1,2)y10，,f(1,2)y1f(1,2)z10.)令x11，可得y11，z11，同理可得x21，y21，z21.则n1(1，1，1)，n2(1，1，1).由n

12、1n2，得平面EFG平面B1CD1.考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，BC为交线，PO平面PBC，PBC为等边三角形，即POBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD1，则ABBC2，POeq r(3).A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1

13、，0)，P(0，0，eq r(3).eq o(BD,sup6()(2，1，0)，eq o(PA,sup6()(1，2，eq r(3).eq o(BD,sup6()eq o(PA,sup6()(2)1(1)(2)0(eq r(3)0，eq o(PA,sup6()eq o(BD,sup6()，PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，f(r(3),2).eq o(DM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0，f(r(3),2)，eq o(PB,sup6()(1，0，eq r(3)，eq o(DM,sup

14、6()eq o(PB,sup6()eq f(3,2)100eq f(r(3),2)(eq r(3)0，eq o(DM,sup6()eq o(PB,sup6()，即DMPB.eq o(DM,sup6()eq o(PA,sup6()eq f(3,2)10(2)eq f(r(3),2)(eq r(3)0，eq o(DM,sup6()eq o(PA,sup6()，即DMPA.又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.规律方法1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向

15、量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【训练2】 如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1eq r(2).证明：A1C平面BB1D1D.证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.因为ABAA1eq r(2)，所以OAOBOA11，所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，

16、0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1).由eq o(A1B1,sup6()eq o(AB,sup6()，易得B1(1，1，1).因为eq o(A1C,sup6()(1，0，1)，eq o(BD,sup6()(0，2，0)，eq o(BB1,sup6()(1，0，1)，所以eq o(A1C,sup6()eq o(BD,sup6()0，eq o(A1C,sup6()eq o(BB1,sup6()0，所以A1CBD，A1CBB又BDBB1B，BD，BB1平面BB1D1D，所以A1C平面BB1D1D考点三用空间向量解决探索性问题(多维探究)命题角度1与平行有关的探索性问题【例31】 (2016北京

17、卷改编)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCDeq r(5).(1)求证：PD平面PAB；(2)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求eq f(AM,AP)的值；若不存在，说明理由.(1)证明因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD且ABPAA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.(2)解取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACC

18、D，所以COAD.如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).设M是棱PA上一点，则存在0，1，使得eq o(AM,sup6()eq o(AP,sup6().因此M(0，1，)，eq o(BM,sup6()(1，).因为BM平面PCD，所以BM平面PCD，当且仅当eq o(BM,sup6()n0，即(1，)(1，2，2)0，解得eq f(1,4).所以在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD，此时eq f(AM,AP)eq f(1,4).命题角度2与垂直有关的探索性问题【例32】 如图，正方形ADEF所在平

19、面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.(1)求证：ACBF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出eq f(BP,PE)的值；若不存在，请说明理由.(1)证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF平面ADEF，AF平面ABCD.又AC平面ABCD，AFAC.过A作AHBC于H，则BH1，AHeq r(3)，CH3，AC2eq r(3)，AB2AC2BC2，ACAB，ABAFA，AB，AF平面FAB，AC平面FAB，BF平面FAB，ACBF.(2)解存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直，以A为坐标

20、原点，eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()，eq o(AF,sup6()的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2eq r(3)，0)，E(1，eq r(3)，2).假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设eq o(BP,sup6()eq o(PE,sup6()，则0，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1)，f(r(3),1)，f(2,1).设平面PAC的法向量为m(x，y，z).由eq o(AP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1

21、(f(2,1)，f(r(3),1)，f(2,1)，eq o(AC,sup6()(0，2eq r(3)，0)，得eq blc(avs4alco1(mo(AP,sup6()f(2,1)xf(r(3),1)yf(2,1)z0，,mo(AC,sup6()2r(3)y0，)即eq blc(avs4alco1(y0，,zf(2,2)x，)令x1，则zeq f(2,2)，所以meq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(2,2)为平面PAC的一个法向量.同理，可求得neq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(3),3)，1)为平面BCEF的一个法向量.当mn0，即eq f(2,3)时，

22、平面PAC平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时eq f(BP,PE)eq f(2,3).规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.(2)探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为(x，y，z)；坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；直线(线段)AB上的点P，可设为eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.提醒解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.【训练3】 如图，在三棱柱

23、ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，(1)求证：AA1平面ABC；(2)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求eq f(BD,BC1)的值.证明(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1因为平面ABC平面AA1C1C，AA1平面AA1C1C，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB，AA1AC.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4).设D(x，y，z)是直线BC1上的一点，且eq o(BD,sup6()

24、eq o(BC,sup6()1，所以(x，y3，z)(4，3，4)，解得x4，y33，z4，所以eq o(AD,sup6()(4，33，4).由eq o(AD,sup6()eq o(A1B,sup6()0，eq o(A1B,sup6()(0，3，4)，则9250，解得eq f(9,25).因为eq f(9,25)0，1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，此时，eq f(BD,BC1)eq f(9,25).基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A.2 B.4 C.4 D.解析，两平面的法向量平行，eq

25、 f(2,1)eq f(4,2)eq f(k,2)，k4.答案C2.若eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(CE,sup6()，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内解析eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(CE,sup6()，eq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()，eq o(CE,sup6()共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D3.已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在平面内的是()A.P(2，3，

26、3) B.P(2，0，1)C.P(4，4，0) D.P(3，3，4)解析逐一验证法，对于选项A，eq o(MP,sup6()(1，4，1)，eq o(MP,sup6()n61260，eq o(MP,sup6()n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.答案A4.(2018郑州月考)如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1FDE，A.B1EEBB.B1E2EBC.B1Eeq f(1,2)EBD.E与B重合解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(

27、2，2，z)，eq o(D1F,sup6()(0，1，2)，eq o(DE,sup6()(2，2，z)，eq o(D1F,sup6()eq o(DE,sup6()02122z0，z1，B1EEB.答案A5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MANeq f(r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1CA.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C解析建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MANeq f(r(2)a,3)，则Meq blc(rc)(avs4alco1(a，f(2a,3)，f(a,3)，Neq blc(rc)(avs4alc

28、o1(f(2a,3)，f(2a,3)，a)，eq o(MN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，0，f(2a,3).又C1D1平面BB1C所以eq o(C1D1,sup6()(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量.因为eq o(MN,sup6()eq o(C1D1,sup6()0，所以eq o(MN,sup6()eq o(C1D1,sup6()，又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C答案B二、填空题6.(2018南昌调研)已知平面内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置

29、关系是_.解析设平面的法向量为m(x，y，z)，由meq o(AB,sup6()0，得x0yz0yz，由meq o(AC,sup6()0，得xz0 xz，取x1，m(1，1，1)，mn，mn，.答案7.(2018西安调研)已知eq o(AB,sup6()(1，5，2)，eq o(BC,sup6()(3，1，z)，若eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(BP,sup6()(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数xy_.解析由条件得eq blc(avs4alco1(352z0，,x15y60，,3（x1）y3z0，)解得xeq f(40,7)，yeq f(15,7)

30、，z4，xyeq f(40,7)eq f(15,7)eq f(25,7).答案eq f(25,7)8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq o(AB,sup6()(2，1，4)，eq o(AD,sup6()(4，2，0)，eq o(AP,sup6()(1，2，1).对于结论：APAB；APAD；eq o(AP,sup6()是平面ABCD的法向量；eq o(AP,sup6()eq o(BD,sup6().其中正确的序号是_.解析eq o(AB,sup6()eq o(AP,sup6()0，eq o(AD,sup6()eq o(AP,sup6()0，ABAP，ADAP，则正确.又e

31、q o(AB,sup6()与eq o(AD,sup6()不平行，eq o(AP,sup6()是平面ABCD的法向量，则正确.由于eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()(2，3，4)，eq o(AP,sup6()(1，2，1)，eq o(BD,sup6()与eq o(AP,sup6()不平行，故错误.答案三、解答题9.(一题多解)如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.证明平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直

32、.以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).法一eq o(EF,sup6()(0，1，0)，eq o(EG,sup6()(1，2，1)，设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则eq blc(avs4alco1(no(EF,sup6()0，,no(EG,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(y0，,x2yz0，)令z1，则n(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，eq o(PB,sup6()(2，0，2)，eq o(PB

33、,sup6()n0，neq o(PB,sup6()，PB平面EFG，PB平面EFG.法二eq o(PB,sup6()(2，0，2)，eq o(FE,sup6()(0，1，0)，eq o(FG,sup6()(1，1，1).设eq o(PB,sup6()seq o(FE,sup6()teq o(FG,sup6()，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，eq blc(avs4alco1(t2，,ts0，,t2，)解得st2.eq o(PB,sup6()2eq o(FE,sup6()2eq o(FG,sup6()，又eq o(FE,sup6()与eq o(FG,sup6()不共线，eq o

34、(PB,sup6()，eq o(FE,sup6()与eq o(FG,sup6()共面.PB平面EFG，PB平面EFG.10.如图正方形ABCD的边长为2eq r(2)，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FOeq r(3)，且FO平面ABCD.(1)求证：AE平面BCF；(2)求证：CF平面AEF.证明取BC中点H，连接OH，则OHBD，又四边形ABCD为正方形，ACBD，OHAC，故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(3，0，0)，C(1，0，0)，D(1，2，0)，F(0，0，eq r(3)，B(1，2，0).eq o(BC,sup6()(2，2，0)，

35、eq o(CF,sup6()(1，0，eq r(3)，eq o(BF,sup6()(1，2，eq r(3).(1)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则eq blc(avs4alco1(2x2y0，,xr(3)z0，)取z1，得n(eq r(3)，eq r(3)，1).又四边形BDEF为平行四边形，eq o(DE,sup6()eq o(BF,sup6()(1，2，eq r(3)，eq o(AE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BF,sup6()(2，2，0)(1，2，eq r(3)(3，4，eq r(3)，eq o(

36、AE,sup6()n3eq r(3)4eq r(3)eq r(3)0，eq o(AE,sup6()n，又AE平面BCF，AE平面BCF.(2)eq o(AF,sup6()(3，0，eq r(3)，eq o(CF,sup6()eq o(AF,sup6()330，eq o(CF,sup6()eq o(AE,sup6()330，eq o(CF,sup6()eq o(AF,sup6()，eq o(CF,sup6()eq o(AE,sup6()，又AEAFA，AE，AF平面AEF，CF平面AEF.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，ABeq r(2)，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A.(1，1，1) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3)，f(r(2),3)，1