专题34 逆用导数的四则运算法则构造函数-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）

1、专题34 逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于f(x)、f(x)的不等关系，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.2. 常见的构造函数:对于，构造；一般的，对于，构造对于，构造；一般的，对于，构造对于，构造；一般的，对于，构造对于，构造；一般的，对于，构造对于，即，构造对于，构造对于，构造.对于，构造.对于，构造.导数构造不用慌，遇和为乘差为商，构得函数莫骄傲，弄错奇偶白求忙.【典型题示例】例1 已知函数yf (x)对于任意的xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)满足f(x)cos xf (x)sin x0(其中f(x)是函数f (x

2、)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.eq r(2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) B.eq r(2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)Cf (0)eq r(2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) Df (0)0，则F(x)0，F (x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上单调递增把选项转化后可知选A.例2 已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为_【答案】【分析】结合已知

3、“”及所求“”，构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集【解析】设函数，则又 所以在上单调递增，又故不等式 可化为由的单调性可得该不等式的解集为故答案为：例3 已知偶函数(x0)的导函数为，当x0时，则使成立的x的取值范围是 （其中e为自然对数的底数）【答案】 【分析】利用构造函数，再使用函数的单调性、奇偶性即可.【解析】设，则x0时，当x0时，故在（0，+）单增又，所以是偶函数 也是偶函数，且在（，0）单减等价于，即由是偶函数且在（0，+）单增得，解之得.例4 定义在（0，+）上的函数f(x)对不等式2fA.4f2f116； B.4f【答案】B【解析】设F

4、x=2Fx0在（0，+）上F2F1，即设Gx=xfGx0在（0，+）上G2G1，即综上得，4例5 (多选题)定义域在R上函数的导函数为，满足，则下列正确的是（ ）ABCD【答案】BCD【分析】根据题意构造函数，利用导数判断单调性，即可求解.【解析】由题意，构造函数，则，由可知，所以在R上单调递增，且，故，即，A错误；由可得，故B正确；当时，所以，所以，令，则，所以单调递增，即，所以，故C正确；由可得，故D正确；故选：BCD. 例6 设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)xf(x)0，则不等式f(eq r(x1)eq r(x1)f(eq r(x21)的解集为_【答案】1,2)【解析】设

5、F(x)xf(x)，则由F(x)f(x)xf(x)0，可得函数F(x)是R上的增函数又eq r(x1)0，由f(eq r(x1)eq r(x1)f(eq r(x21)可变形得eq r(x1)f(eq r(x1)eq r(x21)f(eq r(x21)，即F(eq r(x1)F(eq r(x21)， eq blcrc (avs4alco1(r(x1)r(x21)，,x1，)解得1x1，则不等式exf(x)ex1的解集为_9.已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，则满足的实数的取值范围是 10. 设奇函数f(x)定义在(，0)(0，)上其导函数为f(x)，且f(eq f(,2)0，当0

6、 x时，f(x)sinxf(x)cosx0，则关于x的不等式f(x)2f(eq f(,6)sinx的解集为 11. 已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为_.12. 定义在上的函数满足，为的导函数，且对恒成立，则的取值范围是 13. 已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是A；B；C；D.14.已知定义域为的函数的导函数为，且，若（2），则函数的零点个数为A1B2C3D415.函数的定义域为，对任意，则的解集为 .16.设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x

7、2 020)2f(x2 020)4f(2)0的解集为_【答案与提示】1.【答案】【分析】结合已知可构造，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断【解答】令，因为，则，故在，上单调递减，因为，则，结合选项可知，从而有，即，故错误，因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，由可得，故错误；，从而有，且，即故正确；，从而有即故正确故选：2.【答案】B【解析】令，则，在时单调递增，又（1）（1），时，时，当时，时，在上恒成立，又是奇函数，在上恒成立，当时，即，当时，即，由得不等式的解集是，故选：3.【答案】C【解析】函数是定义在上的连续函数，令，则，为常数），函数是连续函数，且在处存在导

8、数，令，则，令，则，当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，当时，使，又，函数在的两个零点，分别为和0，当时，令，则，当时，当时，在，上单调递增，在上单调递减，在上有极小值，无极大值故选：4.【答案】D【解析】构造函数，于是该函数递减，变形为，于是，得，选D.5.【答案】A【解析】构造函数，当时，即函数单调递增，则，则，即，选A6.【答案】A【解析】由得，构造函数，则，故单调递增，有故选A7.【答案】B【解析】令,则,因为,所以在上恒成立.即函数在单调递增.因为,所以即.答案选B8.【答案】(0，)【解析】构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f

9、(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.9.【答案】10.【答案】(eq f(,6)，0)(eq f(,6)，)【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(eq f(f,g)eq f(fgfg,g2)，(sinx)cosx，于是本题的本质是构造eq f(f(x),sinx)来解不等式【解析】设g(x)= eq f(f(x),sinx)，则g (x)= (eq f(f(x),sinx)eq f(f(x)sinxf(x)cosx,sin2x)，所以当0 x时，g (x)0，g(x) 在(0，)上单调递减又由于在(0，)上sinx0，考虑到sineq f(,6)eq f(1,2)，所以不等式f(x)2f(eq f(,6)sinx等价于eq