2021-2022学年湖南省湘东六校高考仿真卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在中，角、的对边分别为、，若，则（ ）ABCD2集合，则（ ）ABCD3在的展开式中，含的项的系数是（ ）A74B121CD4已知向量，则与的夹角为（ ）ABCD5圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

2、） ABCD6将函数f(x)=sin 3x-cos 3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：它的图象关于直线x=对称；它的最小正周期为；它的图象关于点(，1)对称；它在上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD7已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）ABCD8函数的图象可能为（ ）ABCD9已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则的内切圆的半径为（ ）ABCD10已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD

3、11设为自然对数的底数，函数，若，则( )ABCD12函数的大致图像为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则_14已知函数，则不等式的解集为_.15已知全集，集合，则_.16已知是夹角为的两个单位向量，若，则与的夹角为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.

4、证明：当时，直线过定点.18（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数38055033

5、0410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，的大小关系.19（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.（1

6、）求数列和的通项公式；（2）若数列满足,求数列的前2020项的和20（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y290相切（1）求圆的方程；（2）设直线axy+50（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由21（12分）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.22（10分）设函数，

7、（）求曲线在点（1,0）处的切线方程；（）求函数在区间上的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【详解】，即，即，得，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故选：B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.2A【解析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.3D【

8、解析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，4B【解析】由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.【详解】解：由题意得，设与的夹角为，由于向量夹角范围为：，.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.5B【解析】三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，

9、其体积为，故原几何体的体积为. 故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.6B【解析】根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin 3x-cos 3x+1=2sin(3x-)+1，由图象的平移变换公式知，函数g(x)=2sin3(x+)-+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期为，故正确；令3x+=k+，得x=+(kZ)，所以x=不是对称轴，故错误；令3x+=k，得x=-

10、(kZ)，取k=2，得x=，故函数g(x)的图象关于点(，1)对称，故正确；令2k-3x+2k+，kZ，得-x+，取k=2，得x，取k=3，得x，故错误；故选：B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型7A【解析】设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为，右焦点为， M所在直线为，不妨设，MF的中点坐标为.代入方程可得，（负值舍去）.故选：A.【点睛】本题

11、考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.8C【解析】先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.【详解】因为，所以是奇函数，故排除A，B，又，故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9B【解析】设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，由，可得，所以双曲线的方程为: 所以，所以三角形ABF2的周长为设内

12、切圆的半径为r，所以三角形的面积，所以，解得，故选：B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.10D【解析】设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【详解】，由得，整理得，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.11D【解析】利用与的关系，求得的值.【详解】依题意，所以故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.12D【解

13、析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数的定义域为，当时，排除B和C；当时，排除A.故选：D.【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出【详解】四棱锥为阳马，侧棱底面，且，设该阳马的外接球半径为，该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，侧棱底面，且底面为正方形，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，内切球半径为，故故答案为【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补

14、形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.14【解析】，分类讨论即可.【详解】由已知，若，则或解得或，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.15【解析】根据题意可得出，然后

15、进行补集的运算即可【详解】根据题意知，故答案为：【点睛】本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题16【解析】依题意可得，再根据求模，求数量积，最后根据夹角公式计算可得；【详解】解：因为是夹角为的两个单位向量所以，又，所以，所以，因为所以；故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）见解析.【解析】（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已

16、知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.【详解】（1）在中，因此，椭圆的标准方程为；（2）由题不妨设，设点，联立，消去化简得，且，代入，化简得，化简得，直线，因此，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.18（1）（2）（3）【解析】（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，根据古典概型求出即可；（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类

17、、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则（E），求出即可；（3）根据题意，写出即可【详解】（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，有效问卷共有（份，其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是人，故（A）；（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，根据题意，可知（A），（B），（C），设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“则.所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.（3

18、）【点睛】本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题19（1），； （2）.【解析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.【详解】(1)依题意得: ，所以 ，所以解得 设等比数列的公比为，所以 又(2)由（1）知，因为 当时, 由得，即，又当时，不满足上式， .数列的前2020项的和 设 ，则 ，由得： ，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知

19、识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.20（2）（x2）2+y22（2）（）（3）存在，【解析】（2）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.（2）把直线axy+50，代入圆的方程，计算4（5a2）24（a2+2）0得到答案.（3）l的方程为，即x+ay+24a0，过点M（2，0），计算得到答案.【详解】（2）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y290相切，且半径为5，所以 ，即|4m29|2因为m为整数，故m2故所求圆的方程为（x2）2+y22（2）把直线axy+50，即yax+5，代入圆的方程，消去y，整理得（a2+2）x2+2（5a2）x+20，由于直线axy+50交圆于A，B两点，故4（5a2）24（a2+2）0，即22a25a0，由于a0，解得a，所以