连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的运算与初等函数的连续性第1页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三一、四则运算的连续性定理1例如,第2页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三二、反函数与复合函数的连续性定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 反函数与直接函数的图形是关于 y = x相互对称的曲线，如果y = f (x)是一条连续的曲线，自然曲线 y = f -1(x)也是一条连续的曲线。例如,在上连续单调递增，其反函数在 1 , 1 上也连续单调递增.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如, 第3页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三

2、定理3证明将上两步合起来:第4页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三注意定理4是定理3的特殊情况.例如,定理4. 连续函数的复合函数是连续的.证: 设函数于是故复合函数且即第5页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解第6页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三例2解： 1) 一般地, 对幂指函数 ，如果存在, 则说明: 第7页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三2) 若则有3) 当则有第8页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三三、初等函数的连续性三角函数及反

3、三角函数在它们的定义域内是连续的.(均在其定义域内连续 )幂函数第9页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意1.第10页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三注意2. 初等函数求极限的方法代入法.只要为初等函数： 例3解第11页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三例4解第12页，共19页，2022年，5

4、月20日，19点15分，星期三例5、求解：第13页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三例6、求解：由于为 初等函数，且x=1为定义区间内的点，所以：第14页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三例7. 设解:讨论复合函数的连续性 .故此时连续;而故x = 1为第一类间断点 .在点 x = 1 不连续 , 第15页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理; 两点意义.反函数的连续性.说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.第16页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三求极限的方法通常有： (1)利用连续性 (2)利用等价无穷小代换 (3)利用重要二极限 (4)初等方法：a.有理化， b.因式分解， c.分子分母同除， d.数列先求和 e.单调有界性或夹逼性判定作业：P69 3,4第17页，共19页，2022年，5月20日，19点15分，星期三思考与练习续? 反例 x 为有理数 x 为无理数处处间断,处处连续 .反之是否成立?提示:“反之” 不成立 .第18页，