【初中数学解题技法】弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用

1、 弦图及推广图在某些三角形面积最大值中的应用 弦图由我国三国时期数学家赵爽发现与研究的，由四个全等的直角三角形拼成的内外都为正方形(外正方形的边为直角三角形的斜边)的一个图形，如下图1、弦(斜边)在外的弦图称为外弦图，如下图2中的弦在内的弦图称为内弦图. 弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面积最大值问题.例1.(1)求斜边为4的直角三角形面积的最大值； (2)求直角边之和为4的直角三角形面积的最大值.解：(1) 如图3，取4个这样的全等直角三角形组 成外弦图，直角三角形面积等于外正方形的面 积减去内正方形面积的差再除以4的结果.外正方形的面积为16，当这种这种

2、直角三角形的两条直角边相等时，内正方形的面积为0，直角三角形的面积最大， 故斜边为4的直角三角形面积最大值为:164=4. (2)如图4，取4个这样的全等直角三角形组成 内弦图，同样，直角三角形面积等于外正方形 的面积减去内正方形面积的差再除以4的结 果.外正方形的面积为16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小值，而内正方形的半径最小值为2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的面积最大值为：22=2. 分析与反思：这2道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决这类问题呢？当然这2个问题的解决还

3、有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决. 拓展：既然这类直角三角形面积最大值问题可以用弦图来解答，那么其他斜三角形的某些面积最大值能否找到类似方法呢？这是肯定的，但是仅限于特殊内角的三角形，大家看看例2.例2.(1)一个三角形的一条边为4，其对角为120，求该三角形面积的最大值；(2)一个三角形的两边之和为4，这两边的夹角为120，求该三角形面积的最大值.解：(1)如图5，取3个这样符合条件的全等三角形拼成正三角形，外正三角形的面积为：4=. 当内正

4、三角形面积为0，即该三角形为等腰三角形时，三角形面积有最大值，最大值为：3=. (2)如图6，取6个这样符合条件的全等三角形拼成正六边形，外正六边形的面积为：46=6=. 当内正六边形面积最小，即半径最小，即半径垂直外正六边形的边时， 内正六边形的边长为，面积为：36=6=. 故这样的三角形面积最大值为：()6=. 质疑：是否所有三角形面积最大值问题都有类似解法呢？我们下面来看看例3. 例3.(1)一个三角形一个内角是45，其对边为定值，求证：当该角的两条夹边相等时，该三角形的面积最大. (2)一个三角形一个内角是45，该角的两条夹边之和为定值，求证：当这2条边相等时，该三角形的面积最大. 证

5、明：(1)如图7，取8个这样的三角形组成正八边形，45角的对边为 该正八边形的边. 该三角形45角所对的边为定值， 该图形中的外正八边形的面积为定值. 当45角的两条夹边不等时，该图形会产生一个内正八边形， 当45角的两条夹边相等时，这8个三角形45角的顶点会重合， 从而不产生内正八边形. 当该角的两条夹边相等时，该三角形的面积最大，恰等于这个正 八边形面积的八分之一. (2)如图8，取8个这样的三角形按一定方向组成一个正八边形， 45角所对的边为正八边形的边，这样就形成了一个“八角星”， 依次连接“八角星”的8个顶点，这样又产生了外正八边形. 外正八边形和内正八边形之间的环形区域由8个两直角

6、边为 的直角三角形和8个两边为且夹角为45的三角 形组成. 这两类三角形面积比值为：=. 令环形面积为S，则这2个两类三角形面积之和为S. 这种三角形面积为：SS. 那么何种情形下，环形面积最大呢？ 显然，当时，直角三角形的斜边(外正八边形的边)最 大例1(2)有详细严谨的证明，而且45角的对边最小(不 是很严谨)，外、内正八边形的面积分别最大和最小，环形面积最大！ 当这2条夹边相等时，该三角形面积最大. 分析与反思：例3(1)依然有类似于例1(1)、例2(1)的方法解决，但是例3(2)的解决之法与例1(2)、例2(2)的方法相去甚远，而且证明过程中对于内正八边形的最小面积的证明不是很有说服力

7、，若要毫无破绽地证明，那么需要其他方面的知识！这与我们用更简单的方法来证明此类问题的目的背离了！这不如直接利用三角形面积公式、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例1(2)与例2(2)，发现90和120都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角可以是45！我们应当放弃这种方法！ 拓展：这类三角形面积最大值问题可分为两类：第一类为：已知一角的大小及对边的长度，第二类：已知一角的大小及两条夹边的长度之和.例1(1)、例2(1)、例3(1)都属于第一类，例1(2)、例2(2)、例3(2)都属于第二类.第一类对应的图形为图3、图5、图7，第二类对应的图形为图4、图6.这5个图形除了图3、图4称之为弦图，剩下3个图形都与弦图有很大的类似！我们不妨来个定义：对于有一个内角为的三角形，把若干个这样的三角形拼成一个正多边形，象图3、图5、图7这样都是由剩下的2个内角的和作为正多边形的内角，我们称之为该三角形的“关联正多边形型”，象图4、图6这样直接由该角作为正多边形的内角，我们称之为干三角形的“关联正多边形型”. 总结与归纳： 此类三角形面积最大值问题能否类似于弦图来解决，关键在于这个三角形的某个内角或某2个内角之和能不能成为一个正多边形的内角. 1.当有一个内角为的三角形的对边已知，能成为一个正多边形的外角(即剩下2个角的和可成为正多边形的内