初二数学春季讲义 第3讲.一次函数与全等三角形综合.尖子班.教师版

1、PAGE 18PAGE 17PAGE 1一次函数与全等三角形综合一次函数与全等三角形综合3函数6级一次函数的应用函数7级函数6级一次函数的应用函数7级一次函数与全等三角形综合函数8级反比例函数的基本性质春季班第十一讲春季班第三讲春季班第二讲满分晋级阶梯漫画释义 梦游记漫画释义知识互联网 知识互联网题型切片题型切片题型切片（两个）对应题目题型目标一次函数与全等三角形的综合例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5编写思路编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种：数形

2、结合，利用三角形的三边关系求解；由函数到图形得全等，边角关系求解；由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；以结论证条件，以条件猜结论题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面考查和总结一次函数部分的一道好题题型一：一次函数与全等三角形综合题型一：一次函数与全等三角

3、形综合思路导航 思路导航几种全等模型的回顾：图1 图2 图3 图4 图5图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将绕点逆时针旋转90得到，此时可得结论：均为等腰直角三角形；.图2中图3、图4为“三垂直”全等模型，其中为等腰直角三角形，三点共线，则有，图3中，图4中图5中，延长到使得，则有结论，若，则有例题精讲例题精讲平面直角坐标系内有两点和，点在直线上运动 若点横坐标为，求以直线为图象的函数解析式（直接写出结论）； 若点在第四象限，作直线于，直线于，求证：； 若点在第一象限，仍作直线的垂线段、，试探究线段、所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明 （实验中学单元测试） 设直线函数解析式为 当

4、为时，的坐标为直线过原点，解析式为 如图1，由题意可证， 如图2，证明 可得结论 图1 图2典题精练典题精练如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点，点在轴上，作，垂足为（点在线段上，且点与点不重合），直线与轴交于点，若 求点的坐标； 设长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围 如图，由可知点坐标为 由可知，的取值范围是 已知：如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，为轴上点下方一点，以为边作等腰直角三角形，其中，点落在第四象限 求直线的解析式； 用的代数式表示点的坐标； 若直线与轴交于点，判断点的坐标是否随的变化而变化，写出你的结论并说明理由 （西城期末） 作轴，交轴于，由此

5、可知 由中的全等可知，可得 点坐标不随的变化而变化.此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.如图1，直线与轴交于点，与直线交于轴上一点，且与轴的交点为 求证： 如图2，过轴上一点，作于，交轴于点，交于点，求点的坐标； 如图3，将沿轴向左平移，边与轴交于点（不同于和两点），过 点作一直线与的延长线交于点，与轴交于点，且CP=BQ.在平移的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度若变化，确定其变化范围 由题意得，又 由题意得，,解析式为 由 解得 不变， 如图过作交于，可知，从而，又如图，在平面直角坐标系中，A（

6、a，0），B（0，b），且a、b满足 求直线AB的解析式；若点M为直线y=mx上一点，且ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；过A点的直线y=kx-2k交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值y=易证阴影部分三角形全等，得到M（3，3）故而m=1过N点做直线垂直于y轴，交PM于G点，另直线NM与坐标轴交点分别为O、I（如图所示），连接IG并做MFx轴于F，易知N、G两点横坐标分别为和1，将其分别代入MN、MP的解析式中，求得两点坐标为N（，）G（1，），易证NHP GHP，NP=GP易求I（1，0），IGx轴易证IGAFMA，MA=AG题型二题型二：

7、一次函数与面积综合思路导航思路导航解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有：1. 公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；2. 割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；3. 容斥法；4. 等积变换法：平行线法：构造同底等高；直角三角形：；5. 铅垂线法：如右图所示，称为铅垂高， 称为水平宽必要时需分类讨论 典题精练典题精练已知：平面直角坐标系中，直线与直线交于点求直线的解析式；若直线与另一条直线交于点，且点的横坐标为，求的面积 （西城期末试题）点在直线上， 解法一：作轴于M，轴于N（如上图）点B在直线y=2x上，且点B的横坐标为点B的坐标为B（，） 解法二：设直线与x轴交于点

8、C（如下图）点B在直线y=2x上，且点B的横坐标为点B的坐标为（，）直线经过点A（，4）和点B（，）， 令y=0可得点C的坐标为 【教师备选】如图所示，直线OP经过点P（4，），过x轴上的点1、3、5、7、9、11分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、，则关于n的函数关系式是_真题赏析真题赏析已知：一次函数的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1）求a的值及正比例函数y=kx的解析式；点P在坐标轴上（不与点O重合），若PA=OA，直接写出P点的坐标；直线x=m与一次函数的图象交于点B，与正比例函数图象交于点C，若ABC的面积记为S，求S关

9、于m的函数关系式（写出自变量的取值范围）（2013西城期末）一次函数的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1）， a=4，即A（4，1）4k=1 解得正比例函数的解析式为；如图1，P1（8，0）或P2（0，2）；依题意，得点B的坐标为（m，），点C的坐标为（m，）作AHBC于点H，H的坐标为（m，1）以下分两种情况：当m4时， =AH=则SABC=BCAH S=；当m时，AH=m+4则SABC=BCAH =（）（4+m）S=；综上所述，【教师备选】已知四条直线，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值，x=1交于ABCDEFA（，3），B（,-1），C（1，-1），D（1，

10、3），E（，3），F（，-1） m=2 m=1综上说述，或m=1思维拓展训练(选讲)思维拓展训练(选讲)如图，为正三角形，点的坐标为，过点作直线交于，交于，且与的面积相等，求直线的解析式. 由与的面积相等可知，.,设直线的解析式为，直线的解析式为：又的解析式为：，故点的坐标满足下式：，故故直线的解析式为：.在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点.点为轴上一点，且. = 1 * GB2 求的值； = 2 * GB2 求线段的长； = 3 * GB2 当点在直线上（点与点不重合），且，求点的坐标.（备用图） (海淀期末试题) = 1 * GB2 直线经过点，. = 2 * GB2 直线交轴于点，

11、点的坐标为.，.点的坐标为，点的坐标为或.或. = 3 * GB2 当点的坐标为时，如图所示.取点，连接并延长，交直线于点.，于，为的垂直平分线.又，.设直线的解析式为.直线经过点，.直线的解析式为.解方程组得点的坐标为.当点的坐标为时，如图所示.取点，连接，交直线于点.同的方法，可得，直线的解析式为.解方程组得点的坐标为.综上所述，点的坐标为或.已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为 求证：无论k取何值，直线与的交点均为定点； 求的值（西城期末试题） 联立的解析式，求得交点坐标为，交点为定点. 设直线分别与轴交于，两点，则， 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半

12、轴上，且是等腰直角三角形，点与点关于轴对称，过点的一条直线绕点旋转，交轴于点，交直线于点，且点在第二象限内. 求点坐标及直线的解析式； 设的面积为，试用表示的面积. （朝阳期末试题） 是等腰直角三角形且， 过点、的直线的解析式为 点与点关于轴对称，又点在直线上，则 设过、两点的直线的解析式为在直线上，. ,点在直线上，,解得.点的坐标为 点在第二象限内，当时，如图. 当时，如图. 综上所述， 复习巩固复习巩固题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点，点在轴上，点坐标为.作，垂足为（点在线段上，且点与点不重合），直线与轴交于点，第一象限内有一点，坐标为，连

13、接，求证：.如图，连接，过作于，可知由可知又，又由可得， 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在轴上 ，点在上，且满足、分别平分、 = 1 * GB2 请你判断此时线段与是否相等，并证明你的结论； = 2 * GB2 已知，直接写出线段的长 = 1 * GB2 相等，证明如下如上右图，在上取点，使，连接，可证，由，、平分与可得从而可知由此， = 2 * GB2 ，由可知，如图，已知直线OA的解析式为y=x，直线垂直x轴于点，点的坐标为，直线关于直线的对称直线为交轴于点 写出点及点的坐标； 如图，直线交轴于点，且的面积为1，求点的坐标； 若点为中所求，作于点，交于点，作于点，求证：，

14、并直接写出点的坐标 , 于点， 由直线的解析式为，可知又，直线关于直线的对称直线为，在中，在与中，又由可求得题型二 一次函数与面积的综合 巩固练习如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）A1 B3 C D图12O5xABCPD图2图12O5xABCPD图2运动至点停止设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的面积是（ ） A3 B4 C5 B A， 由图2可知.直线与轴交于点，与轴交于点若在轴上有一点，并且满足，求点坐标，又或坐标为或包拯辞官侍母包公即包拯（公元999-1062包拯辞官侍母包公即包拯（公元999-1062年），字希仁，庐州合肥（今安徽合肥市）人，父亲包仪，曾任朝散大夫，死后追赠刑部侍郎。包公少年时便以孝而闻名，性直敦厚。在宋仁宗天圣五年，即公元1027年中了进士，当时28岁。先任大理寺评事，后来出任建昌（今江西永修）知县，因为父母年老不愿随他到他乡去，包公便马上辞去了官职，回家照顾父母。他的孝心受到了官吏们的叫口称颂。几年后，父母相继辞世，包公这才重新踏入仕途。这也是在乡亲们的苦苦劝说下才去的。在封建社会，如果父母只有一个儿子，那么这个儿子不能扔下父母不管，只顾自己去外地做官。这是违背封建法律规定的。一般情况下，父母为了