初三数学暑期讲义 第5讲.相似三角形的简单模型 教师版

1、夯实基础 如图，在ABC中，则BC= （2013石景山期末） 如图，在ABC中，DEBC，则的面积为（ ）（2012贵州遵义）A9 B10 C12 D【解析】9A若D为BC中点，ED交AB于点F，且EF：FD=2：3，试求AF：FB的值【解析】如下图，作平行线，构造基本相似模型，AF：FB=1：4能力提升能力提升如图，和相交于点，.求证：，.求证：. ， 由可知，即一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)（2

2、013大兴期末）【解析】 甲同学的加工方法好SABC=ABBC=，AB=，BC=2 .B=90，AC=. 如图甲四边形DBFE是正方形，DEAB .CDECBA . .设DE=x,则CD=2-x， .x= . 如图乙过B点作BMAC于点M交DE于点N，由SABC=ABBC=ACBM，可得BM= .DEAC，BNDE .BDEBAC . .设DE=y， y= . ， 甲同学的正方形面积大.【例6】在中，的延长线交的延长线于，过作交于，求证：.【解析】，探索创新探索创新如图，个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上.证明：，并写出的值.设的面积为，的面积为，的面积为，则 ； （用含的式子表示） 和

3、都是等边三角形又 . 下列说法正确的是 .有两个角对应相等的两个三角形相似； 两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似； 三边对应成比例的两个三角形相似._第05讲精讲：三角形内接正方形问题探究；三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形，正方形有4个顶点，而三角形只有3条边，所以，正方形一定有两个顶点在同一条边上，即正方形一定有一条边落在三角形的边上.【变式1】如图，RtABC（C=90）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ的长【解析】，设，FKG=KQP又FGK=KPQ=90，FGKKPQ 解得答：第三个正方形的边长为4厘米【变式3】如

4、图所示，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，ADBC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积【解析】如图，设矩形的边长EF=x，则FG=2x，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，EHBC，EH=FG，AEHABC，又ADBC，则ID=x， ，BC=21cm，AD=14cm， ，解得，x=6cm，即2x=12cm，S矩形EFGH=EFFG=612=72cm2答：矩形EFGH的面积为72cm2 【变式4】四边形为正方形，在线段上，在上，如果，求的面积辅助线同变式2设正方形边长为，则由，得，解得，【变式5】如图，在ABC中，AB=5，BC=3，AC

5、=4，动点 (与点A、C不重合)在AC边上，交BC于点试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长【解析】 如图过(或)，分别作垂线，垂足为(或)，当 (或)时，(或)为等腰直角三角形过作于，交于，则，设， ，得 ，即 ， 作的中垂线，交于，当时为等腰直角三角形设，则，即解得，即【变式6】如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，四边形DEFG为ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为探究与计算：（1）如图132，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，则正方形的边长为 ；（2）如图133，若三角形内有并

6、排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，则正方形的边长为 猜想与证明：如图134，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明图13图131ABCDEFG图132ABC图133ABCGGFFDDEE图134ABCGFDE【解析】探究与计算：（1）；（2）猜想与证明：若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，正方形的边长是证明如下：如图2，过点C作CNAB，垂足为N，交GF于点M设小正方形的边长为x四边形GDEF为矩形，GF图2ABCGFDENMAB图2ABCGFDENM即x=即小正方形的边长是思

7、维拓展训练(选讲)思维拓展训练(选讲)如图，正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M、交AB于点N、交CB延长线于点P使，若，则的长为 2.三个边长分别为、的正方形，则 .如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、，若，则的长是 【解析】10.5如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，求的面积过点作于点，交于.设正方形边长为，则由，得，解得，.实战演练实战演练知识模块一 位似 课后演练如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为， 以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点的对应点分别为画出，并写出点的坐标. 如图所示，点的坐标分别为.知识模块二 相似三

8、角形的两种基本模型 课后演练已知：如图，直线和的延长线相交于，.求证：如图，过作交于， ，又， .如图，已知，求证：.【解析】，又，如图1，图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形如果图1中正方形的面积是，求图2中正方形的面积 正方形的面积为，所以正方形的边长为又为等腰直角三角形故和是等腰直角三角形，故和都是等腰直角三角形设，则，解得图2中正方形的面积为中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【解析】设正方形的边长为，、的交点为，则有，即 解得， 故课后测课后测如图，矩形中，于点，点恰是的中点，下列式子成立的是（ ）A BC D【解析】D.如图，已知平行

9、四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、，若，则的长是 【解析】10.5如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）A B C1 DD第十七第十七种品格：成就雷妮与DOB美国DOB公司总裁雷妮女士从小生活经历比较坎坷，她幼年就失去了双亲，被一位亲戚抚养，但她的监护人却将她作为一个女佣来对待，她的童年浸满了辛酸。 在艰难的生活之中，雷妮也曾绝望，也曾丧失信心，甚至还有过轻生的念头。但她终于坚持了下来，她下定决心，以后一定要干出一番事业，让自己的子女不再过这种艰苦的生活。 于是，她毅然离开了这个名不符实的“家”，独自去闯荡天下。在这之后，她被人笑过，被人骗过，被人抛弃过，但每当遇到困难时，她就会想起以前的生活和给自己定下的人生目标，于是一次次地挺了过来。现在，她终于取得了成功，虽然经过了几十年长久的奋斗，但她终于实现了自己的目