2023届山东省“学情空间”区域教研共同体高三上学期入学考试数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 18 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 页2023届山东省“学情空间”区域教研共同体高三上学期入学考试数学试题一、单选题1已知集合，集合，则（）ABCD【答案】C【分析】先求出集合B，再求出.【详解】集合.因为，所以.故选：C2已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数（）ABCD【答案】B【分析】根据复数的除法，结合共轭复数的概念求解即可【详解】由已知可得，所以.故选：B.3已知向量、为单位向量，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不

2、充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为向量、为单位向量，所以，若，则，则，即，即，即，所以，故充分性成立，若，则，所以，即，所以，所以成立，故必要性成立，故是充分必要条件；故选：C4已知，则（）ABCD【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的余弦公式计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以故选：C5随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（）ABCD【答案】B【分析】将其中个

3、“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素，将、元素插入这位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果.【详解】因为个“冰墩墩”完全相同，将其中个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素，先将甲、乙、丙、丁位运动员全排，然后将、元素插入这位运动员所形成的空中，且、元素不相邻，则不同的排法种数为.故选：B.6已知等差数列的前n项和为，则n的值为（）A8B11C13D17【答案】D【分析】根据为，得到，结合，两式相加，再利用等差数列的性质得到，利用求出的值.【详解】，因为，所以，+得：，由等差数列的性质可知：，所以，又因为，所以.故选：D7已知变量的关系可以用模型（其中为自然对数的

4、底数）进行拟合，设，其变换后得到一组数据如下：46781023456由上表可得线性回归方程，则当时，预测的值为（）ABCD【答案】D【分析】求出，代入线性回归方程求得，可得模拟函数，然后代入可得的预测值【详解】由表格数据计算可知：.将代入，解得.所以.所以.所以当时，.故选：D.8对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是（）ABCD【答案】A【分析】类比题目构造函数的过程，对不等式进行整理变形为，由其结构特征，构造函数，根据其单调性，对原不等式进行转化求解.【详解】由不等式，得.设函

5、数，则，所以在上单调递增.因为，所以.解得或.故选：A.二、多选题9下列叙述正确的是（）A命题“”的否定是“”B在空间中，已知直线，满足，则C的展开式中的系数为D已知定义在上的函数是以为周期的奇函数，则方程在上至少有个实数根【答案】ACD【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断A，根据空间中直线与直线的位置关系判断B，根据二项式展开式的图通项公式判断C，根据奇函数及周期性判断D.【详解】解：对于A：命题“”为全称命题，其否定是“”，故A正确；对于B：若在空间中直线，满足，则和相交或异面或平行，故B错误；对于C：二项式展开式的通项为，所以展开式中的系数为，故C正确；对于D：因为函数是上的

6、奇函数，所以，又函数的周期为，所以，又且，所以，所以方程在上至少有个实数根，故D正确；故选：ACD10函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点，则方程的解为（）ABCD【答案】BD【分析】先根据正切函数的性质求出，得到的解析式，直接解方程即可求得.【详解】因为函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点，所以函数的周期为解得：.此时.又图像经过，所以，且，解得：.所以.故方程可得：或，解得：或.故选：BD11（多选题）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，以下结论正确的有（）AB点到平面的距离为定值C三棱锥的体积是正方体体积的D异面直线，所成的角为定值【答案】ABC【分析】由线面垂直推出异面直线

7、垂直可判断A；由点到平面的距离可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；根据异面直线所成角的定义判断D.【详解】解：对于，根据题意，且，所以平面，而平面，所以，所以正确；对于，到平面的距离是定值，所以点到的距离为定值，所以正确；对于，三棱锥的体积为，三棱锥的体积是正方体体积的，所以正确；对于，当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是，当在的中点时，F在的位置，异面直线AE，BF所成的角是，显然两个角不相等，命题错误；故选：12已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（）AB直线与C相交C若，则C的渐近线方程为D若，则C的离

8、心率为【答案】AD【分析】根据给定条件，计算切线长判断A；由直线斜率与的大小说明判断B；求出出点Q，P的坐标计算判断C，D作答.【详解】令双曲线的半焦距为c，有，依题意，如图，对于A，A正确；直线的斜率，直线是双曲线C过第一三象限的渐近线，直线与C不相交，B不正确；对于C，由选项A可得点，设点，依题意，即，解得，即，又点Q在直线上，则有，解得，有，C的渐近线方程为，C不正确；对于D，由选项C同理得点，因此，即，解得，D正确.故选：AD三、填空题13已知，且，则的最小值为_.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：，且，则，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值等于，故答案

9、为：14在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点且，则_【答案】【分析】根据终边上一点，求得，再结合可求得，再利用三角函数定义可求解.【详解】因为终边上一点，所以，又，所以可得，所以，故答案为：15设过点的直线l的斜率为k，若圆上恰有三点到直线l的距离等于1，则k的值为_.【答案】1或7【分析】设出直线l的方程，根据圆上恰有三点到直线l的距离等于1，得到圆心到直线l的距离为1，利用点到直线距离列出方程，求出k的值.【详解】设直线l的方程为，其中的圆心为，半径为2，因为圆上恰有三点到直线l的距离等于1，故圆心到直线l的距离为1，即，解得：或7，故答案为：1或716若

10、过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是_.【答案】【分析】设切点为,过点P的切线方程为.把题意转化为方程有三个不等根. 令，利用导数判断单调性，求出最值，即可求出m的取值范围.【详解】由题意得.设切点为,过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为,即这个方程有三个不等根.令，求导得：.令,解得：;令,解得：或.所以函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.故得到.因为所以，即m的取值范围是.故答案为：四、解答题17已知分别为的内角所对的边，且(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）

11、由余弦定理表示出关系，再由基本不等式得出的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得【详解】(1)在中，由题意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以；(2)方法一：由（1）知，又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以；方法二：由（1）知，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.18设为数列的前n项和，是首项为1，公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出的通项公式，即可得到，再根据作差计算可得；（2）由（

12、1）可得，记数列的前项和为，利用错位相减法计算可得.【详解】(1)解：因为是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，当时，当时，所以，当时也成立，所以.(2)解：由（1）可知，记数列的前项和为，所以，所以，所以，所以.19中国制造2025是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（，2），并把质量差在（，

13、+）内的产品为优等品，质量差在（+，+2）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）参考数据：若随机变量服从正态分布N（，2），则：P（+）0.6827，P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱

14、子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值【答案】（1）70； （2）； （3）分布列见解析，【解析】（1）结合频率分布直方图，用同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值，利用平均数的计算公式，即可求解；（2）由题意，可得，得到正品概率，再利用正态分布曲线的性质，即可求解；（3）得出所有可能为，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可【详解】（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式，可得（2）由题意可知，检查样本数据的方差的近似值为100，即样本方差，所以标准差，所以随机变量，可得该厂

15、生产的产品为正品的概率： .（3）由题意，随机变量所有可能为，则，所以随机变量的分布列为：0123 所以随机变量的期望【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，正态分布中概率的计算，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，着重考查数据分析能力，以及运算能力.20如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）证明出，.利用向量法

16、求解；（3）利用向量法求解.【详解】(1)连接FG.在中，F、G分别为的中点，所以.又因为平面, 平面，所以平面.(2)因为平面,平面，所以.又，所以.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.则,.,.设平面SCD的一个法向量为.则，即，令,得.所以平面SCD的一个法向量为.又平面ESD的一个法向量为.所以由图形可知,二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.(3)假设存在点H,设,则.由（2）知,平面的一个法向量为.则，即,所以.故存在满足题意的点H,此时.21椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，且的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点

17、，且，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，由，推出，解得，进而可得答案【详解】(1)解：因为，所以，即，所以，所以又，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.(2)解：由（1）知，所以，即，当直线的斜率为时，此时，不合题意，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，联立，得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线过点，不符合题意，所以直线的方程为22已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若不等式恒成立，求的最小值【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）对求导，通过分类讨论判断的单调性（2）恒成立，利用导数求出的最大值，通过对上式变形可