中考数学满分之路（八）-一些棘手的最小值问题

1、第 页中考数学满分之路（八） 一些棘手最小值问题关于最小值，你最需要知道的是：两点之间线段最短；垂线段最短.一、动点在直线上的带系数的折线段最小值问题【问题引入】如图，已知沙地的行进速度为1m/s，沙地边界处的快速通道的行进速度2m/s，点AB1000m，BHAH，BH500m，求从点A到点B所需的最短时间. （可从快速通道上的任意一点P直接进入沙地）【问题简化】如图，已知点B为直线外一定点，点A为直线l上一定点，点P在直线l上运动，求的最小值.需要提醒的是：你不需要知道什么胡不归，阿氏圆，费马点也能做出这道题。能成功解题的关键不在于你知道多少知识，而在于你对已有知识的灵活运用。模型是重要，但

2、模型的推导过程更重要。不知其所以然，知识很快就会被遗忘。【问题解决】由联想到在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，得解.通过研究这道题目，可自行总结出什么是胡不归模型，适用范围是什么（即在什么样的前提下构成此模型），解题通法是什么（万变不离其宗）.【我的总结】胡不归模型条件：系数不相等折线段的两个端点是定点，折点在直线上运动，在直线上的那条线段系数更小；求：此系数不等的折线段的最小值；方法：先通过正弦将“系数不等的折线段”转化为“系数相等的折线段”，再利用“垂线段最短”求解.1. 如图，已知RtABC中，ACB90，BAC30，延长BC至点D，使CDB

3、C，连接AD.（1）求证：ABD是等边三角形；（2）若E为线段CD的中点，且AD4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP.求的最小值；求的最小值.2. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，过点P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为_.3. 如图，点B，C是O上两点，分别过B，C作O的切线，两切线相交于点A，点E为弧上的动点，F，G分别为线段AB，AC上的动点，若O的半径为，则的最小值为_.二、动点在圆上的带系数的折线段最小值问题基础再强调定理 两角对应相等的两个三角形相似.定理 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图，ABC中，点D在

4、边AB上（不与端点重合），（1）若ACDB，则ACDABC；（2）若ACBADC，则ACDABC；（3）若，则ACDABC.进一步的思考（1）如图，点D在线段AB上，AD1，AB4，平面内是否存在点C，使得ACDABC，若存在，请找出所有符合条件的点C，若不存在，请说明理由；（2）如图，在ABC中，AC2，AB4，在线段AB上是否存在点D，使得ACDABC，若存在，请找出点C，若不存在，请说明理由；（3）平面内到两个定点的距离之比为常数k（k1）的点的轨迹是圆，这个圆被称作阿氏圆.我们要学习和掌握的不是什么阿氏圆，而是创造“SAS”、构造“子母型相似”.4. 如图，已知正ABC的边长为2，点D

5、为BC的中点，点E在以B为圆心BD为半径的圆上运动，则的最小值为_.5. 如图，O是正方形ABCD的内切圆，AB4，点P是O上一动点，则的最小值为_.6. 如图，在ABC中，C的半径为2，点D是C上的动点，点E在CB上，连接AD，DE，则的最小值为_.7. 如图1，抛物线（）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作于点M（1）求a的值和直线AB的函数表达式；，；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若，求m的值；m2；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，

6、旋转角为（090），连接EA、EB，求的最小值 【我的总结】阿氏圆模型条件：系数不相等折线段的两个端点是定点，折点在圆上运动（可能为隐圆）；求：此系数不等的折线段的最小值；方法：先通过“创造SAS条件，子母型相似”将“系数不等的折线段”转化为“系数相等的可拉直折线段”，再利用“两点之间线段最短”求解.三、动点在最大角小于120的三角形内部，求这个点到三个顶点距离之和的最小值【引例】已知点P为等边ABC内一点，且PA3，PB4，PC5，求APB的度数.8. 如图，等腰ABC中，CACB6，AB8，点O为ABC内一动点，求OAOBOC的最小值.9. 如图，ABC中，BAC90，AC6，AB8，点P为ABC内一动点，则PAPBPC的最小值为_.10. 如图，ABC中，BAC60，AC6，AB8，点P为ABC内一动点，则PAPBPC的最小值为_.【我的总结】费马点模型条件：在等腰三角形或含特殊角（30，60，90）的三角形中；求：此三角形内一动点到三顶点距离之和的最小值；方法：先通过“绕特