数学分析17.1多元函数微分学之可微性

1、记作dz|=df(x,y)=Ax+By.第十七章多元函数微分学记作dz|=df(x,y)=Ax+By.1可微性一、可性性与全微分定义1：设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域U(P)上有定义，对于U(P)中的点P(x,y)=(xeqoac(,+)x,yeqoac(,+)y)，若f在点P处的全增量可表示为：z=f(xeqoac(,+)x,yeqoac(,+)y)-f(x,y)=Ax+By+o()，其中=，o()是较高阶的无穷小量，A,B是仅与点P有关的常数，则称函数f在P可微.并称eqoac(,A)x+By为函数f在点P的全微分，当eqoac(,|)x|,|y|充分小时，dz可作为eqo

2、ac(,z)的近似值，即f(x,y)f(x,y)+A(x-x)+B(y-y).有时也表示为：z=eqoac(,A)x+Beqoac(,y+)eqoac(,)x+eqoac(,)y；其中=y)(0,0)=0.y)(0,0)例1：考察函数f(x,y)=xy在点(x,y)处的可微性.解：在点(x,y)处函数的全增量为：z=f(xeqoac(,+)x,yeqoac(,+)y)-f(x,y)=yeqoac(,0)x+xeqoac(,0)eqoac(,y+)eqoac(,x)y.=0,0eqoac(,.)eqoac(,x)y=o()，f在(x,y)处的可微，且df=yeqoac(,0)x+xeqoac(,

3、0)y.二、偏导数定义2：设函数z=f(x,y),(x,y)D,若(x,y)D且f(x,y)在x的某一邻,y.域内有定义，则极限(x,=(x(x,存在时，,y.这个极限称为函数f在(x,y)关于x的偏导数，记作：f(x,y)或z(x,y),y同样定义f在点(x,y)关于同样定义f在点(x,y)关于y的偏导数为：f(x,y)或.D上对x(或对y)的偏导函数()，记作：f(x,y)或(fD上对x(或对y)的偏导函数()，记作：f(x,y)或(f(x,y)或)也简写为f,z或(f,z或).1注：d1相似，又有差别；2、定义中，f在点(x,y)存在关于x(或y)的偏导数，f至少在(x,y)|y=y,|

4、x-x|(或(x,y)|x=x,|y-y|0)的偏导数.解：z=yx；z=xlnx.例4：求三元函数u=sin(x+y-e)的偏导数.解：u=cos(x+y-e)；u=2ycos(x+y-e)；u=-ecos(x+y-e).三、可微性条件(定理17.1：可微的必要条件)若二元函数f在定义域内一点(x,y)可微，()则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且z=Ax+By+o()中A=f(x,y),B=f(x,y).即全微分df,y)=f(x,yeqoac(,)x+f(x,yeqoac(,)y.例5：考察函数f(x,y)=在原点的可微性.解：根据偏导数的定义，f(0,0)=例5：考察函数f(x,

5、y)=在原点的可微性.解：根据偏导数的定义，f(0,0)=0;同理f(0,0)=0;z-dz=f(eqoac(,x,)y)-f(0,0)-f(0,0)x-f(0,0)y=.=f在原点不可微.不存在，即z-dz不是的高阶无穷小量，定理17.2：(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)的某邻域上存在，且f与f在点(x,y)连续，则函数f在点(x,y)可微.eqoac(,证：)z=f(xeqoac(,+)x,yeqoac(,+)y)-f(x,y)=f(xeqoac(,+)x,yeqoac(,+)y)-f(x,yeqoac(,+)y)+f(x,yeqoac(,+)y)-f(x,y

6、)；即全增量等于两个偏增量的和.对它们分别应用拉格朗日中值定理得：z=f(x+x,yeqoac(,+)eqoac(,y)x+f(x,y+eqoac(,2)eqoac(,y)y,00,-y+dz=yxdx+xlnxdy.注2：偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数f(x,y)=(x在原点(0,0)可微，但f与f却在点(0,0)不连续.若z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数f,f称f在(x,y)连续可微.定理17.3：(中值公式)设函数f在点(x,y)的某邻域上存在偏导数，若(x,y)=x+(x-x)和=y+(y-y),01f(x,y)-f(x,y)=f(,y)(x-x)+f(x)(y-y)

7、.如：f(x,y)=如：f(x,y)=在原点不连续，但两个偏导数都为0.如：函数f(x,y)=(圆锥)在原点连续，但在该点不存在偏导数；2、函数在某一点存在对所有自变量的偏导数，不保证在该点连续，四、可微性几何意义及应用定义3：设P是曲面S上一点，T为通过点P的一个平面，曲面S上的动点Q到定点P和到平面T的距离分别为d与h，若当Q在S上以任何方式趋近于P时，恒有0，则平面T为曲面S到点P处的切d平面，P.定理17.4：曲面z=f(x,y)在点P(x,y,f(x,y)存在不平行于x轴的切平面T的充要条件是函数f在点(x,y)可微.证：充分性若函数f在点(x,y)可微，由定义知，z=z-z=f(x

8、,y)(x-x)+f(x,y)(y-y)+o()；=.在过P的平面T上任取点(X,Y,Z)Z-z=f(x,y)(X-x)+f(x,y)(Y-y)；则曲面上任一点Q(x,y,z)到这个平面的距离为：h=,=,，,=AB即dA,=AB即dABAB由0=0,0，根据定义3知，d平面T为曲面z=f(x,y)在点P(x,y,f(x,y)的切平面.必要性若曲面z=f(x,y)在点P(x,y,f(x,y)存在不平行于x轴的切平面且Q(x,y,z)是曲面上任意一点，则点Q到这个平面的距离为：h=A(x)B(y)，令x=x-xeqoac(,)y=y-yeqoac(,)z=z-z=.AB由切平面定义知当Q充分接近

9、P时0,对于充分接近P的Q有ddeqoac(,|)z-Ax-By|d=(eqoac(,+|)z|)，又eqoac(,|)z|-|A|x|-|B|eqoac(,y|)eqoac(,|)z-Ax-By|(eqoac(,+|)z|)，eqoac(,|)z|A|x|+|B|y|+.又由2(|A|+|B|)+12(|A|+|B|)+1知，有界，从而d=d=1+0,使|f|M,|f|0,=min,使当eqoac(,|)x|eqoac(,|)y|时，就有|f(x+x,y+y)-f(x,y)|f在U(P;)上连续.D=D=0,2上二元函数f(x,y)=(1)若在intD内有f0，试问f在D上有何特性？(2)若

10、在intD内有f=f0，f又怎样？(3)在(1)f在D上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？解：(1)f(x,y)=(y).即函数值与x无关.理由如下：对intD内任意两点(x,y),(x,y)，由中值定理知：f(x,y)-f(x,y)=f(x+(x-x),y)(x-x)=0，即f(x,y)=f(x,y)，由(x,y),(x,y)的任意性知，f(x,y)=(y).(2)若在intD内有f=f0，则f(x,y)=常数，即函数值与x,y无关.证：对intD内任意两点(x,y),(x,y)，由中值定理知存在=x+(x-x),=y+(y-y)，使得f(x,y)-f(x,y)=f(,y)(

11、x-x)+f(x)(y-y)，f=f0，f(x,y)f(x,y).由(x,y),(x,y)的任意性知，f(x,y)=常数.(3)(1)中关于f在D上的连续性假设不能省略，否则不一定成立.在intD内，f0，但不连续，f(1,1)=1;f(-1,1)=0，显然f与x有关，结论不成立.(1)中长方形区域不能改为任意区域，否则不一定成立.例如，设I=(x,y)|x=0,y0,D=R-I例如，设I=(x,y)|x=0,y0,D=R-If(x,y)=证：设f(u,v)=arctanu，u=0,v=0,u=x,v=y，则arctanf(u)+f(ueqoac(,)u+f(ueqoac(,)v，其中eqoac(,u+)v=x+y.f(u)=arctan0=0,f(u)=f(u)=1，arctan在D上连续，且f0，但f(1,1)=1;f(-1,1)0，即f与x有关，结论不成立.17、试证在原点(0,0)的充分小邻域内，有arctanx+y.18、求曲面z=与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox轴的交角.解：z(2,4)=|=1；切线与Ox轴的交角为.19、试证(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和；(2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.证：(1)设u=xy,则du=ydx+xdy，du=+.(2)设v=则dv=-，=+.解：eqoac(,|)d|deqoac(,)W