高等数学及其应用电子教案第二版数学系ch26课件

1、高等数学及其应用电子教案第二版数学系ch26课件高等数学及其应用电子教案第二版数学系ch26课件一、微分的定义 在本章第一节中我们知道, 当自变量在 处有增量 时, 相应地函数有增量 如果函数在该点可导,则有:由函数极限与无穷小的关系, 增量比值可以写成 牛牛文库文档分享一、微分的定义 在本章第一节中我们知道, 当自变量在其中 是 时的无穷小, 由此上式又可以写成（2.11）从上式中看到: 如果函数在该点可导, 则因变量的增量 可以写成两项之和, 一项是 的线性函数另一项是 的高阶无穷小 牛牛文库文档分享其中 是 时的无穷小, T） （2.11）式的几何事实可用下图来说明: 图中的曲线是函数

2、图形. 对于曲线上某一固定点当自变量 有微小的增量时, 对应曲线上的另一点是曲线在 处的切线, 由此得: 牛牛文库文档分享T） （2.11）式的几何事实可用下图来说明: 且当 时, 是 的高阶无穷小, 因此当很小时, （2.11）可以写成即当自变量在 处给出增量 时, 函数的增量 可以近似表示为 的适当倍数, 由此引入下面概念. 牛牛文库文档分享且当 时, 定义2.1 设函数且在 处可导, 称在 的某个邻域内有定义, 为函数 在点相应于自变量的增量 的微分, 记为 即由定义,（2.11）可以表示为 牛牛文库文档分享定义2.1 设函数且在 处可导, 称在 如果函数 在区间 内每一点可微, 则称分

3、就称为函数的微分, 也记为 由前公式得:通常把自变量 的的增量称为自变量的微分, 记为 上式两端除以自变量的微分, 得:为区间内的可微函数: 函数 在 内的任意一点微于是函数的微分可记为（2.12）（2.13） 牛牛文库文档分享 如果函数 在区间 因此, 导数又称为微商. 牛牛文库文档分享因此, 导数又称为微商. 牛牛文例2.39 求函数当时的微分.解 因 所以 牛牛文库文档分享例2.39 求函数当时的微分.解 因 所以例2.40 求函数在 处的微分.解 因所以 牛牛文库文档分享例2.40 求函数在 处的微分.解 二、微分公式与运算法则 从微分表达式（2.13）得到下面的微分公式与相应的运算法

4、则. 牛牛文库文档分享二、微分公式与运算法则 从微分表达式（2.13）得到下 1.基本公式 导数公式微分公式 牛牛文库文档分享 1.基本公式 导数公式微分公式www.niuwk. 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 2.运算法则（表中 ） 函数的和、积、商的求导法则 函数的和、积、商的微分法则 牛牛文库文档分享 2.运算法则（表中 3.复合函数的微分法则 设 , 则复合函数 的所以复合函数的微分为由于 故上式又可写成:导数为: 牛牛文库文档分享 3.复合函数的微分法则 设 总是正确的, 这一性质称为微分形式不变性.比较两式, 可以看到无论 是中间变量或是直接变量, 表达式 牛牛文库文档分享总是

5、正确的, 这一性质称为微分形式不变性.比较两式, 可例2.41 利用微分形式的不变性, 求函数解 的微分. 牛牛文库文档分享例2.41 利用微分形式的不变性, 求函数解 三、微分的几何意义与函数的一次近似 由微分的定义, 当函数 在 处可微时, 有当 时, 并且误差仅是 的高阶无穷小. （2.14）（2.14）又可写成 牛牛文库文档分享三、微分的几何意义与函数的一次近似 由微分的定义, 即 （2.15）注意到, 若记 则有（2.16）式的左端就是曲线 的表达式; 而右端（2.16）是 的一次函数, 它是曲线在点 处切线的表达式, （2.16）表明, 若函数可微分时, 曲线 牛牛文库文档分享即

6、（2.15）注意到, 若记 越小, 则近似程度就越高.在点 处附近的局部范围内可以用它在这点处的切线近似地替代, 此为微分的几何意义. 因此（2.15）或（2.16）通常称为函数 的一次近似或线性近似, 其近似误差是 的高阶无穷小. 牛牛文库文档分享越小, 则近似程度就越高.在点 处附近的局部范围内例2.42 求在 处的一次近似式.解 在（2.15）中, 取因 所以相应的一次近似式为 牛牛文库文档分享例2.42 求在 处的一次近似式.在（2.16）中, 若取则有（2.17） 牛牛文库文档分享在（2.16）中, 若取则有（2.17）www.niuwk例2.43 求解 因处的一次近似.在 由（2.17）得 牛牛文库文档分享例2.43 求解 因处的一次近似.在 由（2.17当 很小时, 还可得到其它函数的一次近似式. 我们把常用的几个函数的一次近似式列于下表: 牛牛文库文档分享当 很小时, 还可得到其它函数的一次近似式解 镀层的体积等于两个同心球体的体积之差. 故故要用的铜大约为例2.44