工程力学上第六章

1、第六章 点的运动学第一、二节 矢量法 直角坐标法教学时数： 2 学时教学目标：1、 能用矢量法建立点的运动方程,求速度和加速度2、 能娴熟的应用直角坐标法建立点的运动方程,求轨迹、速度和加速度教学重点：点的曲线运动的直角坐标法,教学难点：点的曲线运动的直角坐标法点的运动方程、 点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影教学方法： 板书 PowerPoint教学步骤：一、运动学引言 运动学是讨论物体运动的几何性质的科学；也就是从几何学方面来讨论物体的机械运 动；运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度；学习运动学的意义： 第一是为学习动力学打下必要的基础；其次运动学本身也有独立的应用；由于物体运

2、动的描述是相对的；将观看者所在的物体称为参考体,固结于参考体上的坐 标系称为参考坐标系；只有明确参考系来分析物体的运动才有意义；时间概念要明确：瞬时和时间间隔；运动学所讨论的力学模型为：点和刚体；二、点的运动学 本章将介绍讨论点的运动的三种方法,即：矢径法、直角坐标法和自然法；点运动时, 在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线,称为点的运动轨迹；点的运动可按轨迹外形分为直线运动和曲线运动；当轨迹为圆时称为圆周运动；表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程；本章讨论的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度,以及它们之间的关系；三矢量法 1、点的运动方程 如图,动点 M沿其轨迹运

3、动,在瞬时 t ,M点在图示位置；由参考点 O向动点 M作一矢量 r =OM ,就称 r 为矢径；于是动点矢径形式的运动方程为 r明显,矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹；rtrMO参考体用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点；2、点的速度rt如图,动点M在时间间隔 t 内的位移为MMrrttArtMrMvvOrttB就vr表示动点在时间间隔t 内运动的平均快慢和方向,称t为点的平均速度；当 t 0 时,平均速度的极限矢量称为动点在 t 瞬时的 速度 ；即v lim t 0 v lim t 0 rt ddt r r即： 点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数 3、点的加速度；方向沿轨迹的切线方向；如

4、图,动点M在时间间隔t 内速度矢量的转变量为vvvvMvMaavv就 a v 表示动点的速度在时间间隔t 内的平均变化率,称为平均加速度；t当 t 0 时,平均加速度的极限矢量称为动点在 t 瞬时的加速度；即v d va lim a lim v rt 0 t 0 t dt即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数,也等于它的矢径对时间的二阶导数；四、直角坐标法1、点的运动方程如图,在参考体上建立直角坐标系；就xf1tyf2tzf3t这就是直角坐标形式的点的运动方程；zMkrzOxyijxyt 可得两个柱面方程：由运动方程消去时间F 1x,y0F 2y,z 0这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹

5、,上式称为动点的轨迹方程；2、点的速度在直角坐标轴上的投影zMixjyz kivydyjz kdzkkrzOijxyxy由图可知,动点的矢径为rdrdxv将上式两边对时间求导,可得dtdtdtdt将动点的速度表示为解析形式,就有vvxijv比较上述两式,可得速度在各坐标轴上的投影vxdxxvydyyvzdz dtz等于点的对应dtdt这就是用直角坐标法表示的点的速度；即：点的速度在直角坐标轴上的投影,坐标对时间的一阶导数；3、点的速度在直角坐标轴上的投影如已知速度的投影,就速度的大小为vx 2y2z 2cos v,ixv其方向余弦为cos v,jyvcos v,kzv4、点的加速度在直角坐标轴

6、上的投影由于加速度是速度对时间的一阶导数,就ad2xid2yjd2zkdv xidvyjdv zkyjaz kdt2dt2dt2dtdtdt将动点的加速度表示为解析形式,就有aax ia比较上述两式,可得加速度在各坐标轴上的投影axdvxd2xxaydvyd2yyazdvzd2zzdtdt2dtdt2dtdt2这就是用直角坐标法表示的点的加速度；即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数,也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数；如已知加速度的投影,就加速度的大小为cos a ,ixM运动,已知taaa2a2a2x2y22 z其方向余弦为cos a ,jyx

7、yzacos a ,kza例 1、杆 AB绕 A点转动时, 带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环（为常数）；求小环 M的运动方程、速度和加速度；BxO2yMBxRMOAA解：建立如下列图的直角坐标；就Rsin2yRcos2即xRsin2t即为小环 M 的运动方程；vysin2yRcos 2tv xx2Rcos2tv yy2Rsin2t故 M点的速度大小为vv2v22Rxy其方向余弦为cos v,ivxcos2cos v,jvvaxvx4R2sin2t42xayvy4R2cos2t42y故 M点的加速度大小为aa2a24R2xy2r且有a42ix42jy42ixjy4加速度的方向如图 yM；B

8、vx2vOvyxA例 2、半径为 R 的圆轮在地上沿直线匀速滚动,已知轮心的速度为vC试求轮缘上一点M 的运动方程轨迹速度和加速度（演示图轮在地面上纯滚动）yP2rx解：建立直角坐标如图,t0时 M 点位于 O 点vc RtM 点的运动方程：xOPRsin其中OPvt,即xv CtR sin v CRR cos v CRt轨迹为摆线（可演示轮子运动时,M 点的轨迹画出来）yRtvycos2速度：vxxv CvCcosvCtvyyvCsinvCtRRvvx2vy22 vCsinvCt2vCsin2cosv,y2Rv可知vPM（如图）当2nn0 ,1,2 ,时,即 M 点接触地时v0加速度：axx

9、vCsinv CtayyvC2cosvCtRRRRaax2ay2v C2cosa,ycosv CtcosRR即 M 点的加速度大小为常量,方向恒指向轮心CMoRM课堂小结：本章介绍讨论动点运动的三种方法,即矢径法、直角坐标法和自然法；点运动时, 在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线,这条曲线成为点的运动轨迹；点的运动可按轨迹外形分为直线运动和曲线运动；当轨迹为圆时称为圆周运动；点作运动就是点的位置随时间变化； 表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程,本章讨论的内容为 点的运动方程、轨迹、速度和加速度,以及它们之间的关系；作业布置：1、 课本摸索题 6-2 2、 课本习题

10、6-2、6-3；教学后记：第三节 自然法教学时数： 2 学时教学目标：1、 能娴熟地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度,2、 正确懂得切向加速度和法向加速度的物理意义；教学重点：点的曲线运动的自然法,点沿已知轨迹的运动方程,点的切向加速度和法向加速度；教学难点：矢量求导及自然轴系的概念；教学方法： 板书 PowerPoint教学步骤：自然坐标法 1、运动方程 前提：点的轨迹已知 显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立：在轨迹上确定O 点,规定“+” ,“ -”M 点位置确定：弧坐标 S sOM设动点 M的运动轨迹如图；当动点运动时,弧坐标随时间t 连续变化,且为时间t

11、 的单值连续函数,即sft这就是自然坐标形式的点的运动方程；2、曲率和曲率半径图示空间曲线,说明曲线在弧长sMM内弯曲的程度；sMMks称为sMM的平均曲率 ；1当 M 点趋近于M点时,平均曲率的极限值就是曲线在M点的曲率,即klim s 0slim0sM点曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径,即k3、自然轴系主法线sM副法线法面nM亲密面切线Mb如图；由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系；且三个单位矢量满意右手法就,即 b n自然轴系不是固定的坐标系；4、用自然法表示点的速度由点的速度的矢径法vd rd rdsdsd r速度的方向沿着轨迹dtdtdsdtds由于d rdslim t 0

12、sv,所以vvdsdsdttdt即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s 对时间的一阶导数,的切线方向,当ds 为正时指向与 dt相同,反之,与相反；5、用自然法表示点的加速度由点的加速度的矢径法ad vdvdvvd的方向永久沿轨迹的切线方dtdtdtdt由于dvn, 所以advv2ndtdt上式说明加速度矢量a 是由两个分矢量组成： 分矢量advdt向,称为切向加速度,它说明速度代数值随时间的变化率；分矢量anv2n的方向永久沿主法线的方向,称为法向加速度,它说明速度方向随时间的变化率；加速度在三个自然轴上的投影为advd2ssa nv2ab0dtdt2全加速度位于亲密面内,其大小为2a

13、 a 2a n 2 dv 2 v 2dt方向余弦为 cos a , a cos a , n a na a例 1 、 在 曲 柄 摇 杆 机 构 中 , 曲 柄 OA 与 水 平 线 夹 角 的 变 化 规 律 为 t 2, 设4OA O 1 O 10 cm,O 1 B 24 cm,求 M 点的运动方程和 t 1 时 M 点的速度和加速度（演示图中机构的运动可将 B 点的轨迹画出来）avBo1oBDB3BoO 1t2O45an解法 1 自然坐标法243B 点的运动方程s速度vs6tt22t2加速度as6a ns23622424t1s 时v6a6an322解法 2 直角坐标法（坐标建立如图）yBj

14、O 1iOx6v By62cos8B点的运动方程：x BO 1Bcos24cos224cos8t2yBO 1Bsin24 sin8t2速度：vBxxB6sin8t2tvByyB6cos8t2t加速度：aBxxB6sin8t2322t2cos8t2aByyB6cos8t2322t2sin8t2t1 s时v Bx6sin8v6sin8i6cos8jcos832sin8aBx6sin8322cos8aByaaBxiaBxjM运动,已知t例 2、杆 AB绕 A点转动时, 带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环（为常数）；求小环 M的运动方程、速度和加速度；RMBO2sBMOA A解：建立如下列图的自然

15、坐标；就点的自然坐标形式的运动方程为s R 2 2 R t速度为 v ds2 Rdt2 2加速度为 a dv 0 an v 2 R 4 R 2dt R例 3、一点作平面曲线运动,其速度在 x 轴上的投影始终为一常数 C；试证明在此情形下,3点的加速度的大小为 a v；其中 v 为点的速度的大小, 为轨迹的曲率半径；CvaxMa n证明：设点沿图示曲线运动,速度和加速度如图；由已知条件得v cosC（1）a nax0由于速度在x 轴上的投影始终为一常数,所以由于axacosansin0所以aa ntg于是可得aa22 a na n1tg2cos由于anv2,所以avv2cos将（ 1）式代入上式得a3C证毕；课堂小结：本章介绍了描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法；矢量法在理论上概括性强,分析方法直接明白,但在求解详细的力学问题时,需把矢量运算变换为标量运算的形式,因而将速度和加速度表