数值分析03线性方程组求解课件

1、1 线性方程组Grammer法则：需要乘除法次数： N(n+1)n!(n-1)+n第三章 线性方程组的解法当n100，特别是某些偏微分方程数值求解过程中出现的方程组常选用迭代解法。相关理论包括：迭代的收敛性、收敛速度问题、误差估计。常用的迭代法是：Jacobi迭代法；GaussSeidel迭代法。数值解法1、直接解法在不考虑舍入误差的情况下，经有限步四则运算求得精确解。当n0.5时有更复杂的停机准则，参阅宋永忠.解线性方程组的迭代法的停机准则和误差界.计算数学，1992(1):2732三、Jacobi迭代法1、Jacobi迭代格式根据方程组中第i个方程，将未知量表示出来。用其余的未知量构造迭代

2、格式：将上面的格式写成矩阵乘法的形式，等价与下面的矩阵方程其中，L，D，U分别是原方程组Ax=b中系数矩阵A的对角线下方元素、对角线元素、对角线上方元素构成的矩阵，即可见，Jacobi迭代法中的迭代矩阵为2、Jacobi迭代法的收敛性判定Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是：而Jacobi迭代法中迭代矩阵的谱半径可以按照下面的公式计算这是因为例：用Jacobi迭代法求解下列方程组，并验证收敛性；取初值x=（1，1，1）T，给出迭代两步后的方程组的近似解解：迭代格式收敛性所以Jacobi迭代法收敛。准确解（1，2，3）四、GaussSeidel迭代法1、基本思想与迭代格式在Jacobi迭代法中

3、，注意到计算时，从一直到都已经计算好，然而Jacobi迭代法并没有利用这些最新的近似值进行下一步的计算，仍用第k步的各个x进行迭代。为此，我们对Jacobi迭代格式进行如下修改：一旦有未知量最新的近似值，下面就用最新结果进行迭代，这样可能使收敛速度加快，同时节省存储空间将上面的方程组写成矩阵乘法形式：GaussSeidel迭代法的迭代矩阵为：2、GaussSeidel迭代法的收敛性判定GaussSeidel迭代法收敛的充分必要条件是：例：用GaussSeidel迭代法求解下列方程组，并验证收敛性；取初值x=(1,1,1)T，给出迭代两步的结果解 ：迭代格式收敛性：所以Gauss-Seidel迭

4、代法收敛。关于Jacobi迭代与Seidel迭代的说明Jacobi迭代收敛时，Seidel迭代未必收敛；反之后者收敛时，前者也未必收敛；一般来说，当二者都收敛时，Seidel迭代收敛速度要快一些。Th：对于方程组Ax=b的Jacobi迭代法与Seidel迭代法（1）若A为严格对角占优阵，则两种迭代法均收敛；（2）若A为对称正定矩阵，则GaussSeidel迭代法的收敛。五、迭代法的收敛速度设是方程组Ax=b（等价于）的准确解，则，而由迭代格式（2）（1）可得：从而从而，有：上式可近似地看作：若要求k次迭代后，误差不超过初始误差的即：则只需要迭代次数满足：我们用表示迭代法的渐进收敛率，当迭代收敛

5、时越大，即越小（必须小于1 ），则收敛速度越快。Def：称为迭代法的收敛速度。例：利用GaussSeidel迭代法和Jacobi迭代法解方程组，需要迭代多少次，才能使误差不超过六、逐次超松弛迭代法（SOR）法G-S迭代的加速由GS迭代格式可见，GS迭代法再计算第k1步的近似值时，实质上是在第k步近似值的基础上，加上一个修正量。为了获得更快的收敛效果，在修正量前乘一个松弛因子适当选取松弛因子，可望得到收敛速度更快的迭代格式。这种方法就称为逐次松弛迭代法，简称SOR (successive overrelaxation)法。该方法收敛的必要条件是问题：如何选取松弛因子才能保证迭代收敛？松弛因子取多

6、少，才能使收敛速度最快？对于正定方程组，上述条件成为松弛法收敛的充分必要条件当就是GS迭代法； 当 称为逐次超松弛法； 当 称为逐次低松弛法。Th：当A是对称正定的三对角矩阵，则最佳松弛因子的选取为：习题三1、用Gauss列主元素法解下列方程组2、用追赶法求下列三对角方程组，其中系数矩阵和右端列向量分别如下：3、证明满足范数定义4、证明：5、设x是二维向量，画图描述下面的点集6、设证明：7、给定方程组Ax=b，其中其准确解为x=(1 , -1)T。（1）对近似解分别计算残差及残向量（2）求（3）说明x1比x2精度高但残差反而大的原因。8、对下列方程组，考察用Jacobi迭代法与Gauss-Se

7、idel迭代法求解是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若不收敛，能否将方程组变形，使之收敛？9、证明：若A为严格对角占优阵，则Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法求方程组Axb的解的迭代格式均收敛。10、给定方程组Ax=b，其中（1）证明当时，GaussSeidel迭代法收敛；（2）证明当时，Jacobi迭代法收敛；否则发散。11、设方程组Ax=b的系数矩阵为问a在什么范围取值时Jacobi迭代法收敛。12、对线性方程组Ax=b，分裂A为指出迭代格式：收敛的充要条件，并说明Jacobi迭代法、GaussSeidel迭代法和SOR迭代法是上述一般迭代格式的特例。应用题一 假设在一个生物

8、系统中有n种动物和m个食物来源。设表示第j种动物的数量，表示第i种食物的日常供给；表示由第j种动物平均消耗的第i种食物的数量。线性方程组， 表示一种供求平衡，这里每日的食物供给恰好满足每种动物的日平均消耗。（2）能够单独加到系统中而食物供给仍能满足消耗的每种动物的最大数目是多少？（3）如果第一种动物绝种，余下的每种动物能够增加多少，让系统仍能支持？（4）如果第二种动物绝种，余下的每种动物能够增加多少，让系统仍能支持？ （1）设是否有足够的食物满足平均的日消耗？在概率意义下，一个雌虫对于种群中的雌虫数量做出的贡献，在一篇名为“Population Waves”的文章中，Bernadelli假设了

9、，从第二年到第三年存活率为中的年龄为i的雌虫数量的贡献，即 第一年的存活率为一种具有3年自然生命期的简化的甲虫。此种群中的雌虫在在第三年末死亡前平均生产6个新的雌虫。可用一个矩阵证明设矩阵表示年龄为j的一个雌虫对于下一年应用题二（1）因而一个雌虫对于2岁的甲虫所做的贡献由A2中元素决定，对3岁甲虫所做的贡献由A3中元素决定，等等。请给出一个雌虫对于n年内的甲虫数量的贡献。（2）在未来年份里对于开始在每个年龄组中有6000个雌虫的此种甲虫组会有什么情况发生？（3）计算A1，并说明它对此种群数量的重要性。数值实验题研究用Jacobi迭代法与GaussSeidel迭代法解下列方程组的收敛性，通过计算

10、机计算，验证分析是否正确，并观察右端项对迭代收敛是否有影响，比较两法的收敛速度。附录一范数的连续性令则：由范数定义，有所以当 时，即 时，有附录二 估计近似解精度的一个简单方法求解线性方程组H5x=b，其中H5、b的元素分别为：用列主元素法求得由于舍入误差及方程组性态的影响，得到的仅为近似解。如何估计这个解的精度？第一步：任取一个向量，且各分量计算b*=Ay*。第二步：用所选的方法（本题为列主元素法）解方程组Ay=b*，得近似解y（此方程组的准确解为y*）第三步：计算相对误差这个相对误差在某种程度上反映了计算工具、所用算法及系数矩阵A的形态等因素对解得影响，因此在相同条件下求解Ax=b时，可以用此相对误差作为所得近似解x的相对误差估计值。根据相对误差与有效数字的关系，也可以省去相对误差的计算。以y*为标准，观察y各分量的有效数字位数最少为几位，则x分量也大致有几位有效数字。以本题为例，取y*=(1，2，3，4，5)T，算得b*=H5y*=(5，3.