2022年广西蒙山县一中高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知的展开式中的系数为 5，则（ ）A4B3C2D-12某中学高二共有12个年级，考试时安排

2、12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，则不同的安排方案有（ ）A4455B495C4950D74253将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为（ ）ABCD4已知集合，则图中阴影部分表示的集合为 A1，BCD5已知是以为周期的偶函数，当时，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是（ ）ABCD6若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A15B16CD7 “直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8

3、用数学归纳法证明：，第二步证明由到时，左边应加（ ）ABCD9如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A2.5%B0.5%C1%D0.1%10设是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若，则的值()A恒为负值B恒等于零C恒为正值D无法确定正负11的外接圆的圆心为，则等于（ ）ABCD12在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排

4、在同一个路口，则不同的安排方法有（ ）A180种B150种C96种D114种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在平面直角坐标系中，已知为圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是_.14已知为椭圆上的任意一点，则的最大值为_.15设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于_16已知函数 ,若对任意,存在,，则实数的取值范围为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）观察以下等式：131213+23（1+2）213+23+33（1+2+3）213+23+33+43（1+2+3+4）2（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用

5、数学归纳法加以证明（2）设数列an的前n项和为Sn，且ann3+n，求S118（12分）在直角坐标系中，不在轴上的动点满足于点为的中点。(1)求点的轨迹的方程；(2)设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。19（12分）2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？20（12分）已知函数，()当时，证明：；()的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论21

6、（12分）某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团未参加演讲社团（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率.22（10分）已知函数的图象关于原点对称.（）求，的值；（）若函数在内存在零点，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】将化简为：分别计算的系数，相加为5解得.【

7、详解】中的系数为： 的系数为： 的系数为： 故答案选D【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.2、A【解析】根据题意，分两步进行：先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，然后分析剩余的4个班级的监考方案，计算可得其情况数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，首先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，有种，而剩余的4个班级全部不能有本班的班主任监考，有种；由分步计数原理可得，共种不同的方案；故选：A.【点睛】本题解题关键是掌握分步计数原理和组合数计算公式，考查了分析能力和计

8、算能力，属于中档题.3、C【解析】利用“左加右减”的平移原则，求得平移后解析式，即可求得对称轴方程.【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到，令，解得，令，解得.故选：C.【点睛】本题考查函数图像的平移，以及函数对称轴的求解，属综合基础题.4、B【解析】图中阴影部分表示的集合为，解出集合，再进行集合运算即可【详解】图中阴影部分表示的集合为故选【点睛】本题主要考查了图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合的限制条件5、B【解析】由已知，函数在区间的图象如图所示，直线y（且）表示过定点的直线，为使关于的方程（且）有个不同的根，即直线与函数的图象有4个不同的交点.结合图象可知，当直线介于直线和直

9、线之间时，符合条件，故选.考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程.6、A【解析】首先确定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】根据伙伴关系集合的概念可知：1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由1,1,3和，2和这“四大”元素所组成的集合的非空子集所以满足条件的集合的个数为24115.故选A.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题.7、B【解析】由“直线垂直于平面”可得到“直线垂直于平面内无数条直线”，反之不成立（如与无数条平行直线垂直时不成立），所以“直线垂直于平面

10、内无数条直线”是“直线垂直于平面”的必要而不充分条件，故选B.考点：充分条件与必要条件8、D【解析】当成立，当时，写出对应的关系式，观察计算即可得答案.【详解】在第二步证明时，假设时成立，即左侧，则成立时，左侧，左边增加的项数是，故选：D【点睛】本题考查数学归纳法，考查到成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题9、A【解析】根据得到，得到答案.【详解】，故，故判断“是否爱吃零食与性别有关”出错的可能性不超过2.5%.故选：.【点睛】本题考查了独立性检验问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.10、A【解析】依据奇函数的性质，在上单调递减，可以判断出在上单调递减，进而根据单调性

11、的定义和奇偶性的定义，即可判断的符号。【详解】因为时，单调递减，而且是定义在上的奇函数，所以，在上单调递减，当时，由减函数的定义可得，即有，故选A。【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。11、C【解析】，选C12、D【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：三个路口人数情况3，1，1，共有种情况；三个路口人数情况2，2，1，共有种情况.若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方

12、法有种.故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据相关点法，、是两个相关点，找出的坐标与的坐标之间的关系，借助的方程可以求出的方程【详解】解：设，由已知有，即，因为是圆上的一个动点，所以满足圆的方程，代入，得，整理得，故答案为:.【点睛】此题考查了用相关点法求轨迹方程的问题.在求点的轨迹方程时，常设出该点的坐标为，根据已知条件列出关于 的方程.还有的题目可以依据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，求轨迹方程前首先判断出轨迹的形状，进而求解.14、9【解析】设，代入并利

13、用辅助角公式运算即可得到最值.【详解】由已知，设，则，故.当时，取得最大值9.故答案为：9【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求函数的最值问题，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.15、12【解析】通过双曲线的定义可先求出的长度，从而利用余弦定理求得，于是可利用面积公式求得答案.【详解】由于，因此，故，由于即，而，所以，所以，因此.【点睛】本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.16、【解析】利用导数求函数f（x）在（1，1）上的最小值，把对任意x1（1，1），存在x2（3，4），f（x1）g（x2）转化为g（x）在（3，4）

14、上的最小值小于等于1有解【详解】解：由f（x）exx，得f（x）ex1，当x（1，0）时，f（x）0，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，f（x）minf（0）1对任意x1（1，1），存在x2（3，4），f（x1）g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函数g（x）x2bx+4的对称轴为x当3，即b6时，g（x）在（3，4）上单调递增，g（x）g（3）133b，由133b1，得b4，4b6；当4，即b2时，g（x）在（3，4）上单调递减，g（x）g（4）204b，由204b1，得b，b2；当34，即6b2时，g（x）在（3，4）

15、上先减后增，由1，解得或b，6b2综上，实数b的取值范围为4，+）故答案为：4，+）【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）猜想13+23+33+n3（1+2+3+n）2；证明见解析（2）2【解析】（1）根据式子猜想出一般性结论，然后当时，证明成立，假设时，式子也成立，然后对时的式子进行化简，从而证明结论成立；（2）对进行分组求和，然后根据（1）中所得到的求和公式，进行求和计算，得到答案.【详解】（1）猜想13+23+33+n3（1+2+3+

16、n）2；证明：当n1时，左边1，右边1，等式成立；假设nk时，13+23+33+k3（1+2+3+k）2，当nk+1时，13+23+33+k3+（k+1）3（1+2+3+k）2+（k+1）3，可得nk+1时，猜想也成立，综上可得对任意的正整数n，13+23+33+n3（1+2+3+n）2；（2）数列an的前n项和为Sn，且ann3+n，S1（13+23+13）+（1+2+3+1）（1+2+1）2552+552【点睛】本题考查数学归纳法的证明，数列分组求和，属于中档题.18、（1）；（2）定值0【解析】（1）解法一：设点的坐标为，可得出点，由，转化为，利用斜率公式计算并化简得出曲线的方程，并标出

17、的范围；解法二：设点，得出，由知点在圆上，再将点的坐标代入圆的方程并化简，可得出曲线的方程，并标出的范围；（2）先求出点的坐标，并设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理， 利用斜率公式并代入韦达定理计算出来证明结论成立。【详解】（1）解法一：设点，因为轴，为的中点，则，所以，即，化简得，所以，的方程为；解法二：依题意可知点的轨迹方程为，设点，因为轴，为的中点，所以，所以，即，所以，的方程为；（2）依题意可知，设直线的方程为，、，由，得，所以，所以 ，所以，为定值。【点睛】本题考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合问题，考查将韦达定理法在直线与圆锥曲线综合问题中的应

18、用，这类问题的求解方法就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理求解，运算量大是基本特点，化简是关键，考查计算能力，属于难题。19、（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列数（捆绑法），再用全排列相减得结果.详解：（1）法1：，法2：； （2）答：分别有360和576种不同的排法. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.20、（）见解析（）曲线yf（x），yg（x）公切线的条

19、数是2条，证明见解析【解析】（）当x0时，设h（x）g（x）xlnxx，设l（x）f（x）xexx，分别求得导数和单调性、最值，即可得证；（）先确定曲线yf（x），yg（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，先化简方程得lnm1分别作出ylnx1和y的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数，即可得到所求结论【详解】（）当x0时，设h（x）g（x）xlnxx，h（x）1，当x1时，h（x）0，h（x）递减；0 x1时，h（x）0，h（x）递增；可得h（x）在x1处取得最大值1，可得h（x）10；设l（x）f（x）xexx，l（x）ex1，当x0时，l（x）0，l（x）递增；可得l（x）l（0）10，综上可得当x0时，g（x）xf（x）；（）曲线yf（x），yg（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g（x）lnx，f（x）ex的