极坐标与极坐标方程

1、极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标概述第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的流数法与无穷级数，大约 于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线， 书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家 J.贝努力利于1691年在教师学报上 发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极 坐标去研究曲线。在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并 不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其

2、复杂，但用极 坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简 单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标 来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本 文对其进行了初步探讨。国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入 探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来， 极坐标已应用到各个领域。极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫作极点，引一条射线OX ,叫做极轴，再选定一个长度单 位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任

3、意一点M,用 表示线段OM的长度， 表示从OX到OM的角度， 叫点M的极径， 叫点M的极角，有序数对 ， 就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系.若点M在极点，则其极坐标为=0, 可以取任意值PMO图1-2图1-1PMO图1-2图1-1如图1-2,此时点M的极坐标可以有两种表示方法:同理,又由于一个角加2n同理,又由于一个角加2nZ后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯,那么除极点外，平面内的点和极坐标就可对应了。曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线可以用含有这两个变数的方程0在极坐标系中，曲线可以用含有这两个变数的方程0来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤：

4、10建立适当的极坐标系，并设动点 M的坐标为2写出适合条件的点M的集合；3列方程，0;4。化简所得方程；5。证明得到的方程就是所求曲线的方程。三种圆锥曲线统一的极坐标方程:yyFK的反向延长线FX为极轴,过点F作准线L的垂线，垂足为K ,FK的反向延长线FX为极轴,建立极坐标系。设M , 是曲线上任意一点，连结 MF ,作MA，L , MB，FX ,垂足分别为A, B .那么曲线就是集合p M也e .MA设焦点F到准线L的距离FK| P,由|MF1, | MA | BK P COS行ep cos即ep1 ecos这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。其中当 0 e 1时，方程表示椭 圆

5、，定点F是它的左焦点，定直线L是它的左准线。e 1时，方程表示开口向右的抛物线。 e 1时，方程只表示双曲线右支，定点 F是它的右焦点，定直线L是它的右准线。若允许0,方程就表示整个双曲线。极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的 长度单位，设M是平面内任意一点，其直角坐标 x, y ,极坐标是 ，从点M作MN OX ,由三角函数定义，得x cos , y sin .图1-4进一步有2 x2 y2,tg- x 0 x注：在一般情况下，由tg确定角 时，可根据点M所在的象限取最小角2极坐标在平面解析几何中的应用极坐标法求到定点的线段长度解析

6、几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数 解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将 此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标 系是解决问题的关键。以定点为极点如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点， 先 将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式， 化普通方程为 极坐标方程求解。例1设等腰OAB的顶角为2，高为h ,在 OAB内有一动点 p ,到三边OA例1设等腰OC的距离分别为PD、PF、OC的距离分别为PD、PF、PE ,并且满足关

7、系 PD gPFPE2,求P点的轨迹。图2-1解：如图2-1解：如图2-1所示，以O为极点，/ AOB的平分线为极轴，建立极坐标系，设P点极坐，则PDsinsinh cos由 PDgPFPE 2得2sinsin2 cos化简得2h2 coscos，则PDsinsinh cos由 PDgPFPE 2得2sinsin2 cos化简得2h2 coscosh22 cos化成直角坐标方程为h2 coshsin2 cos这是以0cos为圆心，以里 cos为半径的圆，所求的轨迹是I圆在等腰 OAB内部的部分。以原点为极点如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将

8、直角坐标方程转化极坐标方程求解。 TOC o 1-5 h z 22例2已知椭圆土 L 1直线L: . 2 1, P是L上一点，射线OP交椭圆于R, 24 1612 8又点Q在OP上，且满足OQgOP OR又点Q在OP上，且满足OQgOP OR,当点P在L上移动时，求点Q的轨迹万程，并说明轨迹是什么曲线。解：如图2-2所示,以解：如图2-2所示,以O为极点，OX为极轴,建立极坐标系则由互化公式知椭圆的极坐标方程为2 2 2cos23sin248直线L的极坐标方程为1,、P 2,2cos 3sin1,、P 2,2cos 3sin,则由(1)式知2448-2T-22cos3sin由(2)式知242c

9、os 3sin12,有所以24g2cos 3sin_22-2 cos 32cos2 . 所以24g2cos 3sin_22-2 cos 32cos2 . 2sin482 3sin24 cos 6 sin2x23y24x4y 02x 1522y 153x, y不同时为0点Q的轨迹是以1点Q的轨迹是以1为中心，长轴、短轴分别为 属R5且长轴平行与x轴的椭圆,3去掉坐标原点以焦点为极点凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点（椭圆左焦点，双曲线右焦点），应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。例3设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦。已知|OF| a, PQ b求OPQ的面积。

10、图2-3解：如图2-3图2-3解：如图2-3所示，以F为极点,FO的反向延长线FX为极轴，建立极坐标系。则抛物线的极坐标方程为于是PQPFQF2a1 cos2a221 cos于是PQPFQF2a1 cos2a221 cos. 2 sin4a2a 4a2 21 cos sin、ab-1S opq PQ gOF sin2极坐标简解与角有关的解析几何题含有已知角或公共顶点的一类解析几何题，运用极坐标系（或化直角坐标系为极坐标系）进行解题，常可避繁就简，化难为易，达到事半功倍的效果。下面分类举例说明2.2.1含有已知角，角顶点为极点求PQ例4已知P, Q在/ AOB的两边OA, OB上，/ AOB=y

11、 , POQ的面积为求PQ的中点M的轨迹方程。2，3解：以。为极点，OB为极轴，建立极坐标系，如图2-4所示，设P 1, 0 , 2，32 sin 8 3因为S POMS QOM1s 2POQ所以1 sin ( 一 32 sin sin( 3)16代入(4)并化简，得1 2 sin sin(3273即为所求。2.2.2含有已知角，坐标轴平移,化角顶点为极点例5已知曲线G: y Ji x122 g3得 ,顶点A (2, 0),点B是G122 g3得为斜边的等腰直角三角形，顶点 A、B C按顺时针排列，O为坐标原点，求|OC的最大值 及点C的坐标。iy*y图2-5解：曲线G化为：x2 y2 1 y

12、,以点A为新坐标系原点，则曲线G为(x 2)2y2 1 y 02-5所示，则曲线G为2-5所示，则曲线G为(cos2)2sin以点A为极点，X轴的正方向为极轴，建立极坐标系。如图设 B , ,C( , ),则sin代入(1)得sincos 一2sincossin所以点C的轨迹方程为(y2)2X 1故当OC过（3）的圆心 2,2时,OC的最大值为1 242 ,此时点C的坐标为极坐标法证明几何定理在平面几何证明中，极坐标法是一种重要的方法，应用十分广泛，下面以部分平面几 何中着名定理为例，谈谈极坐标法在证明中的应用。应用圆心是（a,0）,半径是a的圆的方程 2acos来证明例6求证：圆内接四边形两

13、组对边乘积的和等于两条对角线的乘积（托列迷定理）。设圆的半径为a,证明：如图2-6,以D为极点，DO设圆的半径为a,则eO ：2a cosA(1, 1则eO ：2a cosA(1, 1)、 B( 2,2)、 C( 3,3）三点都在eO上,AD2 2acos 2,CD 32acos另由正弦定理得AB2asin 1BC2asin 22asinABgDD BCgDA4 a2sincossin 23AB2asin 1BC2asin 22asinABgDD BCgDA4 a2sincossin 23 cos2a2 sin 1sinsin 2sin 231 2a22a2sinsin2 .4a sin3 c

14、os 2 .4a sin3 cos 2ACgBD图2-6应用极点在圆上，圆心为 a, 0的方程 2acos 0证明例7自圆上一点引三弦，并以它们各自为直径画圆。求证：所画三圆的其它三交点共线(沙尔孟 salmon定理)。C1图2-7CCC1图2-7CC证明：如图 2-7 , OA、OAi、OA2、OA3 分别是 eC、e Ci、e C2、e C3 的直径，P、F2、自分 别是e C1与e C2、e C2与e C3、e C3与e G的交点，以O为极点，OA的延长线为极轴建立极1、2、3 ,则坐标系，为简便计，设 OA 1,极轴与OAi、OA1、2、3 ,则OA cosp OAOA cosp OA

15、2 =cos2、OA3 =cos所以cos1cos(1)设Pi1 cos 12eC2:eC3：则由(1)、(2)cos 1 cos1cos1cos(1)设Pi1 cos 12eC2:eC3：则由(1)、(2)cos 1 cos1 cos 1coscoscos2 cos3 coscos1 cos 221 cos 2 22 cos 22 cos 2积化和2k 2 212k整数取k 0,得2 取k 0,得2 ,代入(1)中,得 cos 1 cos 2 .p1点坐标为(cos 1cos 2, 12).同理应用轮换得P2点坐标为(cos 2cos 3, 23),禽点坐标为(cos 3 cos 1 , 3

16、1).显然印P2、P3三点坐标满足法线式方程cos 123 cos 1 cos 2 cos 3故斗P2、P3三点共线，命题获证。应用圆的极坐标方程、两点或直线方程和法线式方程证明Sinson定理)。例Sinson定理)。图2-8证明：如图2-8,以P为极点，PO的延长线为极轴建立坐标系设AiA2A3的外接圆直径为d ,则e O的方程为 图2-8证明：如图2-8,以P为极点，PO的延长线为极轴建立坐标系设AiA2A3的外接圆直径为d ,则e O的方程为 d cos ,设顶点为A dcos i, i123i0,2sin 21 sin 2AA2的两点式方程为sin 1d cos 2sin 2cos 2sin1 cos 1 d sin 21coscos 21一 sin2si