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1、9.3 可降阶的高阶微分方程9.3.1 形如 的微分方程二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程可降阶的方程-通过初等变换降低阶数求解的方程例1.例2.( 不显含因变量 y 的方程 )9.3.2 形如 的微分方程解法:原方程变为:解此一阶方程得:两边积分,得通解:例3.代入原方程, 得解法：特点：可得通解.一般, 型此为P(x)的(n-k)阶方程解:代入原方程解线性方程, 得两端积分,得原方程通解为三次积分后,得例4.（1）（2）例5.例6.说明： 对于高阶方程，若求特解，最好将出现的待定系数一一解决。P.29例2.P.29例3 有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索,两端固定,绳索在重力的作用下

2、自然下垂,求该绳索在平衡状态下的曲线方程.解:设M为绳索上任一点,弧段OM上的受力如图所示,H,T是O点和M点处的张力.根据平衡原理:(悬链线)例 我舰向正东1km处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以常速v0沿正北方向直线航行,已知鱼雷的速度是敌舰速度的2倍,求鱼雷航行曲线的方程,并问敌舰航行多远时将被鱼雷击中?解:建立坐标如图所示,鱼雷航行曲线的方程为y=y(x).设在时刻t,鱼雷位于点P(x,y)处,敌舰位于点A(1,vot )处,且AP是曲线在点A的切线,即( 不显含自变量的方程 )9.3.3 形如 的微分方程解法:方程变为：解此一阶方程得:P.32例5(一阶线性非齐次)(可分离变量)P.32例6证明：曲率半径为常数R的曲线是圆。证明：设曲线方程为则曲率为方程化为即两边积分：两边积分：两边平方，整理得以上为圆的方程，故曲线为圆。P.33例7.脱离速度问题 要使垂直向上发射的物体永远离开地面,问发射速度v0至少应该有多大?rrF(r)RO解：以地心为原点，建立坐标系如图。设地球质量为M，半径为R；物体质量为m，且仅受到引力，物体在r(=R)处。G为万有引力常数。在地面上，物体受到的引力=重力，即则物体在r处，由牛顿第二定律，得将 代入得：（不含t）方程变为：（可分离变量）即解得

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