高考数学试题分类汇编数列极限和数学归纳法2

1、汇编资料 欢迎下载数列、极限和数学归纳法安徽理 （11）如下列图,程序框图（算法流程图）的输出结果是_ 1115【命题意图】此题考查算法框图的识别,考查等差数列前n 项和 . .k【解析】由算法框图可知T1 23kk k1,如 T105,就 K214,连续执行循环体,这时k15,T105,所以输出的k 值为 15. （18）（本小题满分12 分）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这n2个数构成递增的等比数列,将这n2个数的乘积记作T ,再令a nlgT n,n . （）求数列 a n的通项公式；（）设b ntanantana n1,求数列 b n的前 n 项和S . （本小题满

2、分13 分）此题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本学问,考查敏捷运用学问解决问题的才能,综合运算才能和创新思维才能. 解：（I）设l1,l2,nl2构成等比数列,其中t1,1nt2100,就Tnt1t2tn1tn2,Tntn1tn2t2t1, 并利用t1tn3it1tn21021in2 ,得T2t1 tn2t2tn1tn1t2tn2t1102 n2,anlgTnn2,n1n（II）由题意和（ I）中运算结果,知bntann2tann3 ,n1.另一方面,利用tan1tank1 k1tankk11tank,tantank得tan k1tanktan k11tank1 .

3、所以S nkn1b kn2tank1 tantank3n2tank1tank1tann3tan 3nk3tan1tan1安徽文 （7）如数列a n的通项公式是an n,就 aaLa（A） 15 B 12 C D （7） A【命题意图】此题考查数列求和.属中等偏易题 . 【解析】法一：分别求出前10 项相加即可得出结论；法二：a 1a 2a 3a4a9a 103,故 aaLa.应选 A. 北京理汇编资料 欢迎下载111. 在 等 比 数 列 a n 中 , 如 a 1,a 4 4, 就 公 比 q _ ；2| a 1 | | a 2 | | a n | _. 【解析】a 1 1,a 4 4 q

4、2, | a n | 是以1 为首项,以 2 为公比的等比数列,2 2| a 1 | | a 2 | | a n | 2 n 1 1；220.如数列 A ：1a ,a , ,a n n 2 满意 | a k 1 a k | 1（ k 1,2, ,n 1）,就称 A n为 E数列；记 S A n a 1 a 2 a . （1）写出一个满意 a 1 a 5 0,且 S A 5 0 的 E 数列 A ；（2）如 a 1 12,n 2022,证明： E数列 A 是递增数列的充要条件是 a n 2022；（3）对任意给定的整数 n n 2,是否存在首项为 0 的 E数列 A ,使得 S A n 0？假如

5、存在,写出一个满意条件的 E 数列 A ；假如不存在,说明理由；解：（） 0, 1,2,1,0 是一具满意条件的 E 数列 A5；（答案不唯独,0, 1,0,1,0 也是一个满意条件的 E 的数列 A5）（）必要性：由于 E 数列 A5 是递增数列,所以 a k 1 a k 1 k 1 2, , , 1999 . 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列 .所以 a2022=12+（ 20221） 1=2022. 充分性,由于 a2022a10001,a2022a10001 a2a11所以 a2022 a 19999,即 a2022a1+1999. 又由于 a1=12, a2022=

6、2022,所以 a2022=a1+1999. 故an1an10kk,12, 1999,即A n是递增数列 .综上,结论得证；（）令ckak1aa10k,12,n1 ,就cA1.由于a2a 1c 1a1c 1c21 ana 1c1c2c 1cn1,n2 c2n3c 31nccn1所以SA nna 1n1c 1n n11n11c 2n2 1.2由于ck1 ,所以1汇编资料k,1,n1 .欢迎下载ck为偶数所以*1c1n1 1c 2n2 1cn为偶数 , 所以要使为偶数 , N*. ,0必需使n n1 S A n2nn4 m1 m1 ,亦即n4m 或n即 4 整除当n4m1 mN*时,E数列A n的

7、项满意a4k1a4k1,0a4k2,1a4k1kk,12,m 时,有a1,0SA n0;1 ,a41 k,12 ,m ,a4k10 时,有a 10,S A n0;1 mN*时,E数列An的项满意,a4k1a 3k30 ,a4k2当n4m当n4m2或n4m3 mN时,nm1 不能被 4 整除,此时不存在E 数列An,使得a10 ,S An0.北京文（14）设 A 0,0 , B 4,0 , C t 4,3,D t ,3；记 N t 为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数, 其中整点是指横、 纵坐标都是整数的点,就 N 0；N t 的全部可能取值为；6；6,7,8 （20）（本小题共

8、 13 分）如数列 A n : a a 2 , a n n 2 满意 a k 1 a k 1 k 1,2, , n 1,就称 A 为 E 数列,记S A n a 1 a 2+ + a ；（I）写出一个 E 数列 A 满意 5 a 1 = a 3 =0；（II）如 a 1=12, =2022,证明： E 数列 A 是递增数列的充要条件是 a n =2022（III）在 a 1=4 的 E 数列 A 中,求使得 S A n =0 成立的 n 的最小值解：（） 0, 1,0,1,0 是一具满意条件的 E 数列 A5；（答案不唯独,0, 1,0,- 1,0 也是一个满意条件的 E 的数列 A5）（）必

9、要性：由于 E 数列 A5 是递增数列,所以 a k 1 a k 1 k 1 2, , , 1999 . 汇编资料 欢迎下载所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列 .所以 a2022=12+（ 20221） 1=2022. 充分性,由于 a2022a10001,a2022a10001 a2a11 所以 a2022 a 19999,即 a2022a1+1999. 又由于 a1=12, a2022=2022,所以 a2022=a1+1999. 故an1an130k,12, 1999,即A n是递增数列 .综上,结论得证；（）a k1a k1a k1a k1a k1a k1所以有：a2a

10、 11, 3 aa212, 4 aa311, , 8 aa713； 9 aa 814相加得：a 1a 2a 90,所以在a 1=4的 E 数列A 中,使得S A n=0 成立的 n 的最小值为 9；福建理16 本小题满分13 分 已知等比数列 a n的公比q3,前 3 项和S 3133 求数列 a n的通项公式；在x6处取得最大值,且最大值为 如函数f Asin2xA0,0a ,求函数f x 的解析式解： 由q3,S 313得a 11,所以a n3n2；33A3,由得a33,由于函数f x 最大值为 3,所以又当x6时函数f x 取得最大值,所以sin31,由于 0,故6,所以函数f x 的解

11、析式为f x 3sin2x6；福建文 17（本小题满分12 分）已知数列 an中, a11,a3 3；（）求数列 an的通项公式；（）如数列 an的前 k 项和 Sk 35,求 k 的值；解：（）由 a11,a3 3 得d2,所以 an32n；1,aka 40,就 k . （）S kkk k135,解得 k 7；广东理 11. 等差数列a n前 9 项的和等于前4 项的和 . 如a 1解法一:S 9S 4,即 a 1汇编资料a 44,9 a5欢迎下载4, 即914d223d,d1,a9 9a 12a 1a226由 11k1 1310 得:k10.an2.66解法二:S 9S 4,a 5a6a

12、7a8a9,0a7,0从而a4a 102 a 70 ,k10 .20.（本小题满分12 分）设b0,数列a n满意a 1= , b anannban12n2, 12n1求数列a n的通项公式；2证明：对于一切正整数n,anbn112n1解:1 由a nannba n12可得n2n11 , b12nanb a n1当b2 时,nnn11,就数列n是以11为首项,1为公差的等差数列,nn,从而ana12ana 122a n2当b2 时,n21b2 nb a n121b,a n1就数列n21 b是以121b2b为首项,2为公比的等比数列,a na 1b 2bn21b2b 2bn121b , 2 nb

13、a nnbn2bb,a nb 22nn2,b2综上a nn nb2n b bb0,b2.n 22 当b=2时,a n2,bn1+12,a nbn1+1, 从而原不等式成立 ;2n12n1当b2时, 要证anbn1+1,只需证nbn2bbn b1+1即证n2b b1+1,n 212nnn 212nn b2nbn即证2n12n2bn 23n2 bn2n b1b1+1,2 b2nbn即证 nn 2n1n 222n321bb2bn1bn1,bbn1bn2b2b22232nn 2而上式左边 =222n1n b12n2bn12b21bbbbn2nbn1n 22 b3 2b222n 21bn12n 22bn

14、122b221bnbnn 2n b1n 2b23 2b22当b2时 原不等式也成立,从而原不等式成立.广 东 文11 已 知an是 递 增 等 比 数 列 ,a22 ,a 4a34, 就 此 数 列 的 公 比汇编资料欢迎下载n,就A 11,1；q220（本小题满分14 分）设 b0,数列an满意a1b,a nanban11n2n1n（1）求数列a n的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ,2 anbn11解：（ 1）由a 1b0 可知ananban11,n11n1,令A nn1na nbb a n1anb当n2 时,A n11A n-1=1+111A 11+11bbbbn 1bnbb n

15、 1bnn nb b1 , 1b当 b1时,A n111bn b1；当 b =1时,A nnbb 1na nn b1n b11, b1b（2）当b1 时,欲证2an2 nbnb1bn11,bn1只需证2nbnbn11bn1,b1bn11bn1b2nb2n1bn1bn1bn21b1bnn b1bn111b1bnn bbbn2222n nb ,2a n2nbnb111bn1；bn当b1 时,2an2bn11,综上所述2anbn1+1；湖北理 12. 九章算术 “ 竹九节” 问题：现有一根9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4 节的容积共3 升,下面 3 节的容积共4 升,就第 5 节的

16、容积为升 .【答案】67 66解析： 设该数列an的首项为a ,公差为 d ,依题意a 1a2a 3a43,即汇编资料3,解得a欢迎下载,4 a 16 d17 d43a 7a 8a 943 a 121 d4d766就a5a 14da17d3d42167,所以应当填67 . 663666619. （本小题满分 13 分）已知数列a n的前 n 项和为S ,且满意：a1a a0,an1rSnnN *,rR r1. （）求数列an的通项公式；2,（）如存在 k N*,使得S k1,S ,S k2成等差数列, 试判定： 对于任意的 mN *,且mam1,am,am2是否成等差数列,并证明你的结论. 解

17、：（）由已知：an1rSn得an2rS n1,两式相减得an2r1 a n1,又a2ra所以当r0时数列an为： a , 0,0,0, ,当r0,r1时,由已知a0,所以an0, nN ,于是an21r,nNan1所以数列a a 3,a 成等比数列,即当n2时anr1rn2a综上 数列an的通项公式为a narn 2n12r1a n（）对于任意的mN ,且m2,am1,am,am2成等差数列,证明如下：当r0时由（）知a nan1,此时am1,am,am2成等差数列；0n2k2当r0,r1时,如存在 k N* ,使得S k1,S ,S k2成等差数列,就2S =S k1+S2a k1a k20

18、,由（）知数列a2,a 3,a 的公比r12,于是对于任意的mN *,且m2,am22a m1a m24a ；所以 2am=am1+am2即am1,am,am2成等差数列；综上：对于任意的mN ,且m2,am1,am,am2成等差数列；湖北文 17. （本小题满分12 分）汇编资料欢迎下载b n中成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13 后成为等比数列的 b 、 b 、 b ；I 求数列b n的通项公式；ad15a5；II 数列b n的前 n 项和为S ,求证：数列S n5是等比数列；4解： I 设成等差数列的三个正数分别为ad a ad ；就ada数列nb中的 b

19、、 b 、 b 依次为 7d,10,18d ,就 7d18d100；12得d2或d13（舍）,于是b 35,b 410b n5 2n35n 5 2II 数列b n的前 n 项和S n5 2n25,即S n5n 5 22S n14 544S nn 5 224因此数列S n5是公比为 2 的等比数列；4湖南文 20（此题满分13 分）某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M的价值在使用过程中逐年削减,从第 2 年到第 6 年,每年初 M的价值比上年初削减 10 万元；从第 7 年开头,每年初 M的价值为上年初的 75%（I ）求第 n 年初 M的价值a 的表达式；6n 年初对

20、 M（II ）设A na 1a 2na n,如A 大于 80 万元,就 M连续使用,否就须在第更新,证明：须在第9 年初对 M更新解析：（I ）当n6时,数列 a n是首项为 120,公差为10 的等差数列a n12010n113010 ;当n6时,数列 a n是以a 为首项,公比为3为等比数列,又a 670,所以4a n70 34n6;12010n113010 , n n因此,第 n 年初, M的价值a 的表达式为anan703 4n6,n7II设S 表示数列 a n汇编资料欢迎下载的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得当 1n6时,S n120n5 n n1,A n1205n1125

21、5 ;6_当n7时,S nS 6 a 7a 8a n5707033 4 1 4n67803 210 4n4A n780210 34nn6.由于 an是递减数列,所以A n是递减数列,又A 8780210 3488 6824780,A 9780210 3499 6767980,6496所以须在第9 年初对 M更新湖南理 12 、设S 是等差数列annN*的前 n 项和,且a 11,a47,就S 5答案： 25 解析：由 a 1 1, a 4 7 可得 a 1 1, d 2, a n 2 n 1,所以 S 5 1 9 5 25；2江苏 13.设 1 a 1 a 2 a ,其中 a 1 , a 3

22、, a 5 , a 7 成公比为 q 的等比数列,a 2 , a 4 , a 6 成公差为 1 的等差数列,就 q 的最小值是 _. 答案：3 3 . 2 3解析：由题意：1 a 1 a 2 q a 2 1 q a 2 2 q ,2a 2 q a 2 1, a 2 1 q a 2 2q 3a 2 2 3,而 a 2 1, a 1 1, a a 2 1, a 2 2 的最小值分别为 1,2,3；q min 33 . 此题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的才能 ,考查抽象概括才能和推理才能,此题属难题 . 20. （本小题满分 16 分）设 M为部分正整数组成的集合

23、,数列 a n 的首项 a 1 1,前 n 项和为 S ,已知对任意整数 k 属于 M,当 nk 时,S n k S n k 2 S n S k 都成立 . （1）设 M=1,a 2 2,求 a 的值；（2）设 M= 3,4,求数列 a n 的通项公式 . 答 案 : （ 1 ）k 1, n 1, S n 1 S n 1 2 S n S 1 , S n 2 S n 2 S n 1 S 1 即 ：an2an2 an1汇编资料欢迎下载所以, n1 时,a n 成等差,而 a 2 2,S 2 3, S 3 2 S 2 S 1 S 1 7, a 3 4, a 5 8;（2）由题意：n 3, S n 3

24、 S n 3 2 S n S 3 ,1; n 4, S n 4 S n 4 2 S n S 4 ,2,n 2, S n 4 S n 2 2 S n 1 S 3 ,3; n 3, S n 5 S n 3 2 S n 1 S 4 ,4;当 n 5 时,由（ 1）（2）得：a n 4 a n 3 2 a 4 ,5由（ 3）（4）得：a n 5 a n 2 2 a 4 ,6由（ 1）（3）得：a n 4 a n 2 2 a n 1 ,7;由（ 2）（4）得：a n 5 a n 3 2 a n 1 ,8;由（ 7）（8）知：a n 4 , a n 1 , a n 2 , 成等差,a n 5 , a n

25、1 , a n 3 , 成等差；设公差分别为：d d 2 ,由（5）（6）得：a n 5 a n 3 2 d 2 a n 4 2 a 4 2 d 2 ,9; a n 4 a n 2 2 d 1 a n 5 2 a 4 2 d 1 ,10;由（ 9）（10）得：a n 5 a n 4 d 2 d 1 , 2 a 4 d 1 d 2 , a n 2 a n 3 d 2 d 1 ; a n n 2 成等差,设公差为 d, 在（ 1）（2）中分别取 n=4,n=5 得：2 a 1 +6a 2 15 d 22 a 1 5 a 2 5 , 即 4 a 2 5 d 2;2 a 1 8 a 2 28 d 22

26、 a 1 7 a 2 9 , 即 3 a 2 5 d 1a 2 3, d 2, a n 2 n 1.解析：此题主要考查数列的概念,通项与前 n 项和的关系 ,等差数列概念及基本性质、和与通项关系、集合概念、 全称量词 , 转化与化归、 考查分析探究及规律推懂得决问题的才能,其中（1）是中等题,（2）是难题 . 江西理 5. 已知数列an的前 n 项和S 满意：SnSmSnm,且1a1,那么a 10A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】 A 【解析】S2S 1S 12,可得a 21,S 3S 1S 23,可得a3S 3S 21,同1理可得a4a5a10,应选 A 18.（本小题满分12 分

27、）已知两个等比数列an,b汇编资料1aa0欢迎下载,b2a22,b 3a33. n,满意a,b 1a11（1）如a1,求数列an的通项公式；2q,0 *（2）如数列an唯独,求 a 的值 .【解析】（ 1）设an的公比为 q ,就b 11a2,b 22aqb 33aq23q2,由1b ,b ,b 成等比数列得2q22 3q2,即q24q20,解得q122,q2224aq3a1所以an的通项公式a n22n1或an22n1. （2） 设an的公比为 q ,就由2aq2 1q3aq2,得aq2由a0得4 a24 a0,故方程（ * ）有两个不同的实根. S ,就1a =（）由an唯独,知方程（*

28、）必有一根为0,代入（ * ）得a1. 3江西文 5. 设a 为等差数列,公差d = -2 ,S 为其前 n 项和 . 如S 10A.18 B.20 C.22 D.24 S 10 S 11 , a 11 0答案： B 解析：a 11 a 1 10 d , a 1 2021. 本小题满分 14 分）（1）已知两个等比数列 a , b n,满意 a 1 a a 0 , b 1 a 1 ,1 b 2 a 2 2 , b 3 a 3 3,如数列 a n 唯独,求 a 的值；（2）是否存在两个等比数列 a , b n,使得 b 1 a 1 , b 2 a 2 , b 3 a 3 , b 4 a 4 成公

29、差 不为0的等差数列？如存在,求 a , b n 的通项公式；如 不 存在,说明理由解 ：（ 1 ）a n 要 唯 一 ,当 公 比 q 1 0 时 , 由 b 1 1 a 2 , b 2 2 a 2 , b 3 3 a 3 且2 2 2 2b 2 b 1 b 3 2 aq 1 1 a 3 aq 1 aq 1 4 aq 1 3 a 1 0,2a 0,aq 1 4 aq 1 3 a 1 0 最少有一个根（有两个根时,保证仅有一个正根）24 a 4 a 3 a 1 0 4 a a 1 0,此时满意条件的 a 有很多多个,不符合；当 公 比 q 1 0 时 , 等 比 数 列 a n 首 项 为 a

30、 , 其 余 各 项 均 为 常 数 0, 唯 一 , 此 时 由汇编资料欢迎下载2,2aq 121a3aq 12aq 124aq 13a10,可推得3 a1,0a1符合3综上：a1；3（2）假设存在这样的等比数列an,b n,公比分别为q1,q2,就由等差数列的性质可得：b 2a2b 3a3b 1a1b 4a4,整理得：b 1b 3q21a1a3q 11要使该式成立,就q21=q 110q 1q21或b 1b3a 1a30此时数列b 2ab 3a3公差为 0 与题意不符,所以不存在这样的等比数列an,b n；辽宁理 17（本小题满分12 分）已知等差数列 an满意 a 2=0,a6+a 8=

31、-10 （ I）求数列 an的通项公式；a n（ II）求数列 n 1 的前 n 项和2a 1 d 0,（I）设等差数列 a n 的公差为 d,由已知条件可得2 a 1 12 d 10,解得 a 1 1,故数列 a n 的通项公式为 a n 2 n . 5 分d 1.（ II）设数列 an n1 的前 n 项和为 S n,即 S n a 1 a 2 an n1, 故 S 1 1,2 2 2S n a 1 a 2 a nn . 所以,当 n 1 时,S n a 1 a 2 a 1 a nn a1 n 1 a nn2 2 4 2 2 2 2 21 1 1 1n 1 2n n 1 1 1n 1 2n

32、 n2 4 2 2 2 2所以 S n nn 1. 综上,数列 an n1 的前 n 项和 S n nn 1 . 12 分2 2 2辽宁文 5如等比数列 an满意 anan+1=16 n,就公比为 B A2 B4 C8 D16 15Sn为等差数列 an的前 n 项和, S2=S6,a4=1,就 a5=_ 1 全国理（17）（本小题满分12 分）2a 13 a21,a 329 a a6.等比数列a n的各项均为正数,且（ 求数列a n的通项公式；（）设b nlog3a 1汇编资料.log3a n,欢迎下载的前 n 项和 . log3a 2求数列1 b n（17）解：（）设数列 an 的公比为 q

33、,由2 a 39a a 得3 a 392 a 所以2 q1；S k24,9由条件可知2a0, 故q1 3；1,所以a 11；由2a 13a1得2a 13a q31故数列 an 的通项式为an=1 3 n；（）nblog3a 1log3a 2.log3a =1 2n n n2故1 b n2121n11n nn11.121111.1n112nb 1b 2b n223nn1S k2所以数列1的前 n 项和为2 nb nn1全国文 （17）（本小题满分12 分）设等差数列a n满意a 35,a 109；（）求a n的通项公式；（）求a n的前 n 项和S 及使得S 最大的序号 n 的值；解：（）由an

34、a 1n1 d 及a 35,a 109得a 19,d2；所以数列a n的通项公式为an112n（）S n10nn2n5225,所以n5时S 取得最大值；全国理 （ 4）设S 为等差数列a n的前 n 项和,如a 11,公差d2,就 k A 8 B 7 C 6 D 5 【答案】： D 【命题意图】 ：本小题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式等有关学问；【解析】：S k2S ka k2ak12a k1d2a 1kdd212 224,解得k5；汇编资料欢迎下载另外：此题也可用等差数列的前n 项和公式进行运算；1. （20）（本小题满分12 分）（留意：在试题卷上作答无效 ）设数列 a n满意

35、a 10且11n111n1. aa（）求 an的通项公式；（）设b n1a n1,记S nkn1b ,证明：S nn【命题立意】 ：本小题主要考查数列的通项公式、等差数列的概念、递推数列、不等式等基础 学问和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的才能；在解题过程中也渗透了化归与转化思想 方法 . 难度较小,同学易得分；【解析】：（）由111111知数列11n是首项为111,公差为1 的等差a na naa 1数列；11n1n1 1n ,an111S n11an（）由（）知bn1an111nn111nn1nnnnS nn1b kn11111111kknnna 和全国文 17本小题满分

36、l0 分留意：在试题卷上作答无效 设等比数列a n的前 n 项和为S , 已知a 26,6a 1a 330,求【解析】设等比数列a n的公比为 q,由题a q6,230,解得a 13, 或2,a 12,6 a 1a qqq3.所以假如a 13,就an=a qn13n 21 .S n=a 11qn32n31q假如a 12,就an=a qn1汇编资料a 11qn3欢迎下载23n1 .S n=n11q山东理15. 设函数f x xx2x0,观看 : f1 f x xx2,x4,f2 ff x 3x xf3 ff2 8,7xf4 ff 3 x15 x16依据以上事实,由归纳推理可得：当 n N 且 n

37、 2 时,f n f f n 1 . 【答案】2 x2 n 1 x n【 解 析 】 观 察 知 : 四 个 等 式 等 号 右 边 的 分 母 为 x 2,3 x 4,7 x 8,15 x 16 , 即2 1 x 2,4 1 x 4,8 1 x 8,16 1 x 16 ,所以归纳出分母为 f n f f n 1 的分母为 n 21 x n ,故当 n 2N 且 n 2 时,f n f f n 1 2 x2 . n 1 x n20.（本小题满分 12 分）等比数列 a n 中,a a 2 , a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a a 2 , a 中的任何两个数不在下表的同一列 .

38、第一列 其次列 第三列第一行 3 2 10 其次行 6 4 14 第三行 9 8 18 （）求数列 a n 的通项公式；（）如数列 nb 满意：b n a n 1ln a ,求数列 b n 的前 2n项和 S 2n . 【解析】（）由题意知 a 1 2, a 2 6, a 3 18 ,由于 a n 是等比数列 ,所以公比为 3,所以数列a n的通项公式an2 3n汇编资料欢迎下载1. （）由于b nan 1lna =n 2 31 1ln 2 3n1, 所以S nb 1b 2b na 1a 2anlna 1lna2lnan=21n 3 -lna a a n=n 31-13ln2n1 1 32 3

39、3n1= 2nln 3. n n12 2n13n1-ln2n32,所以S 2n=2 3n1-ln22n32=9n1-2 ln 22n（20）（本小题满分12 分）a a2,a 中的等比数列a n中,a a2,a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且第三列 10 14 18 任何两个数不在下表的同一列. 第一列其次列第一行3 2 其次行6 4 第三行9 8 （）求数列a n的通项公式；S 2n. （）如数列nb满意：b na nn 1 lna ,求数列b n的前 2n项和山东文没有新题 陕西理 13观看以下等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=

40、49 照此规律,第 n 个等式为 .【分析】归纳总结时, 看等号左边是子的变化规律,右边结果的特点, 然后归纳出一般结论行 数、项数及其变化规律是解答此题的关键【解】 把已知等式与行数对应起来,就每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ,加数的个数是 2n1；等式右边都是完全平方数,行数等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以nn1n2n112n12,即nn13 n22n2 1【答案】nn1汇编资料n12欢迎下载3 n2214植树节某班20 名同学在一段直线大路一侧植树,每人植一棵, 相邻两棵树相

41、距10 米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑动身前来领取树苗来回所走 的路程总和最小,这个最小值为（米）【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题【解】（方法一）设树苗放在第ii 个树坑旁边（如图） ,1 2 19 20 那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是20i 10s i1 10i210ii 10i1i 1010 iii i21i20i20ii1201000,所以来回路程的210i221 i210,所以当i10或 11时, s 的值最小,最小值是最小值是 2022 米. （方法二）依据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一

42、个最值；所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最终移到第10 个和第11个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以运算两个路程和即可；树苗放在第一个树坑旁,就有路程总和是10 1219210191 1923800；树苗放在第210 个（或第 11 个）树坑旁边时,路程总和是1012910121021091 921010 1 102900 11002022,所以路程总和最小为202222米. 【答案】 2022 19（本小题满分 12 分）如图,从点 P1（0,0）作 x 轴的垂线交曲线 y e 于点 xQ 10,1,曲线在 Q 点处的切线与 x 轴交于点 P 再从 P 做

43、x 轴的垂线交曲线于点 Q ,依次重复上述过程得到一系列点：P Q ；P Q ； ；P Q ,记 P 点的坐标为 kx ,0（k 0,1,2, , n ）（1）试求 x 与 kx 1 的关系（ 2 剟 k n）；（2）求 | PQ 1 | | P Q 2 | | PQ 3 | | P Q n |【分析】（1）依据函数的导数求切线方程,然后再求切线与 x 轴的交点坐标；（ 2）尝试求出通项 |P Q n|的表达式,然后再求和【解】（1）设点P k1汇编资料,yx e ,欢迎下载的坐标是xk1,0yx e ,Q k 1 x k 1 , e x k 1,在点 Q k 1 x k 1 , e x k

44、1 处的切线方程是 y e x k 1e x k 1 x x k 1 ,令 y 0,就 x k x k 1 1（ 2 剟 k n）（2）x 1 0,x k x k 1 1,x k k 1,x k k 1| P Q k | e e,于是有n1 2 k 1 1 e| PQ 1 | | P Q 2 | | PQ 3 | | P Q n | 1 e e e 11 e1 ne e,e 11 n即 | PQ 1 | | P Q 2 | | PQ 3 | | P Q n | e ee 1陕西文 10植树节某班 20 名同学在一段直线大路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10 米,开头时需将树苗集中放置在某

45、一树坑旁边,现将树坑从1 到 20 依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个正确 坑位的编号为（）（A）和（B）和 C 和 D 和【分析】依据选项分别运算四种情形的路程和；或依据路程和的变化规律直接得出结论【解】选 D （方法一）选项和： 1012详细分析238001122040结论A 192比 较 各 个： 1012821B ： 101291012102 =2022 路 程 和 可知 D 符合C ： 101291012102 =2022 题意D 和：路程和都是2022 （方法二）依据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个最值

46、；所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最终移到第10 个和第11汇编资料 欢迎下载个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以运算两个路程和进行比较即可；树苗放在第一个树坑旁, 就有路程总和是101219210191 1923800；树苗2放在第10个（或第11个）树坑旁边时,路程总和是101291012102109 1 292 1010 1 102290011002022,所以路程总和最小为2022 米. 上海理14.已知点 O0,0、Q00,1和点 R03,1,记 Q0R0的中点为 P1,取 Q0P1和 P1R0中的一条,记其端点为 Q1、R1,使之满意 | OQ 1

47、| 2 | OR 1 | 2 0,记 Q1R1的中点为 P2,取 Q1P2和 P2R1中的一 条 , 记 其 端 点 为 Q2 、 R2 , 使 之 满 足 | OQ 2 | 2 | OR 2 | 2 0 . 依 次 下 去 , 得 到P P 2 , , P n ,就 lim | Q P n | . 3n18.设 a n 是各项为正数的无穷数列,iA 是边长为 a a i 1 的矩形的面积 （i 1,2,）,就 A n 为等比数列的充要条件是（） D（A） a n 是等比数列 . （B）a a 3 , , a 2 n 1 , 或 a 2 , a 4 , , a 2 n , 是等比数列 . （C

48、）a a 3 , , a 2 n 1 , 和 a 2 , a 4 , , a 2 n , 均是等比数列 . （D）a a 3 , , a 2 n 1 , 和 a 2 , a 4 , , a 2 n , 均是等比数列,且公比相同 . 22.（本大题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,其次小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分）已知数列 a n 和 b n 的通项公式分别为 a n 3 n 6,nb 2 n 7（n N * .将集合 x x a n , n N * x x b n n N * 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列c c 2 , c 3 , ,

49、 c n ,（1）写出 c c c 3 , c ；（2）求证：在数列 c n 中,但不在数列 nb 中的项恰为 a 2 , a 4 , , a 2 n ,；（3）求数列 nc 的通项公式 . 22、 c 1 9 , c 2 1 1 , 3 1 2 ,；1 3* 任 意 n N, 设 a 2 n 1 32 n 1 6 6 n 3 b k 2 k 7, 就 k 3 n 2, 即a 2 n 1 b n 2 假设 a 2 n 6 n 6 b k 2 k 7 k 3 n 1N （冲突）,*a 2 n b n 2 在数列 nc汇编资料a a4,欢迎下载；中、但不在数列b n中的项恰为,a 2n,b 3k2

50、k23k276k3a 2k1,72c b 3c , b 3k165,a2k6k6,b 3k6k6 k36 k566k 6*7a 当k1时,依次有b 1a 1c b 2c 2,6k3n4k36 k5n4 k2,kNc n6 k6n4 k16k7n4 上海文2、 运算 lim1n n 3 n3 = 223.（此题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分）已 知 数 列 a n 和 nb 的 通 项 公 式 分 别 为 a n 3 n 6,nb 2 n 7（n N * .将 集 合 x x a n , n N * x x b n N * 中 的 元 素 从 小

51、 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列c c 2 , c 3 , , c n ,（1）求三个最小的数,使它们既是数列 a n 中的项,又是数列 b n 中的项；（2）数列 c c c 3 , , c 40 中有多少项不是数列 nb 中的项？请说明理由；（3）求数列 nc 的前 4n项和 S 4 n N * . 23、解： 三项分别为 9,15,21 ； c c 2 , c 3 , , c 40 分别为9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37,39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,

52、57,59,60,61,63,65,66,67b 3k223k25766k3a 2k1,b 3 k16k5,a 2k6 k6,b 3 k6k776 k36 k6k 66k3n4k汇编资料欢迎下载3nc n c 16 k5n4 k2,k3N*；c 4k3nc 4k2nc 4k1c4k24k2112 n233 n6 k6n4 k1S 46k7n4 c 4n2c 41c 424n n121 nc 2c 3c 4 c 4n2；四川理8数列 an的首项为 3, bn 为等差数列且b na n1a nnN*,如就b 32,b 1012,就a 8（B）3 （C）8 （ D）11 （A）0 答案： B 解析：

53、 b n 为等差数列, 由 b 3 2, 10 12 及 b 10 b 3 7 d 解得 d 2,故 b n 2 2 n 3,即 b n 2 n 8,故 a 2 a 1 b 1 6,a 3 a 2 b 2 4,a 4 a 3 b 3 2, ,a 8 a 7 b 7 6,相加得 a 8 a 1 6 4 2 0 2 4 6 0,故 a 8 a 1 3,选 B11定义在 0, 上的函数 f x 满意 f x 3 f x 2,当 x 0,2 时,f x x 22 x 设f x 在 2 n 2,2 n 上的最大值为 a n n N *,且 a n 的前 n 项和为 S ,就 lim n S n（A）3

54、（B）5（C）2 （ D）32 2答案： D 解析：f x 3 f x 2,当 x 2 时,f x 1 f x 2,当 x 0,2 时,f x x 22 x ,3a 1 1；当 x 2,4 时,x 2 0,2,f x 1f x 2 1 x 22 x , 2 1；当 x 2 n 2,2 n3 3 3时,x 2 n,f x 1 f x 2 12 f x 2 2 13 f x 2 3 1n f x 2 1n x 22 x , 就 a n 1n,3 3 3 3 3 3lim n S n1 11 32,选 D320（本小题共 12 分）设 d为非零实数,a n 1 C d 12 C d 2 2 n 1

55、C n n 1d n 1nC d n n（n N ）*n（）写出 a1,a2, ,a3并判定 an 是否为等比数列如是,给出证明；如不是,说明理由；（）设 bn=ndan（n N ）,求数列 bn 的前 n 项和 Sn*本小题考查等比数列和组合数的基础学问以及基本的运算才能,分析问题、解决问题的才能和化归与转化等数学思想解：（）由已知可得a 1rd ,a2d1d ,a 2d1d2r1,因此n2Cn n1 1 dn1当n2,k1时,rn1.r.nCn.rCr.nrnn1r. n1. nan1 n1 C d2 2 C d2nn 1 C n1dn1n nC dnC1 n1 dCn n2 1dnCn

56、n2 1dn1nCn n1 1 dnd C0 n11 nnC0 n1 d1nC1 n1 d2nd1d由此可见,当d1汇编资料1d欢迎下载d 为公比的等比数时,an1,故 an 是以a 1d 为首项, 1a n列；当d1时,a 11,a n0（n2）, an 不是等比数列n 1,（）由（）可知,a nd1dn1,从而b nd2n1dS nd2121d31d2n1dn11d 得当d1时,S nd21当d1时,两边同乘以1d S nd21d21d231d3n 1dn ,式相减可得：dS nd211d1d211dn1n1dn d21dn1n1dn d化简即得S nd1 nnd1综上,S n dn 1

57、nd11四川文9数列 an 的前 n 项和为 Sn,如 a1=1, an+1 =3 Sn（n1）,就 a6= （D）44+1 （A）3 4 4（B）3 44+1 （C）44答案： A 解析： 由 an+1 =3Sn,得 an =3Sn 1（n2）,相减得 an+1an =3 Sn Sn1= 3an,就 an+1=4an（n2）, a1=1,a2=3,就 a6= a2 4 4=3 4 4,选 A20（本小题共 12 分）已知 a n 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列,S 为它的前 n 项和（）当 S 、S 、S 成等差数列时,求 q 的值；（）当 S 、S 、lS 成等差数列时,求证：对

58、任意自然数 k,a m k、a n k、a l k 也成等差数列本小题考查等比数列和等差数列的基础学问以及基本运算才能和分析问题、解决问题的才能解：（）由已知,anaqn1,因此S 1a ,S 3a1qq2,S 4a1qq23 q当S 、S 、S 成等差数列时,S 1S 42S ,可得aq3aq2 aq n化简得2 qq10解得q125（）如q1,就 an的每项ana ,此时am k、a n k、a lk明显成等差数列如q1,由S 、S 、lS 成等差数列可得S mS l l 2S ,即aqm1aql ql 12 aq1q11q1整理得qmql2n q 因此,a m ka lkaqk1m ql

59、 q2aqn k12a n k所以,a m k、an k、ak也成等差数列天津理6已知a n是首项为 1的等比数列,S 是a n的前n项和,且9S 3S 就1的前a n5 项和为（）或 515 8或 531 16汇编资料欢迎下载1q6,31 1615 8【解】设数列a n的公比为 q ,由9S 3S 可知q1于是又9 1q 31q1q于是q693 q80,即3 q13 q80,由于q1,就q231 16应选数列1的首项为 1,公比为1 q,就前 5项和T 511qq51q5a n114q1qk1,a 2k,a2k1成22（本小题满分 14分）在数列a n中,a 10,且对任意kN,a 2等差数

60、列,其公差为d （）如dk2k ,证明a 2k,a 2k1,a 2k2成等比数列；（）如对任意kN,a2k,a2k1,a2k2成等比数列,其公比为q 设q 11, 证明q k11是等差数列 ; 如a 22, 证明32 nkn2k22n2. 2a k【解】（） 解法 1由题设可得a 2k1a2k14k , kN所以a 2k1a 1a 2k1a 2k1a 2k1a 2k3La 3a 14 k4k1L4 12 k k1由于a 10,所以a 2k12 k k1从而由a 2k1,a 2k,a 2k1成等差数列,其公差为2k 得a 2ka 2k12k2 k2于是a 2k22k12因此a 2k1kk1,a