正多边形和圆教学方案设计

1、第 第 页正多边形和圆教学方案设计教学难点： 对定理的理解以及定理的证明方法教学活动设计： 一观测、分析、归纳：观测、分析：1等边三角形的边、角各有什么性质？2正方形的边、角各有什么性质？归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点老师组织同学进行，并可以提问同学问题二正多边形的概念：1概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形假如一个正多边形有n(n3)条边，就叫正n边形等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形2概念理解：请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形正三角形、正方形、正六边形，.矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，由于边不肯

2、定相等菱形不是正多边形，由于角不肯定相等三:lc v:e*t=edit aspectrati=t分析、发觉：问题：正多边形与圆有什么关系呢？发觉：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形要将圆六等分呢？四多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形我们以n=5的状况进行证明已知：O中，=，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D

3、、E的O的切线求证：1五边形ABCDE是O的内接正五边形；2五边形PQRST是O的外切正五边形证明：略引导同学分析、归纳证明思路：弧相等说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除依据定义来判定外，还可以依据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形；经过圆的n(n3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形(2)要留意定理中的“依次”、“相邻”等条件(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以依据它判断一多边形为正多边形或依据它作正多边形五初步应用P157练习1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?2求证：正五边形的对角线相等3如图

4、，已知点A、B、C、D、E是O的5等分点，画出O的内接和外切正五边形六小结：知识：1正多边形的概念2n等分圆周(n3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形技能和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断技能七作业 教材P172习题A组2、31使同学理解正多边形概念，初步掌控正多边形与圆的关系的第一个定理；2通过正多边形定义教学，培育同学归纳技能；通过正多边形与圆关系定理的教学培育同学观测、猜想、推理、迁移技能；3进一步向同学渗透“非常一般”再“一般非常”的唯物辩证法思想教学重点：正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理教学难点：对定理的理解以及定理的证明方法教学活动设计：一观测、分析

5、、归纳：观测、分析：1等边三角形的边、角各有什么性质？2正方形的边、角各有什么性质？归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点老师组织同学进行，并可以提问同学问题二正多边形的概念：1概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形假如一个正多边形有n(n3)条边，就叫正n边形等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形2概念理解：请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形正三角形、正方形、正六边形，.矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？矩形不是正多边形，由于边不肯定相等菱形不是正多边形，由于角不肯定相等三分析、发觉：问题：正多边形与圆有什么关系呢？发觉：正三角形与正

6、方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形要将圆六等分呢？四多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形我们以n=5的状况进行证明已知：O中，=，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的O的切线求证：1五边形ABCDE是O的内接正五边形；2五边形PQRST是O的外切正五边形证明：略引导同学分析、归纳证明思路：弧相等说明：(1)要判定一个

7、多边形是不是正多边形，除依据定义来判定外，还可以依据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形；经过圆的n(n3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形(2)要留意定理中的“依次”、“相邻”等条件(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以依据它判断一多边形为正多边形或依据它作正多边形五初步应用P157练习1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?2求证：正五边形的对角线相等3如图，已知点A、B、C、D、E是O的5等分点，画出O的内接和外切正五边形六小结：知识：1正多边形的概念2n等分圆周(n3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形技

8、能和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断技能七作业 教材P172习题A组2、3说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除依据定义来判定外，还可以依据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形；经过圆的n(n3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形(2)要留意定理中的“依次”、“相邻”等条件(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以依据它判断一多边形为正多边形或依据它作正多边形五初步应用P157练习1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?2求证：正五边形的对角线相等3如图，已知点A、B、C、D、E是O的5等分点，画出O的

9、内接和外切正五边形六小结：知识：1正多边形的概念2n等分圆周(n3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形技能和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断技能七作业 教材P172习题A组2、3教学设计例如2教学目标：1理解正多边形与圆的关系定理；2理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相像的性质；3理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；4通过正多边形性质的教学培育同学的探究、推理、归纳、迁移等技能；教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解教学活动设计：一提出问题：问题：上节课我

10、们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？二实践与探究：组织同学自己完成以下活动实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？探究2：1正方形有外接圆吗？假设有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点)2依据正方形的哪性格质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？3正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？三拓展、推理、归纳：1拓展、推理：

11、过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作O连结OA、OB、OC、OD同理，点E在O上所以正五边形ABCDE有一个外接圆O由于正五边形ABCDE的各边是O中相等的弦，所以弦心距相等因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆2归纳：正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径其他两个顶点到圆心的距离都等于半径正五边形的各顶点共圆正五边形有外接圆圆心到各边的距离相等正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离照此法证明，正六边形、正七边形、正n边形都有一个外接圆

12、和内切圆定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角正n边形的每个中心角都等于3巩固练习：1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_2、正方形ABCD的内切圆O的半径OE叫做正方形ABCD的_3、假设正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是_度，半径是_，边心距是_，它的每一个内角是_4、正n边形的一个外角度数与它的_角的度数相等四正多边形的性质：1、各

13、边都相等2、各角都相等观测正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？假如是，它们又各应有几条对称轴？3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心4、边数相同的正多边形相像它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相像比，面积的比等于相像比的平方5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆以上性质，老师引导同学自主探究和归纳，可以以小组的形式讨论，这样既培育同学的探究问题的技能、培育同学的讨论意识，也培育同学的协作学习精神五总结知识：1正多边形的中心、半径、边心距、中心角

14、等概念；2正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质技能：探究、推理、归纳等技能方法：证明点共圆的方法六作业 P159中练习1、2、3教学设计例如3教学目标：1巩固正多边形的有关概念、性质和定理；2通过证明和画图提高同学综合运用分析问题和解决问题的技能；3通过例题的讨论，培育同学的探究精神和不断更新的创新意识及选优意识教学重点：综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对详细图形的证明所给出的一般的证明方法，还要留意与前面所学知识的联想和化归教学难点：综合运用知识证题教学活动设计：一知识回顾1什么叫做正多边形？2什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？3正多边

15、形有哪些性质？(边、角、对称性、相像性、有两圆且同心)4正n边形的每个中心角都等于5正多边形的有关的定理二例题讨论：例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形已知：如图，在五边形ABCDE中，A=B=C=D=E，边AB、BC、CD、DE、EA与O分别相切于A、B、C、D、E求证：五边形ABCDE是正五边形分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显着证五条边相等即可老师引导同学分析，同学动手证明证法1：连结OA、OB、OC，五边形ABCDE外切于OBAO=OAE，OCB=OCD，OBA=OBC，又BAE=ABC=BCDBAO=OCB又OB=OBABOCBO，AB=BC，同

16、理 BC=CD=DE=EA五边形ABCDE是正五边形证法2：作O的半径OA、OB、OC，那么OAAB，OBBC、OCCDB=C1=2=同理=，即切点A、B、C、D、E是O的5等分点所以五边形ABCDE是正五边形反思：判定正多边形除了用定义外，还经常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于O，AB=B

17、C=CD=DE=EA求证：五边形ABCDE是正五边形证明略分小组进行证明竞赛，并归纳同学的证明方法拓展2：已知：如图，同心圆O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N求证：五边形ABCDE是正五边形证明略同学独立完成证明过程，对B、C层同学老师予以实时指导，最末可以应用实物投影展示同学的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的同学予以表扬例2、已知：正六边形ABCDEF求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆作法：1过A、B、C三点作OO就是所求作的正六边形的外接圆2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆用同样的方法，我们

18、可以作正n边形的外接圆与内切圆练习：P1611、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形2、(口答)以下命题是真命题吗?假如不是，举出一个反例(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形3、已知：正方形ABCD求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆三小结知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法技能与方法：重点复习了正多边形的判定正多边形的外接圆与内切圆的画法四作业教材P172习题4、5；另A层同学：P174B组3、4探究活动折叠问题：1想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形提示：对折；再折使A、B、C分别与O点重合即可2想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形提示：可以主要应用把一个直角三等分的原理参考图形如下：对折成小正方形ABCD；对折小正方形ABCD的中线；对折使点B在小正方形ABCD的中线上即B；那么B、B为正六边形的两个顶点，这样可得满意条件的正六边形探究问题：安徽省2022某学习小组在探究“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下争论：甲同学：这种多边形不肯定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发觉边数是6时，它也不肯定是正多边形如图一，ABC是正三角形, 形，=，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未