圆轴扭转内力、应力

1、扭转的概念，扭转内力，薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律, 圆轴扭转时横截面上的应力。教学要求：1、 理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力；2、 掌握扭转内力扭矩与扭矩图；3、 掌握剪应力互等定理、剪切胡克定律；4、掌握圆轴扭转时横截面上的应力重点：扭转内力、应力。难点：剪应力互等定理的证明。学时安排：2教学内容：Engineering Mechanics第十一讲的内容、要求、重难点1目录第八章 扭 转 8.1扭转的概念 8.2外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图 8.3剪应力互等定理、剪切虎克定理 8.4圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算第十一讲内容目录Engineering Mechani

2、cs2 8.1扭转的概念汽车传动轴Engineering Mechanics3汽车方向盘操纵杆 8.1扭转的概念Engineering Mechanics4请判断哪一杆件将发生扭转？ 拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转，而且产生剪切。 8.1扭转的概念Engineering Mechanics5 8.1扭转的概念Engineering Mechanics6请判断哪一杆件将发生扭转？ 连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。 8.1扭转的概念Engineering Mechanics7请判断哪一部件将发生扭转？唱机的心轴将产生扭转。 8.1扭转的概念Engineering Mechanics8变形特征：

3、杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。 8.1扭转的概念Engineering Mechanics91、直接计算一.外力偶矩 8.2外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图Engineering Mechanics102、按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W= 0.73

4、55 kW ），则 8.2外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图Engineering Mechanics11二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为KN.m或N.m 如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩扭矩正负规定右手螺旋法则右手四指与扭矩转向一致，拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-) 8.2外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图Engineering Mechanics12 当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法

5、确定各段横截面上的扭矩。 8.2外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图Engineering Mechanics13三、扭矩图diagram of torsion moment) ：表征扭矩沿杆长的变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似） 8.2外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图Engineering Mechanics14 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。 试 ：画出圆轴的扭矩图。 例题8-1 8.2外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图Engineering Mechanics15解：1确定控制面外加

6、力偶处截面A、B、C、D均为控制面 2截面法求各段扭矩 3建立Tx坐标系，画出扭矩图 建立Tx坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mxx坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。 315630486（）（+）T（kN.m）x315315T3315486T1T2 8.2外力偶矩计算 扭转内力扭矩与扭矩图Engineering Mechanics16例3-2、如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图从最外母

7、线看，外力偶切线方向与扭矩图从左到右突变方向相同。Engineering Mechanics17一、 薄壁圆筒的扭转 壁厚（r0：为平均半径）（一）、实验：1.实验前：绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶 m。2.实验后：圆周线不变；纵向线变成斜直线。3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 8.3剪应力互等定理、剪切虎克定理Engineering Mechanics18由于圆周线之间的距离不变,所以杆件轴线的长度既没有伸长也没有缩短.薄壁圆筒在扭转时,横截面上无正压力,沿半径方向

8、也无剪应力. 4. 与 的关系：微小矩形单元体如图所示：同时变形沿园周切线方向,则剪应力也应当沿园周的切线方向,即垂直于半径方向,由于表面纵线的倾斜,所有的小矩形都发生了歪斜而成了平行四边形,这可以说明左右两个截面间产生了相对的平移错动.因此截面上有剪应力存在.同时每个小矩形的变形相同.可见每个小矩形必受到相同的剪力作用.这说明横截面上同一园周上各点的剪应力都是相等的.lT与扭矩转向一致. 8.3剪应力互等定理、剪切虎克定理Engineering Mechanics19二、薄壁圆筒剪应力 大小： A0：平均半径所作圆的面积。 8.3剪应力互等定理、剪切虎克定理Engineering Mecha

9、nics20三、剪应力互等定理： 上式称为剪应力互等定理。 acddxbdytz 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。TT点右截面点左截面 8.3剪应力互等定理、剪切虎克定理Engineering Mechanics21四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。T=m 剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。 8.3剪应力互等定理、剪切虎克定理Engineering Mechanics22 式中：G是

10、材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。 8.3剪应力互等定理、剪切虎克定理Engineering Mechanics238-4 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算一、圆轴扭转时横截面上的应力应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在

11、确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。（一）几何方面：扭转时，圆轴的表面变形和薄壁圆筒表面变形相似，即在小变形情况下，各圆周线的形状、大小和间距不改变，仅绕轴线作相对转动，各纵线则倾斜同一角度，若轴内变形和其表面变形相似，则可假定：1、平面假设：变形后，横截面仍保持平面，其大小形状均不改变，半径仍为直线；2、变形后相邻横截面间的距离不变。（二）物理方面（线弹性范围内）（三）静力学方面Engineering Mechanics24应力分布应力公式变 形应变分布平面假定物性关系静力方程确定横截面上剪应力 的方法与过程8-4 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算Engineering

12、Mechanics251、平面假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称为平面假定。剪应力互等定理8-4 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算Engineering Mechanics26距圆心为 任一点处的 与到圆心的距离成正比。 扭转角沿长度方向变化率。2、变形协调方程 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。 设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系： 3、物性关系剪切胡克定律 、Engin

13、eering Mechanics27Ttmaxtmax8-4 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算Engineering Mechanics284. 静力学方程：TOdA令物理关系式8-4 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算Engineering Mechanics29横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。5. 公式讨论：GIP扭转刚度； 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。TO8-4 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算Engineering Mechanics30单位：mm4，m4。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆,只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdOdDOd对于空心圆截面：8-4 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算Engineering Mechanics31 应力分布Ttmaxtmax（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。tmax