(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷

1、一、选题1由曲线 x 和线 y 所围成的图形的面积（ ）A18 B C20 D2已知函数 x( f ( ) (1 2) ，则 f ( ) ( )A ln 2B 2C 33在x y , 围成的正方形中随机投掷 10000 个，则落入曲线x , 和 轴成的区域的点的个数的估计值为（ ）A5000 C7500 78544直线y 4 x与曲线y x在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A 2B 4 2C D5如图所示的阴影部分是由 轴直线 及线 围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ A1eB1 C1 1 6已知是 i虚数单位，复数 ( ) ， | z (sin )，

2、则 a ）A BC 7三棱锥D 及其正视图和侧视图如图所示，且顶点 B C D均在球的表面上，则球 O 表面积为（ ）A32B36C1281448已知幂函数 图像的一部分如下图，且过点 P 4) 则图中阴影部分的面积等于 （ ）A163BC239设曲线 y x 及直线 0 所成的封闭图形为区域 D ,不式组 所确 y 2定的区域为 E ,在区域 内机取一,该点落在区域 D 内的概率为A2 B22eC2 2 10物体在力 (xx5(力单位，位移单位m)作用力下，沿与力 F(相的 方向由 x m 直线运动到 x m 处做的功 )A925 JB J C825 J 800 J11知m x，函数f (

3、的导数f f ( x )在x 处取得极大值，则 a 的取值范围是（ ）A B C a 或 0 或 12维空间中圆的一维测（周长）l r，二维测度（面积） r2，观察发现S ：三维空间中球的二维测度（表面积） 2 ，维测度（体积）V r，观察发现V .则由四维空间中超球的维测度V 3 ，想其四维测度 ）A 24r B83rC14r 2r 二、填题13积分211x的值等_.14曲线y 2x，直线 =2xx 所围成的封闭的图形面积_2 3 0,2 0 2 3 0,2 0 151 _16下列命题中函f ( x 1x在定义域内为单调递减函数；已定义在 上期为 4 的数f ( 满足f (2 ) f (2

4、)，则f ( x )一定为偶函数；若 ( 为奇函数，则f ( x f ( x ) dx( a 0)；已函数 f x) ax ( 0) ， a 是 f 要条件；有极值的充分不必已函数f ( ) x x，若a ，则f ( a ) f ( ) .其中正确命题的序号_（出所有正确命题的序号.设函数f 的图象与直线x , x 及 轴围成图形的面积称为函数f 在知数f 在 上的面积为 f 在 43 上的面积为_18算2 4 2得19图，两曲线 y ， 2围成图面积20积分1x的值为_.三、解题21知函数f ( x) x ln （ a R ）F ( x) bx（ ）（）论f ( 的单调性；（） ，g ( )

5、 f ( x) F ( x，若 x , （ x ） g x ) 1 2的两个零点，且x x 1 22，试问曲线y g ( )在点 x处的切线能否与 轴行？请说明理由.c xc x22数f kx k 若曲线 y f 处的切线与直线x 垂直，求f 的单调递减区间和极小值（其中 为然数的底数）23了降低能源消耗，某库内部要建造可供使用 20 年隔层，每厘米厚的隔热层建 造成本为 4 万元，又知该冷库每年的能源消耗费用 （位：万元）与隔热层厚度 （单位： ）足关系c x) k (0 x ，若不建隔热层，每年能源消耗为 万元.设f ( x )为隔热层建造费用与 年的能源消耗费用之.（）的值及f ( x

6、)的表达式；（）热层修多厚时，总费用f ( 达到最小？并求最小.24由抛物线 y 2 x( 与直线x y 0 及 所成图形的面.25用定积分的定义，计1x 2d的值26知函数f x.（）函数f 的图象与直线x y 相切，求 的；（）f 在区间上的最小值；（）函数f 有两个不同的零点 x ， ，求实数 取值范围1 【参考答案】*试卷处理标记，请不要除一选题1解析：【分析】画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即. 【详解】根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为 , 如下所示：2 3 3 3 3 3 22 3 3 3 3 3 2联立 和 y ，解得A，根据抛物线的对称性，即可得两曲

7、线围成的面积S x 0 2 16 2 2 2 2 0( 2 4)dx 2 x 82 2 1 2 1 2 故所求面积为383 d 2 x 16 383 .故选：【点睛】本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进 行拆分求解，这是本题的难点2A解析：2 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结. 【详解】 x xdx 1 x x ln ln1 ln 2 故选： 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求. 3B解析：【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，

8、再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面 积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个 数【详解】由微积分基本定理可求出 y x的原函数为 F 3，空白区域面积为S 13x13 ，故阴影部分面积 S 3 ，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为10000 236667故选：【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题 4D解析：【解析】直线y x与曲线y x的交点坐标为 (0,0) 和 (2,8) ，故直线y x与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积 ) 2 2 4 5D故选 D 解析：【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为考点

9、：几何概型、定积分6A解析：【解析】.因为 a i1 a 1，所以 2 2 2 ，定积分公式 1) dx x 1x|，故122 ， a ，应选答案 A7A解析：【解析】由三视图可得： 面 ABC 底面 为正三角形，如图所示，取 AC 点 F ， ， ， BCF 中 ， CF 2 ，在 中， ，所以 4 ，设球心到平面的距离为，因为 面 ，底面 ABC 为三角形，所以 d 2 ，因为 的接圆的半径为 ，以由勾股定理可得 2d22 ，该三棱锥外接球的半径 2 ，所以三棱锥外接球的表面积是 32故 A点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正 确还原几何体、以及判

10、断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由 三视图判断出 面 、出 的接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接 球的半径，由球的表面积公式求出答.8B解析：【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数 y xa图像过点 4) ，以 4 解得 ，1 2 阴 影 1 2 阴 影 以幂函数 yx，则阴影部分的面积为 1 8 x dx x3 3 3，故选 考点：幂函数的解析式；定积分的应. 9D解析：【详解】曲线 y x 及直线 y 所成封闭图形的面积S阴1 x 2 1= ;而等组 所定区域的面积 y S 4.所以该点落在区域 D 内概率 e 2 .选 D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何

11、意义面积型的何概型，属于中档题解决 几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型 问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成 失分，在备考时要高度关注：）不能正确断事件是古典概型还是几何概型导致错误； （）本事件应的区域测度把握不准导致错误；3）利用几概型的概率公式,视 验证事件是否等可能性导致错.10解析：【解析】 10 x)dx (3 22xxx)105 000825(J) 11解析：【分析】利用积分求解出 ；据 a 的符号和 与 之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到f 的单调性，符合在 f 左增右减时的

12、a 的值范围是满足题意的，从而得到所求范围 【详解】1则 f x ln e ， 当 或 时，f 不存在极值，不合题意当 a 时 单调递减x 单调递增则f 处取得极大值，满足题意当 时x 或 单调递增 单调递减则f 处取得极小值，不满足题意当 时 或 时，f ，此时f 单调递增x 时，f ，此时f 单调递减则f 处取得极大值，满足题意综上所述： a 或 a 【点睛】本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根 的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调. 12解析：【解析】因为 W 4 3 ，以 W 4，应选答案 点睛：观察和类比题设中

13、的函数关系，本题也可以这样解答：W dr ，应选答案 二、填题13 【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】故答案为： 【点睛】本题考查了定积分的计算关键是求出原函数属于基础题解析： 【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】1x lnx | 2，故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题143-2ln2 【分析】求出曲线直线 y=2x 的交点坐标根据定积分的几何意义列式 即可求解【详解】依题意联立方程组解得所以封闭的图形面积为（x2-2lnx =3-2ln2 故答案为：3-2n2【点睛】本题考解析：【分析】求出曲线y 2x，直线 y=2x 的点坐标，

14、根据定积分的几何意义列式，即可求解【详解】依题意，联立方程组 2 ，解得 ，y 2所以封闭的图形面积为212 x ) dx=（）故答案为：3-2n2【点睛】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，其中解答中确定定积分式，准确运算是解 答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力，属于基础题15【解析】由定积分的几何意义知：是如图所示的阴影部分曲边梯形的面积 其中故故故故答案为2 解析 2 3【解析】 3 x x e x x e 4 4 2 ,由积分的几何意义知：4 是如图所示的阴影部分曲边梯形OABC的面积，其中B 1, BOC 30，故故14 2 4 4 dx ， e dx e 3 0 ，

15、故答案为 e 3 .3 3，16解析】函数在定义域内不为单调递减函数在和为单调递减函 数；已知定义在上周期为 的函数满足则所以一定为偶函数；若为奇 函数则；已知函数则即有极值充分性成立；有极值所以不必要；函数为 单调解析：【解析】函 x 数；x在定义域内不为单调递减函数，在 ( 和 为调递减函已定义在 上期为 4 的数f ， 则f ) f (4 ) ( ) 所以 一定为偶函数；若f 为奇函数，则f ；已函数f ，f ax2 则 b2 ac 4( )2ac 4(a22ac ，即f 有极值，充分性成立；a 有极值，所以不必要；函f 为单调递增奇函数，所以a ，则f a ) f ) (b ),3 2

16、 1 4 3 2 1 4 即f . 正命题的序号17【解析】解：令则问题等价于求解在区间上的面积由题中所给的结论可 知：函数的周期为结合正弦函数的性质可知：将函数的图象向上平移两个单位 得到函数的图象增加的面积为：综上可得：函数在上的面积为解析 【解析】23解：令 t 3，则问题等价于求解g 在区 上的面积，由题中所给的结论可知：60sin3 tdt 13，函数g t的周期为2，结合正弦函数的性质可知：sin 3tdt 23，将函数y t的图象向上平移两个单位得到函数 的图象，增加的面积为：2 ，综上可得：函数f 在 上的面积为23.18【解析】分析：根据定积分的定义分别和求和即可详解：表示以

17、（ ）为 圆心以 2 为半径的半径故故答案为点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定 积分(定义法可操作性不强(利用微积分基本定理求定积分(解析： 【解析】分析：根据定积分的定义分别 和 ，求和即可详解： 2 dx表示以0，）为圆心，以 2 为半径的半.故4 2 2 4 2 x 2 .故答案为 .点睛：求定积分的三种方法(1)利定义求定积分义)，操作性不强(2)利微积分基本定理求定积分(3)利定积分的几何意义求定积分当曲边形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求 定积分19【解析】试题分析：作出如图的图象联立解得或即点所求面积为：考点： 2 2 定积分解析：13【解析】试题分析：作出如图的图象

18、，联立 ，得或 ，点 ，所求积为：.考点：定积.20【分析】根据定积分求解【详解】故答案为：点睛】本题考查定积分 考查基本分析求解能力属基础题解析：【分析】根据定积分求解【详解】1x ln x 1故答案为：【点睛】本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础. 三、解题211） 时f ，f ( x)在单调递增， a f ( x调减是 调增区间 ；（）y f ( x )在 x处的切线不能平行于 轴 。【解析】a 2 2 2 a 2 2 2 x .0 0 试题分析：1）对函数求导，再依据到函数值与函数单调性之间的关系分类探求单调区间；（）假曲线y x在点x0处的切线能否与 x 轴平，然后依据假设建

19、立方程组，最后再构造函数h t t 导的知识断定假设不成。 2 x2 解：（） f x (1)当a 时，f ，f 单调递增，（） 时， f a 有2 , f- 0 +f 极小值f 时， f 调区间是 2 2(2x 假设y 在x0处的切线能平行于 轴 gx 2x 由假设及题意得：g 1 1 1. 2 2x x2 2 2.2g x0由-得， 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 k x 01 2 2 2 1 k x 0即x xb 2x 1 0.由得，ln 1 2 2 1 1 21 2令x1 x2，x 0 1 .则式可化为t 2t t ，设函数 2t t ，则1 4 t t ,所以函数 2t t

20、在 于是，当 时，有 t t 与矛.所以y 切线不能平行于 x 轴0点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识在研 究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先函数的解析式进行 求导，再对参数进行分类讨论研究导函数的值的符号，从而求出函数的单调区间；求解第 二问时，先假设存在 处的切线平行于 轴然后在假设的前提下进行分析推证，从而得0出与已知和假设矛盾的结论，使得问题获解。22 故f 的单调递减区间为 【解析】试题分析：1）切线与x 垂直，可知切的斜率为 ，对f 求导，f，代入可求得 k。（）入 k=e,f1 x x 0 x 2 2,可得极值与

21、单调区间。试题由条件得 f x 曲 垂直， 此线的斜率为 0，f ，有 e e ，得k ， fx e x 2 x 2，3 0 2 3 2 6 0 2 3 0 2 3 2 6 0 2 由f得0 ，由f得 x f 上单调递增，当 时f 取得极小值f ee2故f 的单调递减区间为 2231）f ( ) x 8002 x (0 x 10)；（）隔热层修建 7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用 万元【解析】试题分析：I）根据 c（）=8 计算 k，从而得出 （）解析式； （）用本不等式得出 fx的最小值及等号成立的条件 试题（） 时，c k5， 40.由题意知，f 800，即 x 4 2 2 .（）f

22、 8002 10f ，令f ，即 ， x 7.5 .当 ，当 7.5 时f 取得最小值f 7.5 min800 2 .所以，当隔热层修建 7.5cm 厚，总费用最小，最小费用 70 万.24形面积为403【详解】首先利用已知函数和抛物线作图，然后确定交点坐标，然后利用定积分表示出面积为 8 (6 )dx ，所以得到 x x 2 |2 x ) 6 ,由得到结论为403解：设所求图形面积为 A ，则 8 (6 )dx x 2 40 A 8 x x ) | = 即所求图形面积为 31 n nn n n 1 n nn n n 2521 1 x 2 2【解析】【分析】由定积分的定义 等分区间，取，近似计算求解即. 【详解】令f 2在区间 n 个点，将它等分成 n 个区间n n ，其长度为 n 1 n n当 很，即 x 很时，在区间n n 上，可以认为 f 的值变化很 小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f 则