高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

1、欢迎来主页下载欢迎来主页下载-精品文档精品文档精品文档极坐标的基本概念.曲线的极坐标方程.（1）极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O,自点O引一条射线 Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系.其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴.X（2）极坐标（p ,。）的含义：设 M是平面上任一点，p表示OM的长度，0表示以射线 Ox为始边，射线 OM终边所成的角.那么，有序数对 （p ,。）称为点M的极坐标.显然， 每一个有序实数对（p , 0 ）,决定一个点的位置.其中 p称为点M的极定，。称为点M的 极角.极坐标系和直角坐标系的最大区别在于

2、：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是 对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对（p , 0 ）,可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的.（3）曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f（ p , 0 ）=0,并且坐标适合方程 f（ p, 。）=0的点都在曲线C上，那么方程 f（ P , 。）=0叫做曲线C的极坐标方程.z几类曲线的极坐标方程及与直角坐标的互化.直线的极坐标方程.（1）过极点且与极轴成 4。角的直线方程是。=（）0和。=兀一（|）0,如下图所本.示.(2)与极轴垂直且与极轴交于点c cos 0a,如

3、下图所p sin 0 =3.圆的极坐标方程p sin 0 =3.圆的极坐标方程.(3)与极轴平行且在 x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为 a,如下图所示.(2)2(2)2所示.p 2rsin _0以极点为圆心，半径为 r的圆的方程为p =r,如图1所示.圆心在极轴上且过极点，半径为 r的圆的方程为p = 2rcos _0_,如图 兀 .圆心在过极点且与极轴成2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为如图3所示.4.极坐标与直角坐标的互化.M的极坐标M(p ,M的极坐标M(p ,。)化为平面直角坐标M(x, y)的公式如下:y= pcos 九或者 pM/XWf, tan e=y, s

4、in 0 xy= p其中要结合点所在的象限确定角0的值.参数方程的定义及几类曲线的参数方程.曲线的参数方程的定义.在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数，即X=f(t),、，,八一 八，、土r, z.一,工，、一，八，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x, y)都在这条曲线上，ly=g (t), 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x, y之间关系的变数t叫做参变数，简称参.常见曲线的参数方程.x = xo + tcos a(1)x = xo + tcos a|y = yo+tsina(t|y = yo+tsina其中参数t是以定点P(xo,

5、 yo)为起点，点M(x, y)为终点的有向线段 PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离.根据t的几何意义，有以下结论:设A, B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA 和 tB,则 |AB| =|t B- tA| =线段AB的中点所对应的参数值等于幺/.(2)中心在P(X0, yo),半径等于r的圆:x = xo + rcos0 ,（0为参数）y = y0+rsin0 中心在原点，焦点在 x轴(或y轴)上的椭圆:x = acos_L,（0为参数）或y = bsin 0l中心在点P(xo,yo),焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为x= X0+ acos y= yo+ bsin 中

6、心在原点，焦点在 x轴(或y轴)上的双曲线:x = asec 0 , |y = btan 0/ x= btan 0 ,（0为参数）或。.0）. y=2p注：sec 0 =.cos 03.参数方程化为普通方程.由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x, y的限制.考点包测.已知点A的极坐标为4, 53-1则点A的直角坐标是（2 , 23_.把点P的直角坐标（乖,色）化为极坐标，结果为.曲线的极坐标方程p = 4sin。化为直角坐标方程为*2+（y 2）= 4.4.以极坐标系中的点1, 4.以极坐标系中的

7、点1, 6W圆心、1为半径的圆的极坐标方程是x= t .x= 3cos 0 .在平面直角坐标系 xOy中，若直线l : * （t为参数）过椭圆C: , y= t ay= 2sin 0（0为参数）的右顶点，则常数 a的值为3., c八22x= t ,一，一 x= 3cos 0 , _x y _,得丫=乂一 a.由椭圆C:，得彳=1.所以椭y= t -a,y = 2sin 0 ,94圆C的右顶点为（3 , 0）.因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3 a,即a = 3.配套作业、选择题.在平面直角坐标系 xOy中，点P的直角坐标为（1,一4）.若以原点 。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P

8、的极坐标可以是（C）D.x= 2cos 0 ,D.x= 2cos 0 ,2.若圆的方程为y=2sin 0, ，八 一、r , x=t+1,（0为参数），直线的万程为*（t为参数），则y= t 1直线与圆的位置关系是（B）A.相离 B ,A.相离 B ,相交C.相切 D .不能确定3.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标3.一一，一一、，、 八一八，、-rrx=t+1,，/一 一 ，一 一一、系中取相同的长度单位，已知直线 l的参数万程是（t为参数），圆C的极坐标万/=t - 3程是 p 程是 p = 4cos 0 ,则直线l被圆C截得的弦长为（D）C. 2C

9、. 2. 2 .2解析:由题意可得直线和圆的方程分别为x y 4=0, x2 + y2=4x,所以圆心C（2,0)，解析:由题意可得直线和圆的方程分别为x y 4=0, x2 + y2=4x,所以圆心C（2,0)，半径r = 2,圆心（2 ,0）到直线l的距离d = j2,由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形,解得弦长为2 2.4.已知动直线l平分圆C: (x 2)2+(y 1)2=1 ,则直线l与圆O: =x= 3cos 0 , y= 3sin 0为参数）的位置关系是(A)A.相交 B.相切C.相离 D解析:动直线平分圆C: （x - 解析:动直线平分圆C: （x - 2） 2+（y-1）2

10、=1,即圆心（2 , 1）在直线l上，又圆0:x= 3cos|x= 3cos|y= 3sin5.在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线C的参数方程是 的普通方程为x2+y2=9且22+129,故点（2,1）在圆O内，则直线l与圆O 9 的位置关系是相交.二、填空题ry = sin 0 2,(0是参数),x = cos 0欢迎来主页下载欢迎来主页下载-精品文档2若以。为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标万程可写为P +4psin 0 +3=0.解析：在平面直角坐标系xOy 中,y= sin0 2,x= cos 0（0是参数），.二y+2= sin 0 , 根x= cos 0 .据 sin

11、2。+ cos2 0 = 1,可得解析：在平面直角坐标系xOy 中,y= sin0 2,x= cos 0（0是参数），.二y+2= sin 0 , 根x= cos 0 .据 sin 2。+ cos2 0 = 1,可得2为 p + 4 p sin 0 +3=0.x2 + (y +2)2=1,即x2+y2+4y + 3 = 0.，曲线 C的极坐标方程.在平面直角坐标系中圆C的参数方程为x = 2cos 0 ,，一， 一一（0为参数），以原点。为极y=2+2sin 0点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为=2 ）.三、解答题.求极点到直线R R）的距离.解析：由、.2 p =1

12、?总 p sin兀sin / +7)+ p cos 0 = 1? x + y = 1,|0 +01|12+12.极坐标系中，A为曲线p 2+2 p cos0 3 = 0上的动点，B为直线 p cos 0 + p sin0 7=0上的动点，求|AB|的最小值.解析：圆方程为（X+1）2+丁=4,圆心（一1,0）,直线方程 为H+） 7 = 0,圆心到直线的距离d= |一一7 二49, 42所以 |AB| 1nhi=4版一2.x = cos 0 ,9. （2015 大连模拟）曲线C的参数方程为（ 0为参数），将曲线C1上所有|y = sin 0点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的 3倍，

13、得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l: p （cos 0 2sin 0）=6.（1）求曲线Q和直线l的普通方程；精品文档欢迎来主页下载欢迎来主页下载-精品文档精品文档精品文档(2)P为曲线C2上任意一点，求点 P到直线l的距离的最值.X = 2cos 0 ,x2 y2解析：(1)由题意可得 G的参数方程为 l （ 0 为参数），即 解析：(1)由题意可得 G的参数方程为j=、3sin 043直线l : P （cos 0 2sin 0 ） =6化为直角坐标方程为x-2y-6=0.(2)设点P(2cos 0 , /3si

14、n。)，由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为d 12cos0 2”sin d 12cos0 2”sin 0 6|56+4sin9 ：）5所以 f wdW25,故点P到直线l的距离的最大值为25,最小值为.55,，一一一 .X= 1 + 4cos 0 ,10.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数万程为(0为参数)，ly=2+4sin 0. Tt直线l经过定点P(3, 5),倾斜角为 y.(1)写出直线l的参数方程和曲线 C的标准方程.(2)设直线l与曲线C相交于A, B两点，求|PA| |PB|的值.X = 1 + 4cos 0 ,2解析：（1）由曲线C的参数方程j（ 0为参数），得普通方程为（x -1）2y=2+ 4