对数函数及其性质运算-精讲版课件

1、高一数学多媒体课堂 对 数 函 数（1）xyo对数函数的图象和性质比较两个对数值的大小对数函数的定义学 习 要 求一、复习： 1.对数的概念：2.指数函数的定义: 如果ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数,记作logaNx（a0,a1）. 函数 y=ax (a0,且a1) 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R. 某种细胞分裂时,由一个分裂成2个,由2个分成4个.一个这样的细胞分裂x次以后.得到的细胞个数y与分裂次数x的函数关系式可表示为( ) 如果把这个函数表示成对数的形式应为 （ ） 如果用x表示自变量,y表示函数,那么这个函数应为（ ）.y=2xy=log2xx=log2y

2、即细胞分裂的次数x也是细胞个数y的函数一般地 函数 y=logax(a0,且a 1 ) 叫做对数函数.其中x是自变量,函数的定义域是（ 0 , +）.对数函数的定义：作对数图像的三个步骤：一、列表（根据给定的自变量分别计算出应变量的值）二、描点（根据列表中的坐标分别在坐标系中标出其对应点）三、连线（将所描的点用平滑的曲线连接起来）对数函数图像的作法：x1/41/2124y=log2x-2-1012列表描点作y=log2x图像连线作 图像yx0 xyoy = log a x 与 y = 的图象关于 _ 对称.x 轴1y = log a x = log a x函数y=f(x)与函数y= -f(x)

3、的图象关于x轴对称| | | | | | | | | | | | | | | | |1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 175 -4 -3 -2 -1 -1-2-3-4-5-0 xy对数函数底数分布规律：在x轴上方按顺时针方向底数增大探索2y=1Clog,log,log,log则下列式子中正确的是（ ）的图像如图所示，函数xyxyxyx ydcba= =函数y = log a x ( a0 且 a1 )底数a 10 a 1图象定义域值域定点值分布单调性趋势对数函数的图象与性质：1xyo1xyo( 0 , + )RR( 0 , + )( 1 , 0 )(

4、 1 , 0 )当 x1 时，y0当 0 x 1 时， y0当 x1 时，y0当 0 x1 时，y0在( 0 , + ) 上是增函数在( 0 , + )上是减函数底数越大,图象越靠近x轴底数越小，图象越靠近x 轴底数和真数的范围相同，则对数大于0；底数和真数的范围不同，则对数小于0；同大异小函 数图 象定义域 值 域特 征函数值的变化单调性奇偶性指数函数与对数函数图象和性质非奇非偶函数非奇非偶函数【互为反函数的两个函数图像关于直线 yx 对称】yx0yxyxyx0y 2xy ( ) xylog2x y= log x 1 2 3 4 5 6 7 88 76543218 76543211 2 3

5、4 5 6 7 8-3 -2 -1-3 -2 -1-1-2-3-1-2-3 y = ( )xy 2xy= log x的反函数为的反函数为ylog2x对数函数 (a 0，且 a 1 )与指数函数 (a 0，且 a 1互为反函数1.在指数函数与对数函数中，对底数的要求是一致的，均是a0，且a1.但指数函数的定义域是R，对数函数的定义域是(0,+).对数函数的图象在y轴的右侧，真数大于零，这一切必须熟记.2.反函数（1）在写指数函数或对数函数的反函数时，注意函数的定义域且底数必须相同；（2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相同；（3）对数函数与指数函数互为反函数，因此，对数函数图象画法有两

6、种：一是描点法，二是利用指数函数与对数函数互为函数的关系作图；（4）互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；（5）互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称.若函数f(x)= (a0，且a1)的反函数的图象过点(2,-1),则a= . 反函数的图象过点(2,-1)，则f(x)=ax的图象过(-1,2),得a-1=2,a= . 对数函数的图像 已知a0且a1，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ）【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底数a进行讨论，最后选出正确选项.【解析】解法一:首先,曲线y=ax只可能在上

7、半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A,C. 其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D. 故应选B.【评析】要正确识别函数的图像，一是要熟悉各种基本初等函数的图像，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图像等；二是把握函数图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性等.解法二:若0a1,则曲线y=ax上升且过(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0),只有B满足条件.解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反

8、函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.函数y=ax与y= -logax(a0,a1,x0)在同一坐标系中的图像形状只能是（ ）(a1时,y=ax是增函数,y=logax也是增函数，y=-logax为减函数.两函数的单调性相反，排除C，D, 而B中，y= -logax中x0不成立. 故应选（A)A例2画出下列函数的图象:（2）（1）(1)(2)K=0K0例1.求下列函数的定义域：y = log a x 2 (2) y = log a ( 4x )(3) y = log a ( 9x 2 ) (4) y = log x ( 4x )定义域:(, 4 )定义域: (3, 3 )定义域:(

9、0 , 1 )( 1 , 4 )(5) 求函数 的定义域.解：要使函数有意义,必有4x-30,log0.5(4x-3)0.即4x3,4x-31.所以所求函数的定义域为x| .当a1时，定义域为（-a,0);当00 x0 log0.8x-10 即 x0.8 2x-10, x ,00 x x-10 解得 x1 3x-10 x 3x-1 0 x 因此，函数的定义域为 (1,+) .【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件。求函数的定义域：由 16-4x0 x0 得 x-1 x+11 x0.-1x0或0 x

10、2.函数的定义域是(-1,0)(0,2).1. 函数yloga(x1)2 (a0, a1)的图象恒过定点 . 定点问题（0，-2）例2.比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5; log0.31.8, log0.32.7; loga5.1 , loga5.9 (a0,a1 ).解考察对数函数y=log2x,因为它的底数21, 所以它在(0,+)上是增函数.因为3.48.5, 于是log23.4log28.5;因为函数y=log0.3x在(0,+)上是减函数,且1.80, .练习2.比较下列各组中两个值的大小: (1)log 67 , log 7 6 ; (2)

11、log 3, log 2 0.8 .(1)解: log67log661, log76log771, log67log76;(2)解: log3log310, log20.8log210, log3log20.8.分析 : （1） log aa1（2） log a10注:比较两个对数的大小时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较这两个对数的大小.(6)log750 log67 log54 log40.5（一）同底数比较大小 1.当底数确定时，则可由函数的 单调性直接进行判断； 2.当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论。（三）若底数、真数都不相同, 则需寻求中间值比较，常借助1

12、、0等中间量进行比较。小结：两个对数比较大小（二）同真数比较大小 1.通过换底公式转化为同底数的对数后比较; 2.利用函数图象。例3.已知定义域为R的奇函数f(x),当x0 时, f(x)=log3x,求f(x). 解：当x=0时,f(0) = 0;当 x0 时,x 0,又f(x) 为奇函数, f(x)=f(x)=log3(x).学点三 求值域求下列函数的值域：（1） （2）（3）y=loga(a-ax)(a1).【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616,又-x2-4x+120, 00,

13、且y=log x在(0,+)上是减函数,yR,函数的值域为实数集R.（3）令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定义域为x|x1,ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为y|y1.【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值.思考题：求函数y=log2(x2+2x3)的单调递增递减区间，值域。重点归纳1.对数函数定义: y = log a x ( a0 且 a 1 ).2.对数函数的图象与性质：函数y = log a x ( a0 且 a1 )底数a 10 a 1图象定义域( 0 , + )值域R定点( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0值分布当 x1 时，y0当 0 x 1 时， y0当 x1 时，y0当 0 x1 时，y0 趋 势底