高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案含解析

1、一二维形式的柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(1)定理 1：若a,b, c, d 都是实数，则(a2+b2)-(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a+b)( c+d) (ac+-/bd)2(a, b, c, d 为非负实数)；.a2+ b2 .c2+ d2 |ac+ bd|( a, b, c, de R)；，a2+ b2 .c2+ d2 | ac| + | bd|( a, b, c, dCR).柯西不等式的向量形式定理2:设a , 3是两个向量，则| - 3 I | RP2,当且仅当三点P1,P2,P3共线，并且点P1,点P1,

2、m2 n22 2、，、2设.+ 丫2=1,求证：x+y(m+ n).可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明.m2n2- X2 + y2= 1x2+ x2+ y2 = (x2+ y2)y)=(m n)2.方法规律小结构造柯西不等式的利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式,构造柯西不等式的a2 2a2 2b2aibi , +、a2b2 a2 22 = (ai + a2). b2基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件.已知 a2+b2=1, x2+y2=1,求证：|ax+by|wi.证明：由柯西不等式，得 (ax+by) 2w (a2+bj

3、( x2+y2) = 1,| ax+ by| 42(a+b+c).证明：由柯西不等式，得 /a2+ b2 U12+ i2a+b,即小 Qa2+ b2a+b.同理 / b2 + c2 b+ c, /2 ,a2+ c2 a+ c,将上面三个同向不等式相加，得乖(寸a2 + b2 + qa2 + c2 + 邓 + c) 2( a+b+ c), a+ b +ja+ c +4b+ c 2, ( a +b+c).利用柯西不等式求最值tzs1求函数y=3sin a +4cos a的最大值.函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+ bd的形式就能用柯西不等式求其最大值.由柯西不等式，得(3sin a + 4c

4、os a )2(3 2+ 42)(sin 2a +cos2a )=25, 3sin a + 4cos a 0，即sin a=d 3=5时取等号,即函数的最大值为 5.方法*攘律小结利用柯西不等式求最值(i)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧;(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技

5、巧之一.0.已知2x2+y2=1,求2x + y的最大值.解：2x+ y= /2x gx+ 1 x y(4x+6y)2=4, .4x2+9y22.当且仅当2X2 x= 3yX2,即2x=3y时，等号成立.当且仅当2X2 x= 3yX2,即2x=3y时，等号成立.又 2x+ 3y =1,得 x=y = ,46故当x=4, 丫=6时，4x2+9y2的最小值为2.6.求函数f (x) = x 6+12x的最大值及此时解：函数的定义域为，由柯西/、等式，得；222x的值.2(x6+ 12-x)即x- 6+q12 xW2 3.故当小一6 =，12 x时，即x.已知 x, yCR+,且 xy=1,A. 4

6、C. 1解析：选 A j + 1jj+y) 不(切+(初 小1+/升,1=9时，函数f (x)取得最大值2( a- b)2,* a + b =10) . (a b) w20. 25 w a bw 2 15.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是()A.5A.5 B. 6 C.65空 D. 363625解析：选 B (2x2 + 3y2) (76x+#y)2=#(x + y) 2=6, 当且仅当x = I， y=|时，等号成立，即 2x2+ 3y2-1. TOC o 1-5 h z 555.函数y= x 5 + 26- x的最大值是()A. 3B. 5C. 3D. 5解析：选 B 根据柯西

7、不等式，知y=1x .x5 + 2X .6 x 0,则了 +/)y + j的最小值为解析：原式=x2+q2+y21 3 . x+y . y 2 = 9(当且仅当xy = 42时，等号成立).答案：96.设实数x,y满足3x2 + 6.设实数x,y满足3x2 + 2y26,则P= 2x+y的最大值为解析：由柯西不等式，得(2x+y)2 r+/ = (3x2+2y2) 仁+2)2,11W6X -=611,当且仅当 x = -, y = -j3=时，等号成立， 1111于是 2x+y/11.答案：117.函数f(x)=山x2 +，2x2- 1的最大值为 解析：因题意得函数有意义时x满足2wx2w2.

8、由柯西不等式，得29,3 22, f(x)w2-,b2_2 八sin 0证明：设m则 | 9,3 22, f(x)w2-,b2_2 八sin 0证明：设m则 | a + b| = Ia - cos 0 +cos 0b二 sin 0sin0=|m n| w | m| n| =2 ab2r2522 八 + 2(a+ b) &cos 0 sin o 二 十 2T.cos 0 sin 09.解方程： 4x+3 +2、1 2x =，T5.解：15=2 -c 3 22x+2 41 - 2x / (1 + 2) 2 x2+ x2 2 f=上上 2 X2 22 34维十当且仅当2-x2=,即x= 2时，等号成立.8.已知0为锐角，a, b C R+.2，、一.2 a求证：(a+ b) &2cos 0b一，八.八、sin一J, n = (cos 9 , sin 9),-3 222x+”十 41-2xc , 3 一 05= 6 2x+2 + 1 2x 尸6X2=15.其中等号成立的充要条件是其中等号成立的充要条件是解得x= - 1.310.试求函数f10.试求函数f(x)=3cosx + 4M 1 + sin 2x的最大值，并求出相应的x的值.解：设 m= (3,4), n= (cos x,，1 + sin 2x),则 f (x) = 3cos x