常系数高阶线性微分方程

1、常系数高阶线性微分方程1第1页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三一、二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法2第2页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三1、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式3第3页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三(2) 若 是特征

2、方程的单根 , 为m 次多项式,故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解4第4页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三综上讨论注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.5第5页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例1.的一个特解.解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为6第6页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例2. 的通解. 解: 本题特

3、征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为7第7页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例3. 求解定解问题解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得所求解为8第8页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三解例4.则由牛顿第二定律得解得代入上式得9第9页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三2、第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步 将 f (x) 转化为第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特点10第10页，共3

4、5页，2022年，5月20日，6点5分，星期三第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形11第11页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三 第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式两边取共轭 :为方程 的特解 .设则 有特解:12第12页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :原方程 均为 m 次多项式 .13第13页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,14第14页，共35页，202

5、2年，5月20日，6点5分，星期三小 结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.15第15页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例5. 的一个特解 .解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解16第16页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例6. 的通解. 解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为17第17页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，

6、星期三例7.解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:18第18页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 上节例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动方程：成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.(2) 强迫振动方程：19第

7、19页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例8.求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式:因此原方程之解为上节例1 中若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力代入可得: 20第20页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式:代入可得: 方程的解为 21第21页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅这时产生共振现

8、象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理. 22第22页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.23第23页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示:1 . (填空) 设24第2

9、4页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为25第25页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三3. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为26第26页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三二、欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程27第27页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三欧拉方程的算子解法: 则计算繁! 28第

10、28页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:29第29页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例1. 解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 30第30页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三 的通解为换回原变量, 得原方程通解为设特解:代入确定系数, 得31第31页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例2.解: 将方程化为(欧拉方程) 则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A = 1,所求通解为 32第32页，共35页，2022年，5月20日，6点5分，星期三例3.解: 由题设得定解