北京市西城区第8中学2022年高二数学第二学期期末调研模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设实数，满足不等式组则的最小值是（ ）ABCD2在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（ ）A0.25B0.1C0.125D0.53函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示则函数在内有几个极小值点（ ）A1B2C3D44已知函数，若集合中含有4个元素，则实数的取值范围是ABCD5在四棱锥中，底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为，体积为4，且四棱锥的高

3、为整数，则此球的半径等于（ ）（参考公式：）A2BC4D6函数的定义域为，且，当时，；当时，则A672B673C1345D13467已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为A20B15C15D208定义在上的偶函数的导函数为,若对任意的正实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为()ABCD9给出四个函数，分别满足；，又给出四个函数图象 正确的匹配方案是 （ ）A. 丁 乙 丙 甲 B. 乙 丙 甲 丁C. 丙 甲 乙 丁 D. 丁 甲 乙 丙10在中，内角所对的边分别为，已知，且，则面积的最大值为（ ）ABCD11在某项测量中测量结果，若X在内取值的概率为0.3，则X

4、在内取值的概率为（ ）A0.2B0.4C0.8D0.912如图，已知直线与曲线相切于两点，函数 ，则函数（ ）A有极小值，没有极大值B有极大值，没有极小值C至少有两个极小值和一个极大值D至少有一个极小值和两个极大值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量与，则的最小值是_.14设复数，则的最小值为_15我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则_16抛物线上的点到的距离与到其准线距离

5、之和的最小值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数的最大值为4.（1）求实数的值；（2）若，求的最小值.18（12分）二项式的二项式系数和为256.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.19（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB，CE1，CE平面ABCD（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值； （2）求二面角ADFB的大小20（12分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查

6、研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是.几何题代数题合计男同学22830女同学合计（1）根据题目信息补全上表；（2）能否根据这个调查数据判断有的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？参考数据和公式：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中.21（12分）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系求：（1）圆

7、C的直角坐标方程；（2）圆C的极坐标方程22（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若， ，求的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线在轴上截距的变化，找到该直线在轴上的截距取得最小值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线，当直线经过可行域的顶点时，此时该直线在轴上的截距最小，取得最小值，即，故选B【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直

8、线的思想，利用其在坐标轴上截距最值的思想找出最优来处理，考查数形结合思想，属于中等题2、C【解析】根据正态曲线的对称性求解即可得到所求概率【详解】由题意得，区间关于对称，所以，即该生成绩高于115的概率为故选C【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所给区间用已知区间表示，并根据曲线的对称性进行求解，考查数形结合的应用，属于基础题3、A【解析】直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个，故函数在内极小值点的

9、个数是1.故选：A【点睛】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.4、D【解析】先求出，解方程得直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为，再解不等式得解.【详解】.由题意，在上有四个不同的实根.令，得或，即或.直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为.据题意是，解得.故选D.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.5、B【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.则在中，有，再根据体积为可求及，在中，有，解出后可得正确的选项.【详解】如图所示，设底面

10、正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.设底面正方形的边长为，正四棱锥的高为，则.因为该正四棱锥的侧棱长为，所以，即又因为正四棱锥的体积为4，所以 由得，代入得，配凑得，即，得或.因为，所以，再将代入中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半径等于.故选B.【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.6、D【解析】根据函数周期的定义，得到函数是周期为3的周期函数，进而求得的值，进而得到，即可求解.【详解】根据题意，函数的定义域为，且，则函数是周期为

11、3的周期函数，又由当时，则，当时，则，由函数是周期为3的周期函数，则 则，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了函数周期性的应用，以及函数值的计算，其中解答中根据函数周期性的定义，求得函数是周期为3的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、C【解析】利用二项式系数之和为64解得，再利用二项式定理得到常数项.【详解】二项式的展开式中二项式系数之和为64 当时，系数为15故答案选C【点睛】本题考查了二项式定理，先计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力.8、A【解析】分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解详解：设，则，由已知当时，在上是减函数，又是

12、偶函数，也是偶函数，不等式即为，即，即故选A点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式解题关键是构造新函数新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造如，等等9、D【解析】四个函数图象，分别对应甲指数函数，乙对数函数，丙幂函数，丁正比例函数；而满足是正比例函数；是指数函数；是对数函数；是幂函数，所以匹配方案是丁 甲 乙 丙，选D。10、B【解析】本题考察的是解三角形公式的运用，可以化简得出角C的大小以及的最大值，然后得出结果【详解】，C=，解得所以【点睛】在解三角形过程中，要对一些特定的式子有着熟练度，比如说、等等，根据这些式子就要联系到我们的解三角形的公式当中去11

13、、C【解析】由题意结合正态分布的对称性求解在(0,+)内取值概率即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布的图象关于直线对称，则,，即在(0,+)内取值概率为0.8.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.12、C【解析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论【详解】如图，由图像可知，直线与曲线切于a，b，将直线向下平移到与曲线相切，设切点为c，当时，单调递增，所以有且对于=，有，所以在时单调递减；当时，单

14、调递减，所以有且有，所以在时单调递增；所以是的极小值点同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点故选C【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】,所以，所以，故当时，的最小值是.考点：向量的模点评：本题考查向量的模的最值，解题的关键是能准确的表示出模的函数，再求解最值.14、【解析】分析：复数分别对应点 经过A,B的直线方程为 设复数,则复数 对应的点的轨迹为圆，其方程为 ，判断选择和圆的位置关系可得到的最小值.详解：复数分别对应点 经过A,B的直线方程为 设复数,则复数 对应的点的

15、轨迹为圆，其方程为，圆心到直线的距离为 即直线和圆相切，则的最小值即为线段AB的长， 即答案为.点睛：本题考查复数的几何意义，直线和圆的位置关系，属中档题.15、【解析】先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.【详解】令，则两边平方得，得即，解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16、【解析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值【详解】解：抛物线y24x，F（1，0），如图：设p在准线上的射影A，依抛物

16、线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d|PF|+|PA|AF|故答案为：【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】【试题分析】(1)利用绝对值不等式,消去,可求得实数的值.(2)由(1)得.利用配凑法,结合基本不等式可求得最小值.【试题解析】（1）由，当且仅当且当时取等号，此时取最大值，即；（2）由（1）及可知，则，（当且仅当，即时，取“=”）的最小值为4.18、 (1);(2);(3)见解析.

17、【解析】分析：（1）依题意知展开式中的二项式系数的和为，由此求得的值，则展开式中的二项式系数最大的项为中间项，即第五项，从而求得结果（2）令二项式中的，可得二项展开式中各项的系数和；（3）由通项公式及且得当时为有理项；详解：因为二项式的二项式系数和为256，所以，解得.（1），则展开式的通项.二项式系数最大的项为；（2）令二项式中的，则二项展开式中各项的系数和为.（3）由通项公式及且得当时为有理项；系数分别为，.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题19、（1）；（2）【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直

18、线DF与BE所成角的余弦值.(2)利用向量法求二面角ADFB的大小.详解：以 为正交基底，建立如图空间直角坐标系Cxyz，则D(，0，0)，F(，1)，E(0，0，1)，B(0，0)，C(0，0，0)，所以(0，1)，(0，1)，从而cos 所以直线DF与BE所成角的余弦值为(2)平面ADF的法向量为 (，0，0). 设面BDF的法向量为 = (x，y，z)又(，0，1)由0，0，得yz0， xz0取x1，则y1，z，所以= (1，1，)，所以cos又因为0，所以所以二面角A DF B的大小为 点睛：（1）本题主要考查异面直线所成角的求法，考查二面角的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力转化能力.(2)求二面角常用的有两种方法，方法一：（