2021年中考数学专题习讲义-胡不归-阿氏圆问题

1、胡不归-阿氏圆问 问题概述已知定点 A、B，求找一点 P， aPA+PB 值最(a 大于 不为 1 的数；点 P 在线上运动型称为“胡不归”问题，点 圆周上运动型称为“阿氏圆”问题. 方法原理1.两之间，线段最短2.三角两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.垂段最短；解题思路构造出新的线段，使其等于 aPA；构造方法：1.作，使 sin=a；一般 殊直角三角形；12、和时，作相应 30、45和 60，构造出特2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将 转化；注意系 a 满足 0 时接构造 时要先提取系数（ PA+PB2PA+ 2 PB= 22PA+PB）.一胡归题1.造含特殊的直角角

2、形，将“转化已知：如图A 为直 l 上一点B 为直外一点；要求：在直线 l 上一点 P，得12PA+PB 最小【分】利 sin30=12构造出 PA，当 B、P 和 H 共 2线时， 取最小值 BH，又 BHAH BH 取得最小值【解】过 A 作线 AM使A=30（B、M 位于 l 异 侧），过点 B 作 AM 于 H，直线 l 于点 ，则点 P 即所求，此时 1 PA+PB 最，小值即为1 / 1 1 1 1 线段 BH 的长.【小】构方法可总结为：一作角，二作垂线；2.系数 a 为22、32时，作 45和 角典型例 （1）如图 ，直线 y=x-3 与 x 轴于点 A与 交于点 ，点 P 为

3、 x 轴一动点，连接 PB，当 点坐标为_时， PA+PB 取最小值，最小值_；（2）如图 2，直线 y=3x+3 与 x 轴于点 ，与 y 轴交点 ，点 P 为 y 轴一动点，连接 PA，当 P 点坐标为时，2PA+PB 得最小值，最小值_.图 1图 【分】）据模型构造 PA 找 点，助 30的直角三角形解出 OP 长 BH 长，从而2求出 P 点标和 PA+PB 最小值；2（2）2PA+PB=2（PA+PB），与（）类似的方法求.【解】）图，过点 A 作射线 AC与 正半轴交于点C，使，点 B 作 BHAC ，交 轴于 P，则 1 PA，此时 PA+PB 取得最小 值，即为 BH 长；已知

4、，OP= =3,则 P（，0）又 OC= OA =，BC=3+，BH=BC= 3 ，即 PA+PB 的最小值为 33 2；（2）如图，过点 B 作射 BC， 的正半轴交于2 / 点 C，使OBC=45，过点 A 作 于 ，交y 轴点 P，此时 PB 取得最小值，BCO=45，AH= AC=2，2PA+PB=2AH=4， OP=OA=1，P，1；即当 P 点坐（，1 时，2PA+PB 取得最小值 4 【小】 1.作角时，以定点定边向“异侧”作射线；2.（2）中提取系数 2 之后答的最小值不要忘记乘 2.典型例 如图， 为方形 ABCD 对线 BD 上动点AB2则 APCP 的最小值为（ ）A 2

5、 B 2 6C4 D3 【分】由 AP=CPBPCP=2AP+BP=2（PA+ 角形和等面积法可解出该最小.12PB），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三【解】方形 为对称图形， AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+ PB），即求 PA+ 1 PB 的最 值，连接 AE，作DBE=30， AC 于 E过 作 BE， 垂足为 F，在 eq oac(,Rt)PBF 中PBF=30 PF= 1 ，PA+12PB 的小值即为 AF 长，得PAO=30OP=AO3=63，AP=2OP=236，BP=OB-OP= 2 -63， PF=BP= - 6 ，AP+PF= 2 226，AP+BP+CP 的

6、最值为 2 6 ，选 B.【小】求 AF 也可放到 中，用等面积法计算；2.点 P 为 的费马点”，兴趣的读者可查阅相关资.变式训 如图条直的公路 l 穿过原路边有一消防站 离公路 千的地方有一居民点 B、 B 的线距离是 13 千.一天，居民点 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最速度是 80 千米小，而在草地的最快速度是 40 千米小时，则消防车在出发后最快经 时可到达居民点 消车可从路的任意位置进入草地行)B小135A3 / 变式训 如图，菱形 的角线 AC 上一动点 ，BC6ABC150，则线段 APBP 的最小值为_2.造相似三形，借相似比将“转化 典型例 如图 eq o

7、ac(,，)ABC 在直角坐标系中AB=AC2 ，0，D 为线 AO 上一，一动点 P 从 A 出发，运动路径为线段 AD、DC， 点 P 在 AD 上运速度是在 CD 上的 3 倍整个运动时间最少， 则点 D 的标应为_【分】设 CD 上度为 v 上速度为 3v，则全程时间 AD3vCDv=1 ( ) v ，当13AD+CD 最小时总间最少分析条件知 CO=AC过点 作 DHAC 于 H构 eq oac(,造)ADH 和ACO 相似，则 DH=坐标.13AD，又 CD=BD，需 DH+BD 最，此时 B、D、H 共线且 BHAC，借助相似易得点 D【解】如，作 DHAC 于 ，交 AO 于

8、D，此时整个运动时间最少，易证 eq oac(,，)AOC 则OD OC=12 ，OD= OC，D（0，）【小】首表示出时间和各段路程的关系； 2.找出图中含有两边之比等于系 a 的角形； 3.构造相似三角形求解.变式训 4 / 如图抛线 y= x x+3 与 x 轴于点 A点 B与 y 轴交于点 点 点 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴的一个动点，设点 P 的标为m，0，过点 P 作 x 轴垂线 l 交物线于点 Q （1）求直线 BD 的解式；（2）当点 P 在段 OB 上动时，直线 l 交 BD 于点 ，当DQB 面最大时，在 x 轴找一点 E使 QE+ EB 的最小，求 E 的标和最

9、小值二阿圆题一般构“子母”型似三角，借助相似将“ aPA”转化 典型例 如图， eq oac(,Rt)ABC 中ACB=90，BC=4 为直角边 AC 上一 点，且 CD=2， CD 绕着点 C 顺针旋转（0），D为 点 D 的应点，连接 和 BD，则 AD+ 的最小_.2【分D在以 C 为圆心半为 2 的圆上运动 eq oac(,，)CDB 中CD=12BC据此在 CB 上截 CF=12CD=1构造CFD eq oac(,，) 将12BD转化为 DF即求 AD+DF的最小值，、D 共时其值最小，由勾股定理易求该【解】在段 CB 上截 CF=12CD=1，CFCD 2，又DCB， eq oac

10、(,)CFD eq oac(,，)CDB D 12,即 12BD，使AD+ BD最小，则需 AD+DF 最，此时 A、D、F2三点共线，AD+DF 的小值即 AF 长， RtACF 中AF=AC 2 CF 2=32 = ，即 AD+ BD的最小值是 10 . 2变式训 5 / 如图 1，抛物线 y=ax6ax+6（a0与 轴交于点 （8，0），与 y 轴于点 B，在 x 轴有一动 点 E（m，0）（0m8）过 E 作 x 轴垂线交直线 AB 于 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM AB 于 M（1）分别求出直线 AB 和抛物线函数表达式（2）设PMN 的积为 S ，AEN 的积为 S ，

11、 ：S =36：25，求 m 的 （3图 2件下将线段 OE 绕点 逆时旋转得到 OE转为90 连接 EA、EB在 x 轴找一点 Q，使 ，出 坐标求 + AE的最小值变式训 在平面直角坐标系中A（2，0（4，0，C（0），D，2），P 是AOC 外部的第一限 内一动点，且CPA135，则 2PDPB 的最小值是 中考真题6 / 1 1 1.如，AB 为O 的径，点 C 是O 的一点， D 是 AC 上的一点，动点 P 从点 C 沿 CA 以 2cm/s 的度向点 D 动沿 DO 以 1cm/s 的速度向点 O 运动点 P 在整个运 过程中的时间为 t，则 t 的最值是 2.如，二次函数 y=

12、ax 的像经过点 （-1），B（0，- 轴交于点 D。）、C（2）其对称轴与 x（1）求二次函数的表达式及其点坐标；1（2）P 为 y 轴的一动点，连接 PD PD 的最小值为_，此时 P 点坐标为_2（3）M（s，t）为抛物线对称轴的一个动点。平面内存在点 ，使 、B、M、N 为点的四边形为菱形，则这样的点 N 有个；3.如，在 中，CA=CE， CAE=30， 经点 C且圆的直径 AB 在段 AE 上 （1）试说明 CE 是 的线。（2）若ACE 中 AE 边上高为 h,用含 的代式表示O 的直 AB;（3）设点 D 是线 AC 上任意点（不含端点），连接 OD当 CD+OD 的小值为 6

13、 时2O 的 AB 的长求7 / 3 5 5 3 5 5 4.如，抛物线 y= （x+2）4（k 常数，且 k）与 x 轴从至右依次交于 A，B 两点与 y 轴于点 C，经过点 B 的线 y= x+b 抛物线的另一交点为 D（1）若点 D 的坐标为5，求物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线有点 P，使得以 A，B，P 顶点的三角形 eq oac(,与)ABC 相似求 k 的；（3）在（）的条件下，设 F 为段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从 A 出，线 段 以每 1 个位的速度运到 再沿线段 FD 以每 单位的速度运动到 D 后停当 点 F 的标是多少时，点 M

14、 在个运动过程中用时最少？5.如 ，平面直角坐标系中，直线 与 、 轴分交于点 B（4，0）、C（0，3），点 A 为 x 轴 负半轴上一点，AMBC 于点 M 交 轴点 N满足 4CN=5ON已知抛物线 y=ax+bx+c 经点 A、B C（1）求抛物线的函数关系式；（2连接 AC点 D 在段 BC 上的抛物线上接 DC若BCD 和ABC 面满足 = S ， eq oac(,S) 求点 D 的标；（3）如图 2，E 为 OB 中，设 F 为段 BC 上一点（不含端点），连接EF一动点 P 从 E 出发沿线 段 以每 1 个位的速度运到 沿线段 FC 以秒 个单的速度运动到 C 后止3点 P

15、在个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点 F 的标8 / 6.已抛物线 ( x 3)( x a 与 轴左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴于点 C，经过点 的线 3 与抛物线的另一个交点为 D。（1）若点 D 的坐标为 2，则物线的函数关系式为 。（2）若在第三象限内的抛物线有一点 P使得以 A、B、P 顶点的三角形与 相，求点 P 的 坐标。（3）在（）的条件下，设点 E 是段 AD 上一（不含端点），连接 ，动点 Q 从点 B 出发沿线段 以每 1 个位的速度运动到点 ，再沿线段 ED 以每秒 个位运动到点 D 停，问当点 E 的标为多少时，点 Q 运的时间最少？9 / 1

16、 11 1 1 11 1 11 1 1 11 7.如 1，抛物线 yax(a3)x3（a0与 x 交于点 ，0），与 y 轴于点 B， x 轴 有一动点 E（m，0）m4）过点 E 作 x 轴垂线交直线 AB 于 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M（1）求 a 的和直线 的函表达式；C 6（2）设 的周长为 C ，AEN 的周长为 若 ，求 m 値；C 52（3）如图 2，在2）的条件下将线段 OE 绕 逆时针旋转得到 OE，旋转角为(0290)，连接 E、EB，求 EA EB 最小值3yPyPBMBMOEAxONEEAx 1胡不归-阿圆问题 变训 1-1 2 . 提示：求

17、 PA+ PB 的最小值，80 40PA+ PB= （ PA+PB） 80 40 40 2变训 1-26提示：PA+PB+PD=PA+2PB=2( 变训 2-112PA+PB)解：（1当 y=0 时， x2+252x+3=0，解得 x =6 = A1，0）、B，当 x=0 ，y=3则 ，3）10 / 1 1 1 3 1 1 1 3 点 D 与点 关于 x 轴对称， 点 D 为（设直线 BD 的析式为 y=kx+b，将 D和 B（6分别代入得 k ，解得：k=12，b=3，直线 BD 解析式为 y=12x（2设 P（m，0）， Q（m，-m+m+3 ） M m3QBD 的面积= QM26 m2+

18、 m+3 m+3 ）= 2 2 2 32（m2）+24当 m=2 时QBD 的面积有最大值，此时 Q（2，6 如图 1 所：过点 E 作 BD，垂足为 F在 Rt OBD 中，OD=3，则 BD=3，tan EBF=tanOBD= BD55EF=BEQE+EB=QE+EF 当点 Q 一条直线上时，QE+ EB 有最小值过点 Q QFBC，垂足 F，QF交 OB 与点 设 QF 解析式为 y=2x+b，将点 的坐标代入得：4+b=6解得 b=10 ，QF的解析式 y=2x+10 12x3 立解得 F（265，-25），当 y=0 时x=5点 E的坐标 的标QE+55EB 有最小值值=QF=(2

19、(6 5 5变训 3-1解：（1把点 A（8，0）代入抛物线 26ax+6，得 64a48a+6=0 a= ，811 / 3 b 3 6 3 3 3 3 b 3 6 3 3 3 y= x2+ 894x+6 与 y 轴交点，令 x=0得 B（0，6设 为 将 A，B，6）代入得， ，解得： b ，直线 AB 的析式为 y=（2E（m，0），34x+6N（m，34m+6 ） P m2+8 m+6PE，ANEABO，AN ，解得：AN= m ) ，PM，PMN=又PNM=NMP NEASS3625，PM65，PM= AN=125又 PM= m+83294mm+6 6+34m= m2+3m 81232

20、m= m2+3m整理得： m12m+32=0， 8解得：m=4 m=80m8m=4.（3在（2的条件下，m=4，E（4，0，设 Q，0）由旋转的性质可知 OE=OE=4，若OQEA则 90， d0，12 / 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 d448，解得：d=2Q（2，0由可知，当 Q 为2，0）时， OQEOEA，且相似比为OE 2 4 AE 12，12AE，BE+ AE=BE，2当 E旋转到 BQ 在直线上时，BE+QE最小，即为 BQ 长度， B（0，6），Q（2，BQ=36 10，BE+ AE的小值为 2 2变训 3-21042.示2PDPB=2（PD +121PB），

21、即 PD + PB 的小值；2如图，由CPA 135，点 在以 O 为圆心，OA 长为半径的劣 运动，取 中点 M，易知OMPOPB，则 121PB，则 + PB =PD +PM ，点 P 为2DM 弧 AC 的交点时，PD+PM 取最小值，即为 长，由点之间距离公式易得 DM=2 中真2.1.23.：当 DOAB 时2OD+CD 最小值，即 t 有最小值，AB 的直径， ，AB=8cm，AC=43cm，在 RtAOD ，AD=2OD，t=CD CD 2 3，即 t 的最小值是 3s 2.：（1由题意 34a b , 3解 3 ，抛物线解析式为 y=9 3顶点（ ，）28xx ，（2）如图 1

22、 ，连接 AB，作 DH 于 H，交 于 P此时 PB+PD 最小213 / 1 1 1 3 3OC= =h AB=2OC= h1 1 1 1 3 3OC= =h AB=2OC= h1 1 理由：OA=1，OB= 3 ，tan ABO=，ABO=30PH= PB2 PB+PD=PH+PD=DH2此时 PB +PD 最短（垂线段最短）在 RtADH 中 2AHD=90，AD=32，HAD=60，sin60=DHAD，DH=， PB+PD 最小值为 ； （3 A 为圆心 为半径画弧与对称轴有两个交点， B 为圆心 AB 为半画弧与对称轴也有两个交点，线 AB 的 垂直平分线与对称轴有一个交点，所以

23、满足条件的点 有 5 个，即满足条件的点 N 有 5 个，故答案为 3.（1）连接 OC，如图 1，CA=CE，CAE=30E=，COE=2，CE 是O 的切线；（2过点 C 作 CHAB H连接 如图 由题可得 CH=h RtOHC 中，CH=OCsinCOH， OC22h 23 433 3 3(3) OF 平O 于 F接 AFDF图 3AOF=2AOC = （18060214 / 1 1 31 38 31 1 31 38 3OA=OF=OCAOF 、COF 等边三角形， AF=AO=OC=FC四边形 AOCF 是菱形，由对称性得 DF=DO过点 D H， OA=OC ，12DC， CD+O

24、D=DH+FD F 三点共时， 2DH+FD （ CD+OD最小，2此时 FH=OFsin2OF=6，则 OF=4，AB=2OF=83当 CD+OD 最小值为 6 时，O 的直径 AB 的为 83 24.：（1抛物线 y=k8（x+2 ）， y=0解得 或 x=4，A（，0）， B（4，0直线 33x+b 经过点 B ，0）， 4+b=0 ，解 b= ， 直线 BD 析式为：y=x+ 当 x= 5 时， 3，D（，3 3）点 D5 3）在抛物线 y=k8（x+2 ）（x上，k8（5+2 ）=3 ，k= 抛物线的函数表达式为： y= 939（x+2（x），即 x 3x（2由抛物线解析式，令 x=

25、0，得 y= 15 / k k kAB CBk k kAB CBC（0，），OC=k为点 在第一象限内的抛物线上，所以ABP 钝角因此若两个三角形相似，只可能是 ABC 或ABC PAB ABC APB，则有BAC=PAB 答图 2 示设 P，过点 P 作 x 轴于 N，则 ON=x，PN=ytan tanPAB即： =2yx ，y=k2x+k ，P（x，x+k，代入抛物线解析式得（x+2（x4x+k整理得：x26x16=0，解得：x=8 或 x=2（与点 重合舍去）， P（8，5k）ABC APB，=，即 6=625 k，k= 5；若ABCPAB则有ABC=PAB，如答 2 所示设 P，过点

26、 P 作 x 轴于 N，则 ON=x，PN=ytanPAB，k4yx ，y=k4x+k2P（x， x+ ），代入抛物线解析式 4 2k8（x+2（x），k8（x+2 ）（x）=k4x+k2，整理得：x24x12=0，解得：x=6 或 x=2（与点 重合舍去）， P（6，2k）ABC PAB， =AP AB，解得 k= 2，k0， ，综上，k= 5或 2（3方法一：如图 3，D 3）过点 作 DNx 于点 N则 DN=3，ON=5，BN=4+5=9，tanDBA=33， DBA=30过点 作 x 则KDF=DBA=30过点 作 FGDK 于点 G则 12DF由题意动点 动的路径为折线 AF+DF

27、，运动时间：t=AF+12DF，t=AF+FG，即运动的时间值等于折 的长度值由垂线段最短可知，折线 长16 / FD4 OA ON OA3 3 3 93 3 33 9 3 3 1 3 3 3 3 34 4 4 4 2 42 5 2 5 1 92 2 3 33 335 3233 3FD4 OA ON OA3 3 3 93 3 33 9 3 3 1 3 3 3 3 34 4 4 4 2 42 5 2 5 1 92 2 3 33 335 3233 3度的最小值为 DK x 轴之间的垂线段点 A AHDK 于点 H t =AH 与直线 交点为所求之 F 点A 点横坐标为2直线 解析式为y=x+ 3，

28、y=（2）+ 3=2，F2）综上所述，当点 F 坐为（2）时，点 M 在个运动过程中用时最少，方法二：作 DKABDKAH 直线 BD 于点 FBDH=30FH=DFsin30= 当且仅当 DK AF+FH2最小，点 M 在个运动中用时为：1FD2=AF+FHl ：y=x+ 3，F ，F（ ）5.：（1）， ，4CN=5ON， OAN= NCMAONCOB， = ，即 =3 OC OB 3434，解得 OA=1，A 设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x，把 ，3）代入得 1（4）=3，解 a= ，抛物线解析式为 y= （x+1）（x4） = + ；4 4 4 4（2设直线 BC 解析式为 y

29、=mx+n ，把 C，3），B（4，0）代入 ，解得 4 m ，直线 BC 的析式为 y= 作 y 轴交 于 如图 1设 x+ 则 x+3，4 4 4 4DQ= x+ x+3 x2+3x = S （ x2+3x x2+6x， S S x2+6x= eq oac(,=) eq oac(,=) （4+1）3，整理 x24x+3=0 ，解 x =1 =3 点坐标为（1， 或（3，3）； （3点 P 在个运动过程中所用的最少时间为 3 秒，此时点 F 坐标为（2 ）提示：即使得 小，过2 5点 C CGAB过点 E 作 EHCG 于 ，交 BC 于 F此时 BCO，FH= CF56.：（1y=a（x+3）（x1），点 的坐标为（，0、点 两的坐标为1，0），直线 y=3x+b 过点 A，3，y=x33，当 x=2 时y=3，则 D 的坐标为23）， D 抛物线上， a（2+3