一元二次方程知识点总结

1、2 2 . - -2 2 21 章一元二方程知识点一、一二次方程1 、元二次方程念：等两边是整式含有一未知数，并未知数最高 次数是 2 的方程叫做一二次方。注意）一元次方程必须一个整方程（2只含有个未知数） 未知数最高次数是 （4二次项数不能等于 2 、元二次方程一般形：ax bx a ，它的特征：等式边是一个关未知数 x 的二次项式，式右边是零其中2叫做二项， a 叫做二次项数 bx 叫做一次， b 叫做一次系数 c 叫常数项。注意（1）二次、二次项系、一次、一次项系，常数都包它前面 的符号）要准确找一个一元二方程的次项系数、次项系和常数项，须 把它先为一般形式）形如2 一定是元二次方程当且

2、仅 是一元二次方程。二、 一元二次程的使方程、右两边相的未知的值叫做方的解，：当 时，x x 所以 2 是 x 3 x 2 方程的。一元二次程的解叫一元次方程的根一元二方程有两个（相等不等）三、一二次方程的法1 、接开平方法 :直接开方法理论依：平方的定义。利用平根的定义直开平方一元二次方的解的法叫做直接平方 法。根据平根的定义可， 是 b 的平方根当 时， x ， x b ，当 b0 ，一元二次程有 2 个不等的实数根 当 =0 ，一元二次程有 2 个相的实数根； 当 0 ，一元二次程没有实数.可修编， 1 21 . - - 利用根判别式判定元二次程根的情况， 1 21 把所一元二次方化为一

3、形式；确定 , bc 的值计算 b 的；根据 24ac的符号定方程根的况。根的判式的逆用在方程 2 0）方程有两不相等的实根 b 4ac）方程有两相等的实数 2 ac =0）方程没有数根 b 2 注意：用一元二次程根的别式求未知的值或值围，但不忽略二 项系数为 0 这条件。四、一二次方程根系数的系（韦达定）如果方2bx 0( 0)的两个数根是 x ，x ， 那么b cx x x a 。 在一二次方程的般形式要注意，强 a因当 a=0 时，不含有 二次项即不是一元次方程 应用求根式解一二次方程时注意：先化方程为般形式确定 a ，b，c 的值；若 b2，则方无解 利用因式解法解程时，方程边绝不随便

4、约去含未知数代数 式如 4)2=3 （x）中，不随便约 x 4。.可修编. - - 注意：解元二次程时一般不用配方（除特别要外）但必须熟练掌，解一元二方程的般顺序是：平方法因式分解法公式 法 6 元二次程解的情况 4ac0方程有个不相等的数根； b24ac=0方程有个相等的数根； 0方程没实数根。解题小窍：当题目含有“不等实数根“两相等实根“没有数根”，往首先虑用 b2 4ac 解题。要用于方程中未知数的值取值 围。考点 3 ：与系数关 :韦达理对于方 ax2bx+c=0(a 0来说，x1 +x2 = ，x1 ac 。也就是，对于任何个有实根的一元二方程，根之和等于程的一次项数除以二次系数所的

5、商的相反；两根积等于常数除以二 项系数得的商。五、一二次方程的用知识点列一元次方程解应题的一步骤） 审题（2设未知数）列方）解方程）检验（6作答。 关键点找出题中的量关系。 、一元次方程有关概念1 3 ( x 2) 的一般形式是 ，其中二次项是， 一次项系数是2当 =时，方程x( 1) 有一根是 0.3若（b1）2+a2 = 0 下列方程中是一元二次方程的只有（ ）（A） ax+5x （B） 2 1)x2+(a+4)x+ab=0 （C(a+1)x b=0 （D(a+1)x.可修编 12 2 2 12 2 2 bx+a=04.关于 x的方程是(21)2+(1)x2=0，那么当 m 时，方程为一元

6、二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.5方程（m2）x m x40 是一元二次方程，则 m 的值为6已知 ( 2 m x ,是关于 二次方程, 则 7 已知 x 是方程x 的一个根，则 a=_ ，另一个根为_；8下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A.B. 1 C. 2 D.x x x 9关于 x 的一元二次方程2bx ,当 a+b+c=0 时，方程的根为 _；当方程的一根为1 时，a,b,c 满足的条件是_ 二、一二次方程的法1方程 2 x23x 0的根是 2已知代数式 4x2 14=50, 则 x 的值为28 块相同的长方形地砖拼成面积为 2400 2 的矩形 ABCD（如图

7、 则矩形 ABCD 的周长为（ ）（A） 200 （B）220（ C）240 （D 3已知关于 x 的二次方程（）x2+3x+m2 3m 4=0 的一个根为 0，求 m 的 值4请写出一个一元二次方程使它有一个根为 3 ，5分式 的值是 0，则 x _ ； 6用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）x-2-99=0 化为(-1)2 =100 B.x+8+9=0 化为(+4)2=25.可修编y 2 -4-2=0 化为y D.32 2 x 2, 那么.y 2 -4-2=0 化为y D.32 2 x 2, 那么C.22-7t-4=0 化为 (t ) ( 16 3 7下面是刚同学在一次测验中解答的填

8、空题，其中答对的是（ 若 x=4，则 x2 B. 方程 x(21)2 的解为 x 1若 x+2+=0 的一个根为 1， k x1，2D.若分式 的值为零，则x8 方 程 _ ； 方 程x160的 根 是_ ；方程 (2 x 的根是 ；方程 x-1=0 的根为 _ ； 的根是_9设 a, b 是一个直角三角形两条直角边的长， a )( a 2 ，则这 个直角三角形的斜边长为10.方程 23 20两根的平方和 倒数和11已知实数 x 满足 x 1 x 2 的值为12已知方程（x+a）=0 和方程 x2-2x-3=0 的解相同，则 a=_ 14 等腰三角形的两边的长方程 2 91 的两个根，则此三角

9、形的周 长为 （ ）A. 27 B. 33 C. 27 和 33 D.以上都不对15若一个三角形的三边长均满足方程 x-6+8=0，则此三角形的周长为.16请写出一个根为 x= - 1，另一根满足 x 的一元二次方程 一元二方程解法练题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。1、 2、 23、 4、.可修编 81二、用配方法解下列一元二次方程。1y 23x 2 3、 x 964、x 5、 2 2 三、用公式解法解下列方程。6、 3 2 07、 2 x 1 、x 2 、 4 y 323 、 y 3 4 、 2 25 105 、 2 x 6 、2 2 2 四、用因式分解法解下列一元二次方程。1、 x

10、 2 2、 ( 2 (2 x 3、 x 4、 x 3) 2)25 、(1 2) x 2) 6 、(2 x (3 x 2) 2 7 ( x x 2 五、用适当的方法解下列一元二次方程。1 、 x x 2 、 x 2 x3 、 y 4 、x 05、 x 6478、3 y 2 y 09、x27 30010、 11、 12 、 2 25013. 14. 32 015.可修编. - -x+4x-12=016. x27 1017. 2 18、32+5(21)=019、 ( x 2 2 三、一二次方程根判别式20、 2 1关于 x 的方程 26+1=0 有两个实数根，则 k的取值围是.2若关于 x 的方程

11、x2 2 (a 1 )x = (b+2) 有两个相等的实根，则 a2004+b5 的值为3 关 于 x 的 x2 2x(k-x)+6=0 无 根 ， 则 k 可 最 小 为 _4方程x2 10的根的情况是_5 关于 x的方程 有两个不相等的实数根，则 m 的最小整数值是6. 如果关于 x 的一元二次方程那么 k 的取值围是（ ）有两个不相等的实数根，7 的一元二次方程( a ) x 2 bx a 40 有两个相等的实数根那么以 a、b、c 为三边的三角形是( )A、以 a 斜边的直角三角形 、以 为斜边的直角三角形C、以 为底边的等腰三角形 D、以 c 为底边的等腰三角形8关于 的一元二次方程

12、x23 220的根的情况是 ( )A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 无实数根 D. 不能确定 9已知关于 x 方程 有两个相同的实数根，则 a 的值是10关于 的一元二次方程有两个实数根，则的取值围是。.可修编x 1 1p 1 . - -x 1 1p 1 11 .已知关于 的方程 x 有两个不相等的实数根，则 k 的取值围是12 若关于 x 的一元二次方程 2 x m 0有两个不相等的实数根，则化简代数式( 2) 2 1的结果为_13如果关于 x的方程 两个相等的实数根，那么 a的值等于.14如果关于 x 的方程 kx 2 有实数根，则实数 的取值围是15求证：不论 k

13、取什么实数，方程 x2-(k+6)x+4(k- 3)=0 一定有两个不相等的实 数根.16.已知 a、b、c 为三角形三边长，且方程 b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0 有两个相等的 实数根.试判断此三角形形状，说明理由四、一二次方程根系数的系1、关于 x的方程 22+(m9)+m+1=0，当 =时，两根互为倒数； 当 m时，两根互为相反数.2、设 x 、x1 2是方程 32+45=0 的两根，则 x x 2+x1 22=.3、若 x1= 3 是二次方程 x+1=0 的一个根，则 a=，该方程的另一个根 x2=.4、方程 2+2x+a1=0 有两个负根，则 a的取值围是5、若 p3

14、5=0，q3q5=0，且 ，则 q 2 6、已知方程 x 2 x 0 的两根平方和是 5，则 k =.7、如果把一元二次方程 23x1=0 的两根各加上 1 作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是.可修编. - -8. 方 3 2 0 的 两 根 分 别 2 x 两 根 一 ， ；9如果、是一元二次方 x23x20 的两个根，则22的值是10已知三角形两边长是方程x 0 两个根第三边 c =3,则三角形的的周长是考：元次程应一、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型常见的模型如下： 与何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有增长率的应用此问是在某个数据的基础上连续增

15、（降低两次得到新数据， 常见的等量关系是 a(1x）2=b，其中 a 表示增长（降低）前的数据x 表示增长率（降 低率 表后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过 1。 经利润问题：总利（单件销售额单件成本）销售数量；或者，总利总销售额 总成本。 动问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中 变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。2注重解法的选择与验根：在体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流 畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性二、经典考题剖析：C【考题 1、山区）课外植物小组准备

16、利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积 为 130 平米的花圃（如图 12算面利用长为 15 米的仓库墙面，三面利用 长为 33 米旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边长都为 米则另一边长为米，依题意得， x 2 x 130 又 当x 10时， .可修编 . - - 当 132时，15 132不合题意，舍去答：花圃的长为 13 米宽为 10 米【考题 2、樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居 民的住房面积由现在的人均约为 10 平方米提高到 12.1 平方米，若每年的增长率相同， 则年增长率为（） B.10 C. 11 D.12 解：设年增长率为 x，据题意得10

17、(1+x) =12.1，解得 x1=0.1，x2 2.1因为增长率不为负，所以 。故选 。【考题 3水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利 10 元每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元日销售量将 减少 20 千克，现该商场要保证天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千 克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价 x 元依题意，得(500 0 （10+x）=6000整理，得 x 2 15x50=0解这个方程x =5，x =10 2要使顾客得到实惠，应取 x=5答：每千克应涨价 5 元点拨：此类经济问题在设未知数时般涨价或降价为未知数

18、应根据“要使顾客 得到实惠”来取舍根的情况【考题 4】如图，在ABC 中B=90，BC=7， P 从 A 点始沿 边点 B 以 1cm/s 速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边点 C 以 2cm/s 速度移动（1）如果点 P、Q 分从 、B 两同时出发，经过几秒钟 eq oac(,，)PBQ 的积等于 4？（2）如果点 P、Q 分从 、B 两同时出发，经过几秒钟， 的度等于 5？.可修编 2 2 2. - 2 2 2CQB A解）设经过 秒钟，PBQ 的积等于 4，则由题意得 ，BP=5x，BQ=2x,1 1由 2 ， （5，解得， =1，x =4 2当 x=4 时，BQ=2x=87=

19、BC不符合题意。故 x=1（2）由 BP =5 得5x） +（2x） =5 ,解得 x1=0（合题意所以 2 秒， 的长度等于 5。三、针对性训练：1小的妈妈上周三在自选商场花 10 元买了几瓶酸奶周再去买时正好遇上商场搞 酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜 5 元，结果小明的妈妈只比上次多花了 2 元钱，却比上次多买了 2 瓶奶问她上周三买了几瓶？2百货大搂服装柜在销售中发乐牌童装平均每天可售出 20 件每件盈利 40 元 为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利， 尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件。要想

20、平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元那么每件童装应降价多少？3在宽为 米、长为 32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分 作为耕地，要使耕地面积为 540 米 ，道路的宽应为多少？.可修编. - -4小红的妈妈前年存了 5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转.今年到期扣除利息税 （利息税为利息的 取得 5145 元求种储蓄的年利率（确到 0.1%）5如图 12-3， ， P 从 A 点始沿 AB 点 B 以 1cm/s 的度移动点 Q 从 B 点始沿 BC 边 C 点 2cm/s 速度移动。（1）如果 P、Q 分别从 A 同时出发，经几秒钟，使ABQ 的面积等于

21、 8cm2?(2)如 P、Q 分从 A 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边前进， 以 C 后继 续在 AC 边上前进，经几秒钟使PCQ 的积等于 cm21解：依题意，得： 2 （6-x解这个方程得：x1=2，x2=4即经过 2s，点 P 到距离 B 点 4cm 处点 Q 距离 B 点 4cm 处经 4s， P 到距离 B 点 2cm 处点 到离 B 8cm 处故本小题有两解。（2）设经过 x 秒点 移到 BC 上且有 CP=点 Q 移到 CA ，且命名 CQ= （2x-8 cm过 Q 作 CB 于 D。 eq oac(,，)CABQD AB 2 x 6(2 x ，即 QD= 10

22、 。1 依题意，得： （14-x=12.6，解这个方程得：x1=7，x2=11经过 ，点 P 在 BC 离 点 7cm 处点 Q 在 CA 距离 C 点 6cm ，使 eq oac(,S)PCQ=12.6cm2 经过 点 P 在 BC 距 C 处点 Q 在 CA 上离 C 14cm 处点 Q 已超出 CA 围，此不存在。故本题只有一解。.可修编. - -例 1某种商品原价 50 元因销售不,3 月降价 10%, 月份开始涨,5 月的售 价为 64.8 元则 4 月两个月均涨价率.思点：题意，3 份的售价可以用 （1）示，若设 4、5 月两个月平均涨价率为 4 月的售价是 的售价 5010%（1

23、+）即 50（110%（1+） 2，由于 5 月的价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。解设 4、5 月两个月平均涨价为，由题意，得5010%）（1+ x ） 2=64.8。理，得（1+ ） 2=1.44.解得： 0.2 20%, 1 2（不合题意，舍去所以 4、5 月两个月平均涨价为 。解反：方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。例 2如图，一块长和分别为 厘米和 40 米的长方形铁皮，要在它的四角截去四 个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为 800 平方米求去正方 形的边长思点：截去正方形的边长 厘之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和 宽的代数式结

24、图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数.解设截去正方形的边长为 x 厘，根据题意，得(602x (402) 800.原方程可写成： x 400 0.解这个方程，得 x 10, 1 如果截去的小正方形的边长为 40 厘，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为 厘，这超过了长方形铁皮的长 60 厘，因此 x 402答：截去正方形的边长为 10 厘。.不符合题意，应舍去。可修编. - -温提：应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一一次方程一样，要注 意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决 .求方 程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解

25、.例究础维究探点 1、图有的题例 1为了培养孩子从小热爱动物的良好德一边靠校园 20 米院墙另三边用55 米的篱笆，围起一个面积为 m3的矩形场地组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物问这个场地的各边长为多少？思点：设与院墙垂直的边长为 x m则与院墙平行的边长(55-2x)m，根据矩形面 积公式可列出方程式解设与院墙垂直的边长为 x ，则与院墙平行的边长为，根据题意得： 整理，得2 2 x 300 .解方程，得 x 1 2当 20即与院墙垂直的边长为 20 米，另一边长为 20 米即院墙平行的边长为 15 米当 15即与院墙垂直的边长为 15 米，另一边长为 25 米即院墙平行的边长为 25

26、 米由于校园的院墙长 20 米2025所以此解不合题意，应舍去答：与院墙垂直的边长为 20 米与院墙平行的边长为 15 米温提若设与院墙平行的边长为 x m则院墙垂直的边长为面积公式也可以列出方程式但出现了分数，不如前一种设法好55 2m 根矩形探点 2、润题例 2某商场服装柜在销售中发现“宝乐牌装平均每天可售出 20 件每件盈利40 元。为了迎接“六一国儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价 元那么平均每天就可多售出 8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元那么每件童装应降价多少元？.可修编. - -思点：每天售出

27、的童装件每件童装的利每天这种童装的总利润。解设每件童装应降价元，根据题意，得 48 1200.化简，得 x 200 ，解得 x 20, 1 。因为要尽快减少库存，所以 x 应取 。答：每件童装应降价 20 元温提：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。探点 3、长问例 3某厂 1 月生产零件 2 万，第一季度共生产零件 7.98 万个，若每月的增长率 相同，求每月的增长率。思点：解设每月的平均增长率为 x，题，得 2+2（1+x）+2（1+x）经整理，得 100 x+300 x-99=0解得 x ，x =-3.3 不题意，舍去。 答：每月的增长率为 30%温提解本题的关键是理解7.98 万零件是 3 个生产量的总”一要注意审题记公式 ，为增长降低前的基础数量x为增长（降低率n为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量合维究例 4一块矩形耕地大尺寸如图 1 所，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖 2 条 和 4 条渠如果小渠的宽相等而且要保证余下的耕地面积为 9600 米 那么水渠应挖多