线性代数矩阵的初等变换与线性方程组习题课市公开课获奖课件

1、线性代数10/10/线性代数课件第1页第1页第三章矩阵初等变换与线性方程组10/10/线性代数课件第2页第2页10/10/线性代数课件第3页第3页10/10/线性代数课件第4页第4页初等变换定义换法变换倍法变换消法变换10/10/线性代数课件第5页第5页初等变换逆变换三种初等变换都是可逆，且其逆变换是同一类型初等变换10/10/线性代数课件第6页第6页反身性传递性对称性矩阵等价10/10/线性代数课件第7页第7页三种初等变换相应着三种初等矩阵初等矩阵由单位矩阵通过一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵10/10/线性代数课件第8页第8页（）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵10/10/线性代数课件

2、第9页第9页（）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵10/10/线性代数课件第10页第10页（）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵10/10/线性代数课件第11页第11页通过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行行数，阶梯线竖线（每段竖线长度为一行）后面第一个元素为非零元，也就是非零行第一个非零元比如行阶梯形矩阵10/10/线性代数课件第12页第12页通过初等行变换，行阶梯形矩阵还能够进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行第一个非零元为1，且这些非零元所在列其它元素都为0比如行最简形

3、矩阵10/10/线性代数课件第13页第13页对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵原则形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0比如矩阵原则形10/10/线性代数课件第14页第14页所有与A等价矩阵构成一个集合，称为一个等价类，原则形是这个等价类中形状最简朴矩阵10/10/线性代数课件第15页第15页定义矩阵秩定义10/10/线性代数课件第16页第16页定理行阶梯形矩阵秩等于非零行行数矩阵秩性质及定理10/10/线性代数课件第17页第17页10/10/线性代数课件第18页第18页定理定理线性方程组有解判别定理10/10/线性代数课件第19页第19页齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最

4、简形矩阵，写出通解非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，依据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解10线性方程组解法10/10/线性代数课件第20页第20页定理11初等矩阵与初等变换关系定理推论10/10/线性代数课件第21页第21页一、求矩阵秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵初等变换法四、解矩阵方程初等变换法典型例题10/10/线性代数课件第22页第22页求矩阵秩有下列基本办法（）计算矩阵各阶子式，从阶数最高子式开始，找到不等于零子式中阶数最大一个子式，则这个子式阶数就是矩阵秩一、求矩阵秩10/10/线性代数课件第23页第23页（）用初等变换即用矩

5、阵初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵秩就是其非零行（或列）个数，而初等变换不改变矩阵秩，因此化得阶梯形矩阵中非零行（或列）个数就是原矩阵秩第一个办法当矩阵行数与列数较高时，计算量很大，第二种办法则较为简朴实用10/10/线性代数课件第24页第24页例求下列矩阵秩解对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵10/10/线性代数课件第25页第25页10/10/线性代数课件第26页第26页注意在求矩阵秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但普通多用初等行变换把矩阵化成阶梯形10/10/线性代数课件第27页第27页当方程个数与未知数个数不相同时，一般用初等行变换求方程解当方程个数与未知数个

6、数相同时，求线性方程组解，普通都有两种办法：初等行变换法和克莱姆法则二、求解线性方程组10/10/线性代数课件第28页第28页例求非齐次线性方程组通解解对方程组增广矩阵 进行初等行变换，使其成为行最简朴形10/10/线性代数课件第29页第29页10/10/线性代数课件第30页第30页10/10/线性代数课件第31页第31页由此可知，而方程组(1)中未知量个数是，故有一个自由未知量.10/10/线性代数课件第32页第32页例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它通解解法一系数矩阵行列式为10/10/线性代数课件第33页第33页10/10/线性代数课件第34页第34页从而得到方程组通

7、解10/10/线性代数课件第35页第35页10/10/线性代数课件第36页第36页10/10/线性代数课件第37页第37页解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形10/10/线性代数课件第38页第38页10/10/线性代数课件第39页第39页三、求逆矩阵初等变换法10/10/线性代数课件第40页第40页例求下述矩阵逆矩阵解10/10/线性代数课件第41页第41页10/10/线性代数课件第42页第42页注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换10/10/线性代数课件第43页第43页四、解矩阵方程初等变换

8、法或者10/10/线性代数课件第44页第44页例解10/10/线性代数课件第45页第45页10/10/线性代数课件第46页第46页第三章测试题一、填空题(每题4分，共24分)1若元线性方程组有解，且其系数矩阵秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解2齐次线性方程组只有零解，则应满足条件是10/10/线性代数课件第47页第47页4线性方程组有解充要条件是10/10/线性代数课件第48页第48页二、计算题(第1题每题8分，共16分；第2题每小题9分，共18分；第3题12分)10/10/线性代数课件第49页第49页2求解下列线性方程组10/10/线性代数课件第50页第50页有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解10/10/线性代数课件第51页第51页三、利