2016高二五届1数学棱柱

1、棱柱与棱锥多面体一、多面体：由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。围成多面体的各个多边形称为多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。食盐明矾石膏凸多面体：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体。VABCDE问：以上多面体，哪个为凸多面体？不加特别说明我们所说的多面体都是凸多面体多面体分类：按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等 定义：有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点， 两个互相平行的平面叫做棱柱的底

2、面，棱柱的概念ABCDD1E1A1B1C1EH其余各面叫做棱柱的侧面两个底面的距离叫做棱柱的高不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线， 问题1：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱吗？答：不一定是如右图所示，不是棱柱 问题2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？答：不一定是如右图所示，不是棱柱 问题3：下面的几何体是棱柱吗？2 用表示一条对角线端点的两个字母表示，如图：记作棱柱A C1棱柱的表示法1用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如图：记作棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1ABCDD1E1A1B1C1E侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。侧棱垂

3、直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。棱柱的分类:按侧棱与底面位置关系斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、侧面各有什么特点？2按侧棱数分：侧棱数为3，4，5，可以把棱柱分为三棱柱，四棱柱，五棱柱观察下列棱柱并思考：棱柱具备哪些性质?2两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；3过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形1侧棱都相等，侧面是平行四边形；棱柱的性质特殊的(1)直棱柱的每一个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.(2)过直棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是矩形.(3)正棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形练习1、判断下列命题是否正确：A.有两个侧

4、面是矩形的棱柱是直棱柱；B.有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；C.有一条侧棱垂直于底面的两条边的棱柱是直棱柱；2、一个棱柱是正四棱柱的条件是：A.底面是正方形，有两个侧面是矩形；B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直；D.每个侧面都是全等的矩形的四棱柱3、直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形？4、有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱？有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢？平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体 长方体：底面是矩形的直平行六面体 正方体：棱长都相等的长方体 特殊的四棱柱一、几

5、个概念 四棱柱平行六面体长方体直平行六面体正四棱柱正方体底面变为平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等几种六面体的关系：长方体 -常见的四棱柱四棱柱 -平行六面体 -侧棱垂直于底面直平行六面体 -底面是矩形棱长都相等正方体其关系为：底面是平行四边形正四棱柱底面是正方形侧面是正方形练习、下列说法正确的是（ ）A、直四棱柱是直平行六面体B、底面是平行四边形的棱柱是平行六面体C、底面是矩形的平行六面体是长方体D、各侧面都是矩形的棱柱是长方体B问题1：在平面几何中平行四边形、长方形各有什么性质? 如：平行四边形对角线互相平分；长方形的长为a，宽为b，则对角线长为l2=a2+b

6、2 问题2：在立体几何中平行六面体、长方体是否也有类似的性质呢? 定理1、平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分 已知：平行六面体ABCDABCD（如图）求证：对角线AC、BD、CA、DB相交于一点O，且在点O处互相平分.二、性质 证明：设O是A 的中点，则 设P、M、N分别是 、 、 的中点，同样可证由此可知O、P、M、N四点重合，定理得证。定理2、长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和证明： 4CN=CC，求证：ABMNcbaNCBACBA M是底面BC边的中心，N是侧棱CC上 的点，解法1：用三垂线定理证明异面直线垂直，关键：寻找其中一条直线所在平面的垂线解法

7、2：向量法关键：寻找X、Y、Z轴yxz M1解法3：利用空间向量基本定理关键：寻找知道模及夹角的基底例1、已知正棱柱ABC-ABC各棱长为，例2、已知：正四棱柱 的底面 边长为2，侧棱长为 ，（1）求二面角 的大小；（2）求点B到平面 的距离。HOADCBDCBA棱柱的侧面积和体积 把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在一个平面上，展开后的图形称为棱柱的侧面展开图；展开图的面积称为棱柱的侧面积棱柱的侧面积等于棱柱的各个侧面面积之和 3、斜棱柱ABC-ABC中，A在底面ABC的射影O是底面三角形ABC的中心，求证：BCCB是矩形OCCBA注：有一个侧面是矩形的棱柱，不一定是直棱柱(1)求B、D两点的

8、距离4、有一矩形纸片ABCD，AB=5,BC=2,E,F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角.(2)求证AC，BD交于一点且被这点平分.一、棱锥的概念和性质我们常见的帐篷或金字塔等一些物体，都给我们以顶尖底平的形象定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥2、相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱3、各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高1、这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面 如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥SABCDEO1 .用

9、顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥2.用顶点及底面一对角线字母表示，如：棱锥二、棱锥的表示法三、棱锥的分类 按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等五棱锥三棱锥四棱锥四、棱锥的性质 定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么 截面和底面相似，并且它们的面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比证明：因为截面平行于底面，所以AB/AB，BC/BC，CD/CD，。ABC=ABC，BCD=BCD 。又因为过SA、SH的平面与截面和底面分别交于AH和AHAH/AH由此得ABAB=SASA=SHSH同理BCBC=SHSHABAB=BCBC=SHSH=因此截面ABCDE底面ABCDES

10、ABCDESABCDE=AB2AB2=SH2SH2HSABCDEABCDEH五、特殊的棱锥正棱锥 定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫正棱锥正三棱锥正五棱锥(正多边形的外接圆(内切圆)圆心叫正多边形中心)正棱锥的性质（）、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高 （）、正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影 组成 一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在 底面内的射影也组成一个直角三角形。（）、正棱锥侧棱与底面所成的角 都相等，侧面与底面所成的二面角都相等练习：判断正误：（1）正棱锥的侧面是正三角形；（2）

11、正棱锥的侧面是等腰三角形；（3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（4）正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等；（5）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（6）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥例1、已知正三棱锥S ABC的高SO=h，斜高 SM= l， 解：连结OM、OA。在RtSOM中，OM= l 2 - h 2因为棱锥S ABC是正棱锥所以点O是正三角形ABC的中心AB=2AM=2OM t a n 600=23 l 2 - h 2SABC=AB2=43（ l 2 - h 2）根据棱锥截面的性质，有S ABCSABC=S ABC=（l 2 - h 2）过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面

12、SABCOABCOM求经过SO的中点且平行底面的截面ABC的面积例2、正四棱锥S-ABCD中,高为a,底面边长为2a, 求: (1)、底面与侧面所成的二面角 (2)、点B到侧棱SC的距离 (3)、相邻两个侧面所成的二面角 OBSACDEH3、下列说法是否正确(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥(2)底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥(3)底面是正多边形,各侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥 (4)顶点在底面的射影为底面多边形的外心的棱锥是正棱锥 SACDOMB1、棱锥的性质HSABCDEABCDEHSABCDESABCDE=SH2SH2复习提问：2、正棱锥性质1、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，正棱锥的斜高相等性质2、RtSOB , RtSOM,RtSMB , RtOMB；ABDCOV例1. 例2.设一个正三棱锥的侧面和底面的交角为60o，则棱锥的侧棱和底面的夹角的余弦值是多少？ ABCSO练习1、判断正误：（1）正棱锥的侧面是正三角形；（2）正棱锥的侧面是等腰三角形；（3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥