二、三重积分的计算课件

1、 第九章 重 积 分二重积分的计算三重积分的概念及其计算（1）三重积分的计算（2）二重积分的应用二重积分的概念与性质1一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第九章 2利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。3若D为Y 型区域则后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。思路：先确定积分次序，然后再确定积分限。4说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分

2、成若干X-型域或Y-型域 , 则 5域边界相交不多于两个交点.r型区域： 穿过区域且r常数的圆周与区基本简化区域的定义域边界相交不多于两个交点. 型区域： 穿过区域且 常数的射线与区后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。同样适用： 常用！重点掌握7二重积分化为二次积分的公式（）区域特征极点在区域的外部后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。8二重积分化为二次积分的公式（）区域特征极点在区域的边界上后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。10极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）区域特征极点在区域的内部后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。11(3

3、) 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式12一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”解决方法:质量 M .密度函数为14定义. 设存在,称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式” 极限记作15直角坐标系中的坐标

4、平面：y=常数 一组平行于XOZ的平面x=常数 一组平行于YOZ的平面z=常数 一组平行于XOY的平面直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz（1）直角坐标系二、预备知识 空间的三个坐标系17面面面空间直角坐标系共有八个卦限直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz18规定：（2）柱坐标系19 柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三組坐标曲面分别为圆柱面；半平面；平 面2021如图，柱面坐标系中的体积元素为22请观察柱坐标系下的坐标曲面：=常数 过Z轴的半平面z=常数 平行于XOY面的平面r=常数 以Z轴为中心轴的柱面所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，其体积为：几何解释241 球坐标系下的坐标

5、：2 球坐标与直角坐标的关系：3 球坐标的取值范围：几何解释：（3）球坐标系25球面坐标系中的体积元素为如图，2728球面坐标系中的体积元素为如图，29二重积分的几何意义：二重积分的定 义：二重积分的物理意义：平面薄片D的质量 知识回顾二、三重积分的概念及其计算方法301. 利用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 引出下列各计算方法：31投影法（先一后二法）如图32得33注意Z 型区域 34解3536解如图37为底, d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作截面法（先二后一法）Z=C去截383940解41原式42解如图先对积分，再求上二重积分, 4344小结: 三重积分的计算方法方法1. “先一后二”方