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文档简介

1、第四节重积分的应用一、立体体积 二、物体的质心 三、物体的转动惯量 四、物体的引力 作业 习题6.4 1(2), 2 ,3，4, 5，6，7方法：重积分的微元法重积分的微元法1 区域函数及其对域的导数：以平面区域上的质量问题来说明问题称为区域函数在该点处对区域的导数。228称为区域函数在该点处对区域的微分。2 变域上的重积分对域的导数： 类似定积分中变上限的定积分是被积函数的原函数一样，二重积分的值随积分区域的变化而变化，可以看作积分区域的函数，即由重积分的中值定理值知： 当子域 的直径d趋于0时，区域 收缩到一点(x, y)，从而由函数的连续性和区域函数的导数定义可得： 连续函数在变区域上的

2、二重积分作为区域函数，它在点（x,y）处对区域的导数等于被积函数在该点的值。4284. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元法 分布在有界闭域上的整体量 6. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 5. 用重积分解决问题的方法 任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V . 解: 曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D )在点例1. 求曲面例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为828将 分成 n 小

3、块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点1028同理可得则得形心坐标：若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩1228例4. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，采用柱坐标, 则炉壁方程为因此故自重, 求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为1428类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄

4、片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.1828例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则球体的质量例6.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 2028 G 为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为2228例8. 求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解: 利用对称性知引力分量点2428为球的质量提示:记雪堆体积

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