D3-4单调与凹凸;D3-5极值与最值;D3-6函数图形的描绘;D3-7曲率课件

1、课前练习高等数学（上）1.问题的提出图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方二、曲线的凹凸性及拐点高等数学（上）定义1 设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的(或凹弧);(2)若恒有则称图形是凸的(或凸弧).2.曲线凹凸性的定义二、曲线的凹凸性及拐点高等数学（上）3.曲线凹凸性的判定定理2二、曲线的凹凸性及拐点高等数学（上）定义2 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.4.曲线的拐点定义5. 拐点的求法(2) 在x0的两侧若二阶导数异号,则(x0 , y0)为拐点,否(1) 求 及二阶不可导点；二、曲线的凹凸性及拐点则 (x0 , y0 )不是拐点.的凹凸区间及拐

2、点.注意 拐点要用平面坐标(x0 , f(x0 )表示.例5 求曲线高等数学（上）注意极大值点与极小值点不唯一;极值是局部性的,在定义域内未必为最值;对一个函数而言,极小值可能比极大值大.极值是内部性的,不考虑端点;一、函数的极值及其求法高等数学（上）例如一、函数的极值及其求法高等数学（上）定理2(极值的第一判别法)一、函数的极值及其求法高等数学（上）的极值.例1 求函数求极值的步骤:1.写出函数f(x)的定义域;2.在定义域内求出f(x)=0及f(x)不存在的点;3.用上述各点将定义域分成若干区间,列表讨论各区间内导数的符号,进而确定出函数的单调增减区间,以及函数的极值.一、函数的极值及其求

3、法高等数学（上）定理3(第二充分条件)(2)当二阶导数不易求或不存在时,只能用第一充分注意条件(定理2).的极值.例2 求函数一、函数的极值及其求法高等数学（上）2. 关于最值的两个重要结论(1) 正确写出函数表达式及其定义域;步骤：3.最值的应用题(2) 计算函数的驻点;(3) 判断驻点是否为极值点;(4) 此时极值点一般都唯一,即是最值点.二、最大值与最小值问题高等数学（上）ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运为使货物从B运到工 厂C的运费最省,问D点应如何取?20公路, 价之比为3:5,例4 铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20km,二、最大

4、值与最小值问题高等数学（上）课前练习高等数学（上）一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘第六节 函数图形的描绘第三章高等数学（上）标原点时,该点P与某条定直线L的距离趋于零,则曲线的渐近线水平渐近线铅垂渐近线斜渐近线定义 若曲线y=f(x)上的动点P沿曲线无限远离坐称该定直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线. 一、曲线的渐近线高等数学（上）1.水平渐近线例如有两条水平渐近线:一、曲线的渐近线高等数学（上）2.铅垂渐近线或下方无限延伸时,以直线x=a为铅垂渐近线.如果则曲线向上方一、曲线的渐近线例1高等数学（上）设f(x)的定义区间为无穷区间,若 3.斜渐近线斜渐近线求法:一、曲线的渐近线高等数学（

5、上）上述各点分定义域为若干区间,列表考察一,二阶导数符号,确定增减区间,凹凸区间,极值,拐点;一般步骤求确定函数的定义域,讨论其奇偶性,周期性;求曲线的渐近线;根据以上性质,适当补充一些点作图.并求出及为0和不存在的点;二、函数图形的描绘高等数学（上）例2拐点极值点二、函数图形的描绘高等数学（上）弧微分公式一、弧微分高等数学（上）1.问题的提出问题:怎样定量地描述曲线局部弯曲程度？我们直觉认识:直线不弯曲;半径小的圆弯曲得厉害,抛物线在顶点附近弯曲得比远离顶点的部分厉害.)弧段长度相等,转角越大,弯曲程度越大:与转角大小成正比.转角相同,弧段越短,弯曲程度越大:与弧段长度成反比.)二、曲率及其计算公式高等数学（上）)yxo（设曲线C是光滑的,定义:曲线C在点M处的曲率2.曲率的定义二、曲率及其计算公式高等数学