数学实验市公开课获奖课件

1、 实 验 一 矩阵运算与Matlab命令第1页第1页Matlab语言简介Matlab语言名字是由MATrix和LABoratory两个词前三个字母组合而成，含义是矩阵试验室，是MathWorks公司于1967年推出一套高性能数值计算和可视化数学软件。 第2页第2页matlab语言特色 (1)数值计算功效强大。(2)应用范围广泛、扩充能力强(3)编程效率高，易学易懂。(4) 语句简朴，内涵丰富，用户使用以便。(5)强大绘图功效。 (6)兼容性好第3页第3页 help %帮助总揽help plot %关于绘图函数帮助信息help exp %指数函数exp详细信息 lookfor指令当要查找含有某种

2、功效但又不知道准确名字指令时，help能力就不够了，lookfor能够依据用户提供完整或不完整关键词，去搜索出一组与之相关指令。 lookfor integral %查找相关积分指令Matlab帮助系统第4页第4页 超文本格式帮助文献在Matlab 中，关于一个函数帮助信息可以用 doc 命令以超文本方式给出如：docdoc docdoc eig %eig求矩阵特性值和特性向量 pdf帮助文献第5页第5页日常矩阵及其运算矩阵应用实例:榄球防护用具生产管理第6页第6页 应用问题 一个工厂生产三种橄榄球用具 ： 防护帽、 垫肩、臀垫。需要不同数量：硬塑料 、 泡沫塑料 尼龙线 、 劳动力。为监控生

3、产，管理者对它们之间关系十分关心。为把握这些量关系，他列出下面表第7页第7页 原料产品关系表第8页第8页 订单管理者接到四份订单如上表所表示。问应当如何计算每份订单所需原材料，以便组织生产？第9页第9页将表格写成矩阵形式第10页第10页计 算输入下面Matlab指令A=4 2 3;1 3 2;1 3 3;3 2 2,B=35 20 60 45;10 15 50 40;20 12 45 20C=A*B请自行计算观看结果第11页第11页MATLAB运营方式直接在命令窗口中输入。M文献输入法： 脚本M文献 函数M文献第12页第12页 MATLAB内部函数是有限，有时为了研究某一个函数各种性态，需要为

4、MATLAB定义新函数，为此必须编写函数文献. 函数文献是文献名后缀为M文献，这类文献第一行必须是一特殊字符function开始，格式为： function 因变量名=函数名（自变量名）函数值取得必须通过详细运算实现，并赋给因变量. 4、M文献M文献建立办法：1. 在Matlab中，点:File-New-M-file 2. 在编辑窗口中输入程序内容 3. 点：File-Save，存盘，M文献名必须 与函数名一致。Matlab应用程序也以M文献保留。第13页第13页例：定义函数 f(x1,x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2function f=fun(x)f=100*(x(2)-x

5、(1)2)2+(1-x(1)21.建立M文献：fun.m2. 能够直接使用函数fun.m比如：计算 f(1,2), 只需在Matlab命令窗口键入命令：x=1 2fun(x)第14页第14页Matlab基本指令向量创建和运算第15页第15页1. 直接输入向量x1=1 2 4,x2=1,2,1,x3=x1运营结果 x1 = 1 2 4 x2 = 1 2 1 x3 = 1 2 4 第16页第16页2.冒号创建向量 x1=3.4:6.7, x2=3.4:2:6.7 x3=2.6:-0.8:0运算结果x1 = 3.4000 4.4000 5.4000 6.4000 x2 = 3.4000 5.4000

6、 x3 = 2.6000 1.8000 1.0000 0. 第17页第17页 3.生成线性等分向量指令x=linspace(a,b,n) 在a,b区间产生 n 个等分点(包括端点) x=linspace(0,1,5)结果x = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000第18页第18页工作空间在Matlab窗口创建向量后并运营后，向量就存在于工作空间，能够被调用。第19页第19页 向量运算设x=x1 x2 x3; y=y1 y2 y3;为两个三维向量，a,b为标量。向量数乘：a*x=a*x1 a*x2 a*x3向量平移： x+b=x1+b x2+b x3+b向量和： x+y=x

7、1+y1 x2+y2 x3+y3向量差： x-y=x1-y1 x2-y2 x3-y3 数乘幂： 如 a2第20页第20页元素群运算(四则运算）x.*y=x1*y1 x2*y2 x3*y3 (元素群乘积)x./y=x1/y1 x2/y2 x3/y3 (元素群右除，右边y做分母)x.y=y1/x1 y2/x2 y3/x3 (元素群左除，左边x做分母)x.5=x15 x25 x35 (元素群乘幂) 2.x=2x1 2x2 2x3 (元素群乘幂)x.y=x1y1 x2y2 x3y3 (元素群乘幂)第21页第21页元素群运算（函数计算）Matlab有许多内部函数，可直接作用于向量产生一个同维函数向量。x

8、=linspace(0,4*pi,100);（产生100维向量x）y=sin(x); (y也自动为100维向量)y1=sin(x).2;y2=exp(-x).*sin(x); 观测结果第22页第22页创建矩阵（数值矩阵创建） 直接输入法创建简朴矩阵。 A=1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12B=-1.3,sqrt(3);(1+2)*4/5,sin(5);exp(2),6 观测运营结果第23页第23页创建矩阵（符号矩阵创建）用指令“syms”阐明符号变量。 syms a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b11 b12

9、 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34A1=a11 a12 a13 a14 ;a21 a22 a23 a24; a31 a32 a33 a34,B1=b11 b12 b13 b14 ;b21 b22 b23 b24; b31 b32 b33 b34 运营第24页第24页矩阵运算(矩阵加减、数乘、乘积)C=A1+B1D=A1-B1syms c, cA=c*A1A2=A1(:,1:3), B1G=A2*B1 第25页第25页矩阵运算(矩阵加减、数乘、乘积)A, A_trans=AH=1 2 3 ; 2 1 0 ; 1 2 3 ,K=1 2 3 ; 2 1

10、0 ; 2 3 1h_det=det(H), k_det=det(K),H_inv=inv(H),K_inv=K-1第26页第26页矩阵运算(左除和右除)左除“ ”： 求矩阵方程AX=B解；（ A 、B行要保持一致） 解为 X=AB； 当A为方阵且可逆时有X=AB=inv(A)*B；右除“ / ”： 求矩阵方程XA=B解 （A 、B列要保持一致） 解为 X=B/A ， 当A为方阵且可逆时有X=B/A=B*inv(A)第27页第27页矩阵运算(左除和右除)求矩阵方程：设A、B满足关系式：AB2B+A,求B。其中A=3 0 1; 1 1 0; 0 1 4。解：有(A-2I)BA程序 ： A=3 0

11、 1; 1 1 0;0 1 4;B=inv(A-2*eye(3)*A,B=(A-2*eye(3)A观测结果：第28页第28页分块矩阵（矩阵标识）1.矩阵元素标识 ： A(i,j)表示矩阵A 第 i 行 j 列元素； 2.向量标识方式 A(vr,vc)： vr=i1,i2,ik、vc=j1,j2,ju分别是含有矩阵A行号和列号单调向量。 A(vr,vc)是取出矩阵A第i1,i2,ik行与j1,j2,ju列交叉处元素所构成新矩阵。第29页第29页分块矩阵（矩阵标识）取出A1、3行和1、3列交叉处元素构成新矩阵A1程序A=1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3; 3 0 5 1 0;2 3 1 2

12、 1, vr=1, 3;vc=1, 3;A1=A(vr, vc)观测结果第30页第30页分块矩阵（矩阵标识）将A分为四块，并把它们赋值到矩阵B中，观测运营后结果。程序A11=A(1:2,1:2),A12=A(1:2,3:5),A21=A(3:4,1:2),A22=A(3:4,3:5)B=A11 A12;A21 A22结果第31页第31页分块矩阵（矩阵修改和提取）修改矩阵A，将它第1行变为0。程序：A=1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3; 3 0 5 1 0;2 3 1 2 1 A(1,:)=0 0 0 0 0; A删除上面矩阵A第1、3行。程序： A(1,3,:)= 结果第32页第32页

13、生成特殊矩阵 全1阵 ones(n), ones(m,n), ones(size(A)全零阵： zeros(n) ，zeros(m,n), zeros(size(A) 经常用于对某个矩阵或向量赋0初值单位阵：eye(n)，eye(m,n) 随机阵： rand(m,n)， rand(n)=rand(n,n)用于随机模拟，常和rand(seed,k)配合使用。第33页第33页生成特殊矩阵将rand指令运营多次，观测结果。程序： y1=rand(1,5), y2=rand(1,5),rand(seed,3), x1=rand(1,5), rand(seed,3), x2=rand(1,5)结果第34

14、页第34页惯用矩阵函数det(A) ： 方阵行列式；rank(A)： 矩阵秩；eig(A)： 方阵特性值和特性向量；trace(A)： 矩阵迹；rref(A)： 初等变换阶梯化矩阵Asvd(A)： 矩阵奇异值分解。cond(A)： 矩阵条件数；第35页第35页数据简朴分析1.当数据为行向量或列向量时，函数对整个向量进行计算.2.当数据为矩阵时，命令对列进行计算，即把每一列数据当成同一变量不同观测值。max(求最大)、min(求最小)、mean(求平均值)、sum(求和)、std(求标准差)、cumsum(求累积和)、median(求中值)、diff(差分)、sort(升序排列)、sortrow

15、s(行升序排列)等等。第36页第36页数据简朴分析观测：生成一个36随机数矩阵，并将其各列排序、求各列最大值与各列元素之和。程序rand(seed,1);A=rand(3,6),Asort=sort(A), Amax=max(A), Asum=sum(A)结果第37页第37页3.流程控制语句 i）if语句依据复杂程度，if语句有3种形式if 表示式 语句组a， endif 表示式1 语句组a， else 语句组b， endif 表示式1 语句组a， elseif 表示式2 语句组b，else 语句组c，end ii）while语句while语句结构形式为while 表示式 语句组， end 第

16、38页第38页iii）for语句for语句结构形式为for k=初值：增量：终值 语句组a，endiv）switch语句switch 表示式（标量或字符串）case 值1 语句组1case 值2 语句组2 otherwise 语句组nend第39页第39页综合例题例：下例产生一个55Hilbert矩阵h 其中为h第i行、第j列元素。（1）用for语句；（2）用while语句；（3）对矩阵进行各种处理 。第40页第40页试验二函数可视化与Matlab作图第41页第41页函数可视化 f (x), g (x)是周期函数吗？观测它们图象。 程序clf, x=linspace(0,8*pi,100);F

17、=inline(sin(x+cos(x+sin(x);y1=sin(x+cos(x+sin(x); y2=0.2*x+sin(x+cos(x+sin(x);plot(x,y1,k:,x,y2,k-) legend(sin(x+cos(x+sin(x),0.2x+sin(x+cos(x+sin(x),2)令第42页第42页绘制平面曲线(plot指令) plot(x,y)：以x为横坐标、y为纵坐标绘制二维图形x,y是同维数向量；plot(y)：相称于x=1,2,length(y)时情形。第43页第43页绘制平面曲线（绘制多个图形)1. plot(x,y1;y2;), x是横坐标向量，y1;y2;是

18、由若干函数纵坐标拼成矩阵2. plot(x,y1), hold on, plot(x,y2), hold off3. plot(x,y1,x,y2,) 4.plotyy两个坐标系，用于绘制不同尺度函数。第44页第44页绘制平面曲线（线型、点形和颜色控制）plot(x,y,颜色线型点形)plot(x,y,颜色线型点形,x,y,颜色线型点形, )句柄图形和set命令改变属性值，可套用：h=plot(x,y), set(h,属性,属性值,属性,属性值,)也可用plot(x,y,属性,属性值)设置图形对象属性。第45页第45页绘制平面曲线（属性变量和属性值）线宽：LineWidth点大小： Marke

19、rSize线型：LineStyle颜色：color第46页第46页绘制平面曲线（例）观测：改变绘图线型和颜色。用grid on 指令为图形窗口加上 网格线，并改变网格线型和字体大小。程序h=plot(0:0.1:2*pi,sin(0:0.1:2*pi); set(h,LineWidth,5,color,red); grid on set(gca,GridLineStyle,-,fontsize,16) 观测结果第47页第47页绘制平面曲线（坐标轴控制）axis指令 axis(xmin xmax ymin ymax)： 设定二维图形x和y坐标范围； axis(xmin xmax ymin yma

20、x zmin ymax)： 设定三维图形坐标范围 ；其中xminxxmax， yminyymax ，zminzzmax。第48页第48页绘制平面曲线（gca属性控制）改变当前轴对象句柄gca属性用set(gca,属性,属性值,)可改变字体大小、坐标刻度等轴对象内容。比如：set(gca,ytick,-1 -0.5 0 0.5 1)将 y 坐标按向量-1 -0.5 0 0.5 1将刻度分成4格；set(gca,yticklabel,a|b|c|d|e)改变y坐标刻度阐明。第49页第49页绘制平面曲线（gca属性控制,例）设置y坐标刻度并加以阐明，并改变字体大小。程序 plot(0:0.1:2*p

21、i,sin(0:0.1:2*pi),k.-,);grid on, axis(0 6.3 -1.1 1.1)， set(gca,ytick,-1 -0.5 0 0.5 1), set(gca,yticklabel,a|b|c|d|e), set(gca,fontsize,20) get(gca)运营结果第50页第50页绘制平面曲线（文字标注） title(图形标题)；xlabel（x轴名称）；ylabel（y轴名称）；zlabel（z轴名称）；text(a,b,阐明文字)：创建阐明文字；gtext（阐明文字）：用鼠标在特定位置输入文字。文字标注惯用符号： pi （）；alpha （）；beta

22、（）；leftarrow （左箭头） rightarrow （右箭头）； bullet （点号）第51页第51页绘制平面曲线（程序解说，exp2_1.m）clf, t=0:0.1:3*pi;alpha=0:0.1:3*pi; plot(t,sin(t),r-);hold on; plot(alpha,3*exp(-0.5*alpha),k:); set(gca,fontsize,15,fontname,times New Roman), xlabel(itt(deg);ylabel(itmagnitude);title( itsine wave and itAe-alphaittwave);

23、第52页第52页绘制平面曲线（程序解说，exp2_1.m）text(6,sin(6),fontsize15The Value itsin(t) at itt=6rightarrowbullet, HorizontalAlignment,right),text(2,3*exp(-0.5*2),fontsize15bulletleftarrow The Value of it3e-0.5 itt=,num2str(3*exp(-0.5*2), at itt =2 );legend(itsin(t),itAe-alphat) 注1： num2str： string1 ,num2str,string2

24、，用方括号注2： legend 请结合图形观测此命令使用 第53页第53页图形窗口创建和分割 subplot(m,n,k)命令。 在图形区域中显示多个图形窗口。 m为上下分割数，n为左右分割数，k为第k子图编号。例：将一个图形分为9个子图，在第k个子图画sin(kx) 图象.程序： clf，b=2*pi;x=linspace(0,b,50); for k =1:9 y=sin(k * x); subplot(3,3,k),plot(x,y),axis(0,2*pi,-1,1)end第54页第54页若干有用指令clf：清除图形窗口已有内容. shg：显示图形窗口。clear、 clear x：清

25、除工作空间已有变量。figure(n): 打开第n个图形窗口 help: : 续行号第55页第55页绘制二元函数基本环节：1.生成二维网格点2. 计算函数在网格点上值3. 绘制函数图形第56页第56页三维绘图（ meshgrid指令：生成网格点）观测meshgrid指令效果。程序：a=-0.98;b=0.98;c=-1;d=1;n=10;x=linspace(a,b,n); y=linspace(c,d,n);X,Y=meshgrid(x,y);plot(X,Y,+)观测结果第57页第57页三维绘图（计算函数值，定义域淘汰）程序：绘制 图像for i=1:n for j=1:n if (1-X

26、(i,j)eps1|X(i,j)-Y(i,j)eps1 z(i,j)=NaN; else z(i,j)=1000*sqrt(1-X(i,j)-1.*log(X(i,j)-Y(i,j); end endend 第58页第58页三维绘图（绘图指令）mesh(X,Y,z) ：在三维空间中绘出由(X,Y,z)表示曲面；meshz(X,Y,z)：除了含有mesh功效外，还画出上下高度线，meshc(X,Y,z)：除了含有mesh功效外，还在曲面下方画出函数z=f(x,y)等值线图，surf(X,Y,z)：也是三维绘图指令，与mesh区别在于mesh绘出彩色线，surf绘出彩色面，运营exp2_1,观测效

27、果第59页第59页三维绘图（等值线指令）表现二维函数图形另一个方式是绘制等值线图。contour(X,Y,z,n)：n条等高线，n可缺省；contourf(X,Y,z,n)：等值线间用不同颜色填满，有更加好视觉效果； contour3(X,Y,z,n)：在三维空间画出等值线图colorbar：将颜色与函数值对应起来显示在图中。第60页第60页三维绘图（等值线指令，继续exp2_2显示效果）clf,contour(X,Y,z,40),colorbarcontourf(X,Y,z,40),colorbarcontour3(X,Y,z,40),colormap(0,0,0)为等值线标上函数值:可套用

28、下面程序格式. cs,h=contour(X,Y,z,15); clabel(cs,h,labelspacing,244)labelspace是数值标识之间相隔宽度，默认值为144, 这里取了244，第61页第61页空间曲线和运动方向表现一条空间曲线能够用矢量函数表示为它速度矢量表现为曲线切矢量:第62页第62页空间曲线和运动方向表现很显然飞行曲线方程为： 第63页第63页绘制空间曲线（指令） plot3(x,y,z)：绘制三维空间曲线，使用办法和plot类似。quiver(X,Y,u,v)：绘制二维矢量，在坐标矩阵点X,Y处绘制矢量u,v, 其中u为矢量x坐标，v为矢量y 坐标，其维数不小于

29、2。quiver3（X,Y,Z,u,v,w）：绘制三维矢量，使用办法与quiver类似。Gradient： Fx,Fy,Fz=gradient(F)为函数F数值梯度第64页第64页绘制空间曲线（程序解说exp2_3）exp2_3.mclf,t=linspace(0,1.5,20);x=t.2;y=(2/3)*t.3;z=(6/4)*t.4-(1/3)*t.3; plot3(x,y,z,r.-,linewidth,1,markersize,10),hold on Vx=gradient(x);Vy=gradient(y);Vz=gradient(z);h=quiver3(x,y,z,Vx,Vy,

30、Vz),set(h,linewidth,1),grid on axis(0 1.5 0 1.5 0 40)xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)，box on运营程序第65页第65页特殊二维图形函数1、极坐标图：polar (theta,rho,s) 用角度theta（弧度表示）和极半径rho作极坐标图，用s指定线型。例解：theta=linspace(0,2*pi), rho=sin(2*theta).*cos(2*theta); polar(theta,rho,g) title(Polar plot of sin(2*theta).*cos(2*theta);第66页第

31、66页函数式直接拟定型模型 试验三第67页第67页从系统分析观点理解函数y = f（x） x：自变量，y：因变量，f： 映射规则函数不是枯燥数学符号函数是系统函数是数学模型是描述自然现象有力工具第68页第68页黑箱模型和经验函数白箱：映射规则f 已知；灰箱：映射规则f 部分已知；黑箱：映射规则f 未知。对于黑箱模型，只知道输入输出数据，需依据这些数据近似决定映射规则f 第69页第69页经验函数(机床加工问题）用程控铣床加工机翼断面下轮廓线时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小一步。表3-1给出了下轮廓线上部分数据但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位. 这时需求出当x坐标每改变0.1单位时

32、y坐标。试完毕加工所需数据，画出曲线.第70页第70页 航行区域警示线某海域上频繁地有各种吨位船只通过。为确保船只航行安全，相关机构在低潮时对水深进行了测量,表3-8是他们提供测量数据：表3-8. 水道水深测量数据x129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5z 4 8 6 8 6 8 8x157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5y-6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5z 9 9 8 8 9 4 9第71页第71

33、页航行区域警示线其中（x, y）为测量点，z为（x, y）处水深(英尺)。船吨位能够用其吃水深度来反应，分为 4英尺、4.5英尺、5英尺和 5.5英尺 4 档。 航运部门要在矩形海域（75，200）（50，150）上为不同吨位航船设置警示标识。请依据测量数据描述该海域地貌，并绘制不同吨位警示线，供航运部门使用。水深z是区域坐标（x, y）函数z= z (x, y），测量数据只是它部分取值。可绘制函数图象和等值线图，将不同吃水线标识图上第72页第72页插值与拟合（基本原理和区别）已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1, n其中xj互不相同节点(xj, yj)可当作由某个函数 y= f

34、（x）产生f 解析表示式也许十分复杂或不存在封闭形式, 也能够是未知第73页第73页插值与拟合（基本原理和区别）插值：结构一个相对简朴函数 y=g(x)使g通过所有节点即使g (xj) = yj，j=0,1, n 用g (x)作为函数f ( x )近似。插值指令 yi=interp1(x1,y1,xi,method)相应于插值函数yi=g(xi)其中x1,y1为节点向量 method四个选项：nearest 为近邻插值；linear为线性插值；spline 为样条插值； cubic为立方函数插值。第74页第74页插值与拟合（基本原理和区别）多项式拟合对给定数据（xj,yj），j = 0,1,

35、n选取适当阶数多项式(也可采取其它形式函数)比如二次多项式g(x)=ax2+bx+c使g(x)尽也许迫近（拟合）这些数据拟合指令polyfit、polyval用p=polyfit(x1,y1,m)做 m 次多项式拟合拟合数据向量为x1,y1多项式系数为p=p(1),p (m),p (m+1)即g(x)=p(1)xm+p (m)x+p (m+1)用y = polyval(p,x)计算在x 处 多项式值 y第75页第75页例某乡镇公司1990-1996年生产利润下列表：年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996利润（万元） 70 122 144 152 174 19

36、6 202试预测1997年和1998年利润。第76页第76页观测插值、拟合效果运行观测程序exp3_1.m选取一个已知函数作为参考，并将这一函数图象用虚线显示在图中。观测程序允许用鼠标选取节点按鼠标左键选点，按右键选最终一个点观测不同选点方式对各种插值和拟合效果影响第77页第77页程序注解（inline指令）定义内联函数：inline指令g=inline(x2-x4); 程序第78页第78页程序注解（ginput） x,y,button = ginput(n) 用鼠标在屏幕选n个点，返回这n个点，存于x,y中。button 统计了选点时使用鼠标键方式：1为左键、2为中间键、 3为右键。第79页

37、第79页程序注解（插值拟合）xx=linspace(a,b,n); %定义自变量xxynearest=interp1(x1,y1,xx,nearest); ylinear=interp1(x1,y1,xx,linear); yspline=interp1(x1,y1,xx,spline); p,c=polyfit(x1,y1,4); ypolyfit=polyval(p,xx); 第80页第80页程序注解（插值拟合）subplot(2,2,1),h=plot(xx,ynearest,r-);set(h,linewidth,2) subplot(2,2,2),h=plot(xx,ylinear,

38、r-);set(h,linewidth,2);subplot(2,2,3),h=plot(xx,yspline,r-);set(h,linewidth,2) subplot(2,2,4),h=plot(xx,ypolyfit,r-);set(h,linewidth,2)第81页第81页插值拟合效果观测沿曲线选取个节点，保持等间隔。当节点较少时，插值效果如何？加密节点，共个等距节点，观测插值效果，假如去掉中间一个节点，插值效果又会如何？故意偏离本来曲线，假如误差较大，将会如何呢？第82页第82页 微分、积分和微分方程试验四第83页第83页符号微积分用Matlab符号工具箱（Symbolic To

39、olbox）能够进行符号演算第84页第84页符号微积分(创建符号变量） sym var 创建单个符号变量； syms var1 var2 创建多个符号变量；f=sym(符号表示式) 创建符号表示式，赋予f； equ=sym(equation) 创建符号方程 。第85页第85页符号微积分(极限）limit(表示式,var,a)：求当var a，表示式极限例：求极限：syms x a I1=limit(sin(x)-sin(3*x)/sin(x),x,0)运营结果第86页第86页问题：老张在银行存入1000元，复利率为每年10，分别以按年结算和按连续复利结算两种方式计算后老张在银行存款额。(注：按复利计算，若每年结算m次，则每个结算周期复利率为rm，r为年利润)。 第87页第87页分析：令 表示n年后存款额， 表示年利率，