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1、第五节 微积分实际应用举例一、微元法三、平均值与均方根二、定积分在物理上应用四、简朴数学模型和求解五、小 结重点：求功、压力、引力第1页第1页1、面积表示为定积分环节（3） 求和，得A近似值一、微元法第2页第2页abxyo（4） 求极限，得A准确值提醒面积元素第3页第3页第4页第4页2、微元法环节第5页第5页这个办法通常叫做微元法或元素法应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等定积分物理意义：非均匀线形物体质量第6页第6页解例 1推广第7页第7页解法二第8页第8页解体积元素为例 2第9页第9页二、定积分在物理上应用2、变力沿直线所作功3、水压力4、引力1、质量第1

2、0页第10页 0 6 x图7.5.1解例 3二、定积分在物理上应用1、质量第11页第11页2、变力沿直线所作功第12页第12页点击图片任意处播放暂停解建立坐标系如图例 4第13页第13页这一薄层水重力为功元素为(千焦)第14页第14页解 建立坐标系第一次锤击时所作功为例5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉阻力与铁钉进入木板深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？设 次击入总深度为 厘米次锤击所作总功为第15页第15页依题意知，每次锤击所作功相等次击入总深度为第 次击入深度为第16页第16页3、水压力第17页第17页解在端面建立坐标

3、系如图例 6第18页第18页第19页第19页xy解 建立坐标系如图任取y例 7x第20页第20页4、引力第21页第21页解 建立坐标系如图将典型小段近似当作质点小段质量为例8第22页第22页小段与质点距离为引力水平方向分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为第23页第23页函数 在区间 上平均值为几何平均值公式区间长度三、平均值与均方根第24页第24页解设电阻为，则电路中电压为功率一个周期区间平均功率例 10第25页第25页结论：纯电阻电路中正弦交流电平均功率等于电流、电压峰值乘积二分之一第26页第26页 通常交流电器上标明功率就是平均功率交流电器上标明电流值都是一个特定平均值，习惯上称为有效

4、值第27页第27页按定义有有效值计算公式推导即第28页第28页结论：正弦交流电有效值等于电流峰值第29页第29页四、简朴数学模型和求解第30页第30页解例 10Malthus人口模型第31页第31页例 11Logistic人口模型第32页第32页第33页第33页利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关物理知识）五、小结第34页第34页函数平均值函数有效值（理解平均功率、电流有效值等概念）第35页第35页 作 业P345: 2, 4, 5, 6, 10, 12, 16. P330: 6, 7(4)第36页第36页练习有二分之一径为四分之一圆周，线密度为r均匀细丝，在其圆心处有一质量为m质点，计算该细丝对质点引力解 建立坐标系如图质量

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