力学竞赛之拉格朗日方程市公开课获奖课件

1、第一章分析力学基础第1页第1页 18世纪提出了处理多个约束刚体系统动力学问题。 利用矢量力学分析出现下列问题： 对于复杂约束系统约束力性质和分布是未知； 表述形式复杂。如球坐标系下运动方程。 质点系问题为大量方程微分方程组。 1788年拉格朗日发表了分析力学一书，提出了处理动力学问题新观点和新办法：采用功和能量来描述物体运动和互相作用力之间关系。第2页第2页与矢量力学相比，分析力学特点： （3）追求普通理论和普通模型，对于详细问题，只要代入和展开 工作，处理问题规范化。（1）把约束当作对系统位置（速度）限定，而不是当作一个力。 （2）使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学 分析办

2、法，得到标量方程。（4）不但研究取得运动微分方程办法，也研究其求解普通方 法。第3页第3页 在完整约束条件下，拟定质点系位置独立参数数目，称为质点系自由度数，简称自由度。 11 自由度和广义坐标 例：拟定一个质点在空间位置需3个独立参量 自由质点为3个自由度。例：质点M 被限定只能在球面上半部分运动由此解出第4页第4页这样该质点在空间中位置就由x,y这两个独立参数所拟定它自由度数为2。 n个质点构成质点系，若受到s个完整约束作用自由度数为 N=3n-s描述质点系在空间中位置独立参数称为广义坐标。对于完整约束广义坐标数目系统自由度数思考：非完整约束，广义坐标数目和系统自由度数目的关系？第5页第5

3、页拉格朗日广义坐标 约束方程为 系统N个独立坐标参量表示为系统n个坐标参量 设由n个质点构成系统受s个完整双侧约束 其中为广义坐标 变分称为广义虚位移。 第6页第6页例：一单摆在空间摆动，摆长为l。 约束方程为 自由度数为2。 x，y为独立变量 （单摆在xy面上投影与x轴夹角）为独立变量。 第7页第7页思考：导弹在追踪飞机情况下，广义坐标数目和自由度数目的关系如何？描述导弹位置：质心位置导弹纵轴和x 轴夹角独立广义坐标数目为3 约束方程 导弹速度方向要对准飞机质心 非完整约束 独立虚位移数目自由度数目2 第8页第8页设作用在第i个质点上积极力合力 在三个坐标轴上投影分别为 虚功方程 12 以广

4、义坐标表示质点系平衡条件 1.以广义坐标表示质点系平衡条件第9页第9页称为与广义坐标 相相应广义力 。 由于广义坐标独立性 可认为任一值 如令 质点系平衡条件是系统所有广义力都等于零。 用广义坐标表示质点系平衡条件 第10页第10页求广义力两种办法 1.直接计算法（解析法） 2.几何法 令某一个 不等于零 而其它N-1个广义虚位移都等于零 利用广义虚位移任意性， 第11页第11页例11已知：杆OA和AB以铰链相连， O端悬挂于圆柱铰链上， 杆长OA=a AB=b，杆重和铰链摩擦都忽略不计。今在点A和B分别作用向下铅锤力 和又在点B作用一水平力试求：平衡时 与 ， ， 之间关系。 第12页第12

5、页系统有两个自由度。 现选择 和 为系统两个广义坐标 计算其相应广义力 和用第一个办法计算广义力：解：第13页第13页故系统平衡时应有 第14页第14页用第二种办法计算： 保持 不变， 只有 时则相应于 广义力为 可得一组虚位移 第15页第15页保持 不变， 只有 时可得另一组虚位移 相应于 广义力 第16页第16页例 12已知：重物A和B分别连接在细绳两端，重物A放置在粗 糙水平面上。重物B绕过定滑轮E铅直悬挂。 在动滑轮H轴心上挂一重物C。 设重物A重量为重物B重量为，不计动滑轮H重量。试求：平衡时重物C重量 ；以及重物A与水平面间静滑动摩擦因数。 第17页第17页系统含有两个自由度。广义

6、坐标： 首先令 向右， 积极力所做虚功和为 相应广义坐标 广义力为 解：第18页第18页由于系统平衡时应有 因此平衡时,要求物块与台面间静摩擦因数 再令 向下， 第19页第19页2.以广义坐标表示保守系统平衡条件及系统稳定性 假如作用在质点系上积极力都是有势力，势能为各力投影为 虚功为 虚位移原理表示式成为 第20页第20页 在势力场中，含有抱负约束质点系平衡条件为质点 系势能在平衡位置处一阶变分为零。假如用广义坐标 表示质点系位置。 则质点系势能能够写成广义坐标函数 第21页第21页由广义坐标表示平衡条件可写成下列形式 在势力场中含有抱负约束质点系平衡条件是势能 对于每个广义坐标偏导数分别等

7、于零。不稳定平衡：在平衡位置上系统势能含有极大值。随遇平衡：系统在某位置附近其势能是不变。 稳定平衡：在平衡位置处系统势能含有极小值。第22页第22页对于一个自由度系统，系统含有一个广义坐标q，因此系统势能能够表示为q一元函数即当系统平衡时，在平衡位置处有假如系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处系统势能含有极小值。即系统势能对广义坐标二阶导数不小于零 一个自由度系统平衡稳定性判据第23页第23页例 13已知：如图所表示一倒置摆，摆锤重量为 ，摆杆长度为l，在摆杆上点A连有一刚度为k水平弹簧，摆在铅直位置时弹簧未变形。设OA=a摆杆重量不计。试求：摆杆平衡位置及稳定平衡时所应满足条件。第24页第

8、24页解：该系统是一个自由度系统，选择摆角 为广义坐标。 摆铅直位置为摆锤重力势能和弹簧弹性势能零点。系统总势能为由有由得到系统平衡位置为第25页第25页对于稳定平衡要求即第26页第26页 13 动力学普遍方程n个质点构成系统第i个质点 , ， ， ， 。惯性力为抱负约束作用 在抱负约束条件下，质点系在任一瞬时所受积极力系和虚加惯性力系在虚位移上所作功和等于零。第27页第27页 写成解析表示式动力学普遍方程尤其适合于求解非自由质点系动力学问题。第28页第28页例 14已知：滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为 重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为 重物。设滑轮和绳子重量以及轮轴摩 擦都忽略不计。求：

9、质量为 物体下降加速度。第29页第29页解：取整个滑轮系统为研究对象。由动力学普遍方程第30页第30页例 15已知：两相同均质圆轮半径皆为R，质量皆为m。求：当细绳直线部分为铅垂时，轮II中心C 加速度。第31页第31页解：研究整个系统。此系统含有两个自由度取转角 为广义坐标令则点C 下降动力学普遍方程（a）第32页第32页令则代入动力学普遍方程或（b）运动学关系（c）联立式（a）（b）（c）解出第33页第33页 14 第二类拉格朗日方程 设由n质点构成系统受s个完整约束作用，系统含有N=3n-s个自由度。设 为系统一组广义坐标第34页第34页对于完整约束系统，其广义坐标是互相独立。故 是任意

10、，为使上式恒成立，必须有广义惯性力上式不便于直接应用，为此可作下列变换：（1）证实：第35页第35页注意 和 只是广义坐标和时间函数（2）证实：第36页第36页对时间求微分而若函数 一阶和二阶偏导数连续第37页第37页第38页第38页得到第二类拉格朗日方程 拉格朗日方程方程式数目等于质点系自由度数。假如作用在质点系上积极力都是有势力（保守力）第39页第39页于是拉格朗日方程能够写成引入拉格朗日函数（又称为动势）则拉格朗日方程又能够写成第40页第40页例 16已知：轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上。A，B两轮皆为均质圆盘，质量为 物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A，半径为R，质量为 ，弹

11、簧刚度为k，质量不计。试求：当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧条件下， 此系统运动微分方程。第41页第41页解：此系统含有一个自由度，以物块平衡位置为原点。取x为广义坐标。以平衡位置为重力零势能点。取弹簧原长处为弹性力零势能点。系统在任意位置x处势能为其中 为平衡位置处弹簧伸长量此系统动能为第42页第42页系统动势为代入拉格朗日方程得注意到则系统运动微分方程为第43页第43页例 17试求：此系统运动微分方程。已知：运动系统中，可沿光滑，两个物体重物 质量为摆锤 质量为水平面移动。用无重杆连接，杆长为l。第44页第44页解：选 和 为广义坐标（a）将式（a）两端对时间求导数（b）系统动能第45页第45页则系统势能为选质点 在最低处时位置为系统零势能位置由此得第46页第46页把以上结果代入拉格朗日方程中第47页第47页假如质点 摆动很小，能够近似地认为且能够忽略含 和