高中数学必修五《等比数列前n项和》教案

1、等比数列的前 n 项和教案一、教学目的1、懂得等比数列的前n 项和公式的推导方法；把握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简洁问题2、通过公式的推导过程,提高同学的建模意识及探究问题、分析与解决问题的才能,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类争论思想及转化思想,优化思维品质3、通过经受对公式的探究,激发同学的求知欲,勉励同学大胆尝试、勇于探究、敢于 创新,磨练思维品质,从中获得胜利的体验,感受思维的奇特美、结构的对称美、形式的简 洁美、数学的严谨美二、教学重点、难点、关键 教学重点：等比数列的前 n 项和公式的推导及其简洁应用教学难点：等比数列的前 n 项和公式

2、的推导；教学关键：推导等比数列的前n 项和公式的关键是通过情境的创设,发觉错位相减求和法；应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系,建立等比数列模型,运用公式解 决问题；三、教具、学具预备 多媒体课件；运用多媒体教学手段,增大教学容量和直观性,提高教学效率和质量；四、教学方法 数学是一门培育和进展人的思维的重要学科,因此在教学中不仅要让同学“ 知其然” ,仍要“ 知其所以然” ,为了表达以同学进展为本,遵循同学的认知规律,表达循序渐进和启 发式教学原就,我进行这样的教学设计：在老师的引导下,创设情形,通过开放式问题的设 置来启示同学进行摸索,在摸索中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和

3、思想,使之获 得内心感受；本节课将采纳“ 多媒体优化组合勉励发觉” 式教学模式进行教学；该模式能够将教 学过程中的各要素,如老师、同学、教材、教法等进行积极的整合,使其融为一体,制造最 佳的教学氛围；主要包括启示式讲解、互动式争论、争论式探究、反馈式评判；五、学法指导“ 授人以鱼,不如授人以渔” ；教是为了不教,教给同学好的学习方法,让他们会学 习,并善于用数学思维去分析问题和解决问题,受益终身；依据二期课改的精神,转变同学的学习方式也是本次课改的重要内容,数学作为基础教 育的核心学科之一,转变同学的数学学习方式,变同学被动接受式学习为主动参加式学习,不仅有利于提高同学的整体数学素养,也有利于

4、促进同学整体学习方式的转变；在课堂结构 上我依据同学的认知层次,设计了创设情形观看归纳争论争论即时训练总 结反思任务连续,六个层次的学法,他们环环相扣,层层深化,从而顺当完成教学目 的；自主探究、观看发觉、类比猜想、合作沟通；抓住同学情感和思维的兴奋点,激发他们 的爱好,勉励同学大胆猜想、积极探究,准时地给以勉励,使他们知难而进；同时从同学原 有的认知水平和所需的学问特点入手,老师在同学主体下赐予适当的提示和指导；引导同学 理论联系实际,抽象出数量关系,建立数学模型,获得解决问题的方法,帮忙同学培育勇于 探究、不断创新的思维品质；六、教学过程 1、复习回忆,引旧导新a nq n2,ana 1q

5、n1；（1）等比数列an的定义及通项公式a n1（2）等比中项：假如a,b,c成等比,就bac ；（3）等比数列an的一些结论：anamqnmpqmn 时,就apaqaman2、创设情境,提出问题 在古印度,有个名叫西萨的人,创造了国际象棋,当时的印度国王大为称赞,对他 说：我可以满意你的任何要求西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒小麦,其次格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格国王令宫廷 数学家运算,结果出来后,国王大吃一惊为什么呢？师：同学们,你能说明这是为什么吗？本节课我们争论等比数列前 n 项和,通过学 习,我们就可以很简洁说明这

6、个问题了； （板书课题）2.5 等比数列的前 n 项和一般地,等比数列的前n 项和用ns表示,即：a ；s na 1a2设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发同学的爱好,调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点；此时我再问：同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导同学写出麦粒总数1+ 2+ 2 + 2 +2 63；带着这样的问题,同学会动手算了起来,他们想到用运算器依次算出各项的值,然后再求和这时我对他们的这种思路赐予确定设计意图：在实际教学中,由于受课堂时间限制,老师舍不得花时间让同学去做所谓的“ 无用功 ” ,急赶忙忙地抛出 “ 错位相减法 ” ,这样做有悖同学的认知规

7、律：求和就想到相加,这是合乎规律顺理成章的事,老师为什么不相加而立刻相减呢？在整个教学关键处同学难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营造学问形成过程的氛围,突破同学学习的障碍同时,形成繁难的情境激起了同学的求知欲,迫使同学急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔；3、师生互动,探究问题在确定他们的思路后,我接着问：1+2 +2 +2 +2 是什么数列？有何特点？应归结为什么数学问题呢？探讨 1：设 1+ 2 + 2 + 2 + +2 ,记为（ 1）式,留意观看每一项的特点,有何联系？（同学会发觉,后一项都是前一项的 2 倍）探讨 2：假如我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,（1

8、）式两边同乘以 2 就有s 64 = 2 + 2 + 2 + + 2 63 + 2 64,记为（ 2）式比较（ 1）2 ）两式,你有什么发觉？设计意图：留出时间让同学充分地比较,等比数列前n 项和的公式推导关键是变 “ 加”为“ 减 ” ,在老师看来这是 “天经地义 ” 的,但在同学看来却是“ 不行思议 ” 的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培育同学的辩证思维才能的良好契机；经过比较、争论,同学发觉：（1）、（ 2）两式有很多相同的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到：s 642 641；老师指出：这就是错位相减法,并要求同学纵观老师推导全过程；师：为什么（ 1）式两边要同乘以 2

9、呢？生：乘以 2 后使得（ 1）式与（ 2）式显现相同的项,从而可以实现两式相减,消去相同的项；设计意图：经过繁难的运算之苦后,突然发觉上述解法,不禁惊呼：真是太简洁了！让同学在探究过程中,充分感受到胜利的情感体验,从而增强学习数学的爱好和学好数学的 信心；4、类比联想,解决问题 这时我再顺势引导同学将结论一般化,设等比数列 a n ,首项为 1a,公比为 q ,如何求 前 n 项和 ns呢？在此让同学自主完成,并叫一名同学上黑板,然后对每个同学在自觉争论时 遇到的难题进行指导点拔；设计意图：在老师的指导下,让同学从特殊到一般,从已知到未知,步步深化,让学 生自己探究公式,从而体验到学习的开心

10、和成就感；nn s = a - a q 在同学推导完成后,我再问：由 1- qs = a - a q 得 1- q,对不对呢？这里 的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为 1？q=1 时是什么数列？此时 ns .（这里引 导同学对 q 进行分类争论,得出公式,同时为后面的例题教学打下基础）Sna1 1qnq1ana 1qn1,如何把ns用a 、a 、 q 表示出来？1q即：na 1q1再次追问：结合等比数列的通项公式（引导同学得出公式的另一形式）即：S na 1a qq11qna 1q1设计意图：通过反问精讲,一方面使同学加深对学问的熟悉,完善学问结构,另一方 面使同学由简洁地仿照和

11、接受,变为对学问的主动熟悉,从而进一步提高分析、类比和综合 的才能这一环节特别重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之 妙用；5、争论沟通,延长拓展在此基础上,我提出：探究等比数列前n 项和公式,仍有其它方法吗？方法二：我们知道, s = a + a q + a q + a qn-1= a + qa + a q+ a qn-2；那么我们能否利用这个关系而求出ns呢？即：提取公比 q,有：S na 1a q 1a q 12a q 1n2a q 1n1=a 3=a 4=a n= q,能否联想到等比定理从a 1q a 1a qa qn2）a1q（S na 1qn1） 1qSna1

12、a1 qnS na 11qnq11qa 2na 1q1方法三：依据等比数列的定义又有a 1a 2a 3a n-1而求出ns呢？即：利用等比定理a 2a3a4an1qa 1a 1a2a3ana 2a 3anqS na 1a 2an1S nan 1qS nq1a1anqa 1a q nS n1qna 1q1设计意图：以疑导思,激发同学的探究欲望,营造一个让同学主动观看、摸索、争论的氛围 . 以上两种方法都可以化归到s na 1qs n1, 这其实就是关于ns的一个递推式,递推数列有特别重要的争论价值,是争论性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本,又高于课本,对同学的思维进展有促进作用；6、例题讲解

13、,形成技能例 1、口答以下各题：1 求等比数列1,1 1 1 , ,2 4 8,的前 10 项的和；2 已知等比数列an中,a 12,q3,求3s；3 请利用第 2 题的数据,自己编题,改求 自己拟题能巩固和深化所学的学问 1 10s 10 11 2 10231 1 512生： 口答 （1）2s 3 21 3 326（2）1 33 生甲：已知： q=3,s 3 26求 1a3解：s 3 a 1 1 3 1 3 26,a 1 2；生乙：已知：a 1 2,s 3 26；求 q；1a或求 q,并求解解：s 3213 q26,q2q120q3 或q=-4 ；1q例 2、已知an为等比数列,且nsa ,

14、s 2nb ,ab 0 ,求s ；师：要求s 3n,需知a ,q,而已知条件为ns和s 能否进一步挖掘题目的条件,使已知和未知沟通起来？生甲：s na 11qna1qn 11 31qs 2 na 11q2na11qnb 21q1q（1）式除以（ 2）式得：1qnbqnba ,即a将（3）式代入（ 1）式得：aa 11b1a 12 aa1q,就1q2 ab ,s 3 na 11q3na2b1b3 1 1q2 aa以下再化简即可师：这位同学处理问题很奇妙他没有分别求得a 与 q 的值,而改为求n q 与a 11q的值,这样使问题变得简洁些,请问同学们,这样解这个题目是否有问题呢？生乙：我认为第（

15、1）式就有问题,他附加了条件 q 1,而对 q 1 情形没有考虑师：对！使用等比数列前 n 项和公式时,要特殊留意适用条件,即 q 1 时,nsna ；q1时,s na 11n qa 1a q；1q1q 含字母已知数的等比数列求和题目,同学常忽视 培育同学思维的严密性 同学演算习题,老师投影出正确答案 q=1 情形,要引起足够重视,以解 ： 设 数 列 的 公 比 为q； 如 q 1 此 时 数 列 为 常 数 列 , 就 ns na 1 a ,s 2 n 2 na 1 b ,此时,2a b,就 s 3 n 3 na 1 3 或 s 3 n 32 b ；如 q 1,即2a b,就由已知s n

16、a 11 q n a 11 q2 ns 2 n a 1 1 q b 21 q2 n又由于 ab 0,所以由（ 2）式除以（ 1）式得：11 qq n ba ,即 1 q n ba ,所以n bq 1 3a2a 1 a an将（1）式式变形后代入（ 3）式得：1 q 1 q 2 a b ,于是数列的前 3n 项的3 n 2 2 2s 3 n a 1 1 q a 1 b 1 3x a ab b .和为：1 q 2 a b a a师： 小结 这节课我们从已有的学问动身,用多种方法 迭加法、运用等比性质、错位相减法 推导出了等比数列的前S n如已知a ,n,q,就挑选a 11qnq11qna 1q1已

17、知 a1,q,an,就挑选n 项和公式,并在应用中加深了对公式的熟悉S na 1a qq11qna 1q1s n对含字母的题目一般要分别考虑nq=1 和 q 1 两种情形,不能附加条件,统一按a 1a qa 11qn1和前 n 项和公式s na 1a qa 11qn中,从1q1q去解题；小结：等比数列的通项公式a na q1q1qa q n a n,s 这五个量中,只要知道任意三个量,均可求得其余两个量；7、加强练习,深化熟悉（1）求11,21, 31, 41, 51的前 n 项和2 个正方形 ,2481632（2）求1,2,3,4,52481632的前 n 项和（3）求数列1aa2a3an1

18、a0 的前 n 项和；（4）画一个边长为2cm的正方形 , 再将这个正方形各边的中点相连得到第依此类推 , 这样一共画了 10 个正方形 , 求这 10 个正方形的面积的和；8、总结归纳,加深懂得以问题的形式显现,引导同学回忆公式、推导方法,勉励同学积极回答,然后老师再从知识点及数学思想方法方面总结： 1 等比数列的前 n 项和公式 2 公式的推导方法错位相减法 3 求和思路构造常数列或部分常数列；通过师生的共同小结,发挥同学的主体作用,有利于同学巩固所学学问,也能培育学生的归纳和概括才能；进一步完成认知目标和素养目标；设计意图：以此培育同学的口头表达才能,归纳概括才能；9、故事终止,首尾呼应 最终我们回到故事中的问题,我们可以运算出国王奖赏的小麦约为 1.84 10 19粒,大约7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10 米、厚 8 米的大道,大约是全世界一年粮食产量的 459 倍,明显国王兑现不了他的承诺；设计意图：把引入课题时的悬念