高中数学必修知识点及其配套习题

1、高中数学必修 4 学问点 正角 : 按逆时针方向旋转形成的角 1,任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角 零角 : 不作任何旋转形成的角 2,角 的顶点与原点重合,角的始边与 限,就称 为第几象限角 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象 第一象限角的集合为 k 360 ok 360 o 90 o , k o o o o其次象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k o o o o第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k o o o o第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k o终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,

2、 k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 o 90 o , k o终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k o3,与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k 4,已知 是第几象限角, 确定 n *所在象限的方法： 先把各象限均分 n 等 n份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一,二,三,四,就 原先 是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域 n5,长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 l6,半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ,就角 的弧度数的确定值是 ro7,弧度制与角度制的换算公式： 2 360 , 1 o o, 1 180 o180 8,如扇形的

3、圆心角为 为弧度制 ,半径为 ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S , 1 1 2就 l r, C 2r l, S lr r 2 29,设 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 的坐标是 x, y ,它与原点 的距离是 rr x 2 y 2 0 ,就 sin r y , cos x , tan r y x x 0 精选文档,供参考！ 第 1 页,共 15 页10,三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正 11,三角函数线： sin , cos 2, tan 1 y P T x 12,同角三角函数的基本关系： 2 1 sin 2 cos

4、2 sin 2 1 cos 2 ,cos 2 1 sin ； sin tan O MA cos sin tan cos ,cos sin tan 13,三角函数的诱导公式： 1 sin 2k sin , cos 2k cos , tan 2k tan k 2 sin sin , cos cos , tan tan 3 sin sin , cos cos , tan tan 4 sin sin , cos cos , tan tan 口诀：函数名称不变,符号看象限 5 sin 2cos , cos 2sin 6 sin 2cos , cos 2sin 口诀：正弦与余弦互换,符号看象限 14函数

5、y A sin x B（其中 A 0, 0） 2,频率是 f 2,相位是 x , 最大值是 A B ,最小值是 B A ,周期是 T 初相是 ；其图象的对称轴是直线 x k 2k Z ,凡是该图象与直线 y B 的交点都是该图象的对称中心； yAsinx B 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑： A 的确定：依据图象的最高点和最低点,即 最高点最低点 A 2； B 的确定：依据图象的最高点和最低点,即 的确定：结合图象,先求出周期,然后由 的确定：把图像上的点的坐标带入解析式 最高点最低点 B ； 22 T 0来确定 ； y Asinx B,然后依据 的范畴确定 精选文档,供参考

6、！ 第 2 页,共 15 页 即可,例如由函 y Asinx K 最开头与 x 轴的交点 最靠近原点 的横坐标为 数 令 x 0,x 确定 . 即 15. 三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 向左 0 或向右 0 y sin x 的图象 平移 个单位长度 横坐标伸长 0 1 得 y sin x 的图象 到原先的 1 纵坐标不变 纵坐标伸长 A 1 或缩短 0 A1 得 y sin x 的图象 为原先的 A倍 横坐标不 变 得 y A sin x 的图象 向上 k 0 或向下 k 0 平移 k 个单位长度 得 y Asin x k 的图象 先伸缩后平移 y sin x 的图象 纵坐标伸长 A 1

7、或缩短 0 A 1 为原先的 A 倍 横坐标不变 得 y 得 y Asin x 的图象 横坐标伸长 0 1 或缩短 1 A sin x k 的图象 到原先的 1 纵坐标不变 得 y A sin x 的图象 向左 0或向右 0 平移 个单位 A sin x x 的图象 向上 k 0 或向下k 0 平移 k 个单位长度 得 y 16由 yAsin x 的图象求其函数式： 给出图象确定解析式 y=Asin （x+ ）的题型,有时从查找“五点”中的第一 零点（ ,0）作为突破口,要从图象的升降情形找准第一个零点的位置； 17求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“ y A sin x , y

8、A cos x ”的形式,在利用 周期公式,另外仍有图像法和定义法； 函数 yAsin x 和 yAcos x 的最小正周期为 2 , | | ytan x 的最小正周期为 . | | 15,正弦函数,余弦函数和正切函数的图象与性质： 性 质 函 数 y sin x y cosx y tanx 第 3 页,共 15 页精选文档,供参考！ 图 象 定 义 RRx x k 2,k 域 值 1,1 1,1 R域 当 x 2k 2k 当 x 2k k 时 , 既无最大值也无最小 ； 当 最 时 , ymax 1值 x 2k 21 ymax 1；当 x 2k 1 值 k 时, y min k 时, ym

9、in 周 22期 性 奇 奇函数 偶函数 奇函数 偶 性 在 2 k 2, 2k 2在 2k ,2 k k 单 k 上是增函数； 在 上 是 增 函 数 ； 在 在 k 2, k 2调 性 2k 2, 2k 32k ,2 k k 上是增函数 2k 上是减函数 称 中 心 k 上是减函数 对 对 称 中 心 对 称 中 心 对 称 k ,0 k 第 4 页,共 15 页精选文档,供参考！ 性 对 k 2称 轴 k 2,0 k k k ,0 k 2x k 对称轴 x k 无对称轴 16,向量：既有大小,又有方向的量 数量：只有大小,没有方向的量 有向线段的三要素：起点,方向,长度 零向量：长度为

10、0 的向量 单位向量：长度等于 1 个单位的向量 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的 非零 向量零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且 方向相同 的向 量 17,向量加法运算： 三角形法就的特点：首尾相连 平行四边形法就的特点：共起点 三角形不等式： ra r b ra r b ra r b r 运 算 性 质 ： 交 换 律 ： a r b r b ra ； 结 合 律 ： ra r b rc ra r b rc ； uuur uuur Cra r 0 r 0 r a r a C坐标运算：设 a rx1, y1 r, b x2 , y2 ,就 a rr b x1 x2 , y1 y

11、2 ra18,向量减法运算： r b 三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量 ra r b uuur C坐标运算：设 a rr x1, y1 , b r x2 , y2 ,就 a r b x1 x2 , y1 y2 设 , 两点的坐标分别为 uuur x1, y1 , x2 , y2 ,就 x1 x2 , y1 y2 19,向量数乘运算： 精选文档,供参考！ 第 5 页,共 15 页实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 r ra ra ra ； 当 0 时, a r的方向与 a 的方向相同；当 r 0 时, a r的方向与 a 的方向相反；r当 r0 时, r

12、a 0 运算律： ra a ； r ra ra a ； r ra b r ra b r 坐标运算：设 a r x, y ,就 a r x, y x, y 20,向量共线定理：向量 ra ra r0 与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数 r,使 b ra r设 ra x1 , y1 ,b rx2 , y2 ,其中 b r0 ,就当且仅当 rx1 y2 x2 y1 0 时,向量 a ,b r r rb 0 r共线 21,平面对量基本定理：假如 ur uur e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 r 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 1 , 2 ,使 a rur 1 e

13、1 uur 2 e2 ur uur（ 不共线 的向量 e1, e2作 为这一平面内全部向量的一组基底） 22,分点坐标公式： 设点 是线段 12 上的一点, 1 , 2 的坐标分别是 x1 , y1 , x2 , y2 , x x , y y 2 uuur 当 1uuur 2 时,点 的坐标是 1123,平面对量的数量积： a b r ra b cos r r ra rr0,b 0,0 r o180 o零向量与任一向量的数量积为 0 性质：设 a 和 b r r都是非零向量, 就 ra b r ra b r0 当 a 与 rb r同向时, a rb r ra b r； 当 a 与 b r r反

14、向时, ra b r ra b r； a ra rar 2 ra 2或 a r aa rr ra b ra b r r运算律： a b r rb ra ； r ra b rarb r ra b r； ra b r rc a c r r b c r r坐标运算：设两个非零向量 a rx1 , y1 , b rx2 , y2 ,就 a r b rx1 x2 y1 y2 如 ra x, y ,就 a r 2x 2y ,或 2 ra x 2 y 2 设 ra x1 , y1 , b rx2, y2 ,就 a r b rx1x2 y1 y2 0 设 a r, b都 是 非 零 向 量 , ra r x1

15、 , y1 , b rx2 , y2 , 是 ra 与 b 的 夹 r角 , 就 cos ra ba r rb rx1 2 x1x2 y1 2 y1 y2 x2 2y2 2 精选文档,供参考！ 第 6 页,共 15 页24,两角和与差的正弦,余弦和正切公式： cos cos cos sin sin ； cos cos cos sin sin ； sin sin cos cos sin ； sin sin cos cos sin ； tan tan tan （ tan tan tan 1 tan tan ）； 1 tan tan tan tan tan （ tan tan tan 1 tan t

16、an ） 1 tan tan 25,二倍角的正弦,余弦和正切公式： sin2 2sin cos 22 2cos 2 11 2sin （ 2 cos cos21, cos2 2 cos 2 sin 2sin21 cos2 ） 2sin ,其中 tan 2 tan2 2 tan 2 1 tan 26, sin cos 对于形如 y=asinx+bcosx 的三角式,可变形如下： y=asinx=bcosx a 2b sin x 22 a2 cosx 2 b2 ； 由 于 上 式 中 的 a b a ba b a ba 2 b 2 与 a 2 b 2 的平方和为 1,故可记 a 2 b 2 =cos

17、, a 2 b 2 =sin,就 y a 2 b 2 sin x cos cos x sin a 2 b 2 sinx ； 由 此 我 们 得 到 结 论 ： asinx+bcosx= a 2 b 2 sinx ,（ *） 其 中 由 a b2 2 cos , 2 2 sin 来确定； a b a b通常称式子（ * ）为帮忙角公式, 它可以将多个三角式的函数问题, 最终化为 y=Asin x +k 的形式； 精选文档,供参考！ 第 7 页,共 15 页正弦定理和余弦定理 1正弦定理： sin A a sin B b sin C c 2R,其中 R 是三角形外接圆的半径由正弦 定理可以变形为：

18、 1a b c sin A sin B sin C； 2a 2Rsin_A, b2Rsin_B,c2Rsin_C； a b c 3sin A 2R , sin B ,sin C 等形式,以解决不同的三角形问题 2R 2R 2 余弦定理： a2 b2 c2 2bccos_A, b2 a2 c2 2accos_B, c2 a2 b2 b2 c2a2 a2c2b22abcos_C余弦定理可以变形为： cos A 2bc ,cos B 2ac , cos C a2b2c2 2ab . 1 1 1 abc 1 3S ABC 2absinC 2bcsin A 2acsin B 4R2abc r R是三角形

19、外接圆 半径, r 是三角形内切圆的半径 ,并可由此运算 R,r. 4已知两边和其中一边的对角,解三角形时,留意解的情形如已知 a,b,A, 就 A 为锐角 A 为钝角或 直角 图形 关系 式 absin A absin A bsin Aab ab a b ab 解的 无解 一解 两解 一解 一解 无解 个数 一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角；大角的正弦值也较大,正弦值较大的角 也较大,即在ABC 中, AB. a b. sin Asin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题： 1已知两角及任一边,求其它边或 角； 2已知两边及一边的对角,求其它边或角情形 精选文档

20、,供参考！ 2中结果可能有一解,两 第 8 页,共 15 页解,无解,应留意区分余弦定理可解决两类问题： 边和其他两角； 2已知三边,求各角 两种途径 依据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径： 1已知两边及夹角求第三 1化边为角； 2化角为边,并常用正弦 余弦 定理实施边,角转换 双基自测 1在 ABC 中, A60, B 75, a 10,就 c 等于 A 5 2B10 210 6 C. 3D5 6解析 由 ABC180,知 C45, a c 由正弦定理得： sin Asin C , 即 10 3 c 2 .c 10 6 3 .答案 C 2 22在 ABC 中,如 a sin A co

21、s B b,就 B 的值为 A 30 B45 C60 D90 解析 由正弦定理知： sin A cos B sin A sin B ,sin Bcos B,B 45.答案 B 第 9 页,共 15 页3在 ABC 中, a 3,b1,c2,就 A 等于 A 30 B 45 C60 D75 b2c2a2 1 4 3 1解析 由余弦定理得： cos A 2bc 2 1 2 , 0A,A60.答案 C4在 ABC 中, a3 2,b 2 3,cos C 3 1,就 ABC 的面积为 A 3 3B2 3C4 3D. 31 22解析 cos C3 ,0C ,sinC 3, 1 1 22SABC2ab s

22、in C2 3 22 3 34 3. 精选文档,供参考！ 答案 C5已知 ABC 三边中意 a2 b2c2 3ab,就此三角形的最大内角为 解析 a b c 2 2 23ab, a2b 2ccos C 2ab 2 3 2, 故 C150为三角形的最大内角 答案 150 考向一 利用正弦定懂得三角形 【例 1】.在ABC 中, a 3,b 2, B 45.求角 A,C和边 c. 解 由正弦定理得 a b, 3 2, sin A sin B sin A sin 45 3sin A 2 . a b, A60或 A 120. 当 A60时, C 180 45 60 75, bsin C c sin B

23、 6 2； 2当 A120时, C1804512015, bsin C c sin B 6 2 . 21已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代 入求解即可 2已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要留意 争辩该角,这是解题的难点,应引起留意 ,tan A2,就 sin A【训练 1】在 ABC 中,如 b5,B4a. 解析 由于ABC 中, tan A2,所以 A 是锐角, 且 cos sin A 2, sin 2Acos 2A1, A 25 a b 联立解得 sin A 5,再由正弦定理得 sin Asin B , 代入数据解得 a2 10.答案 2

24、 5 5 2 10 考向二 利用余弦定懂得三角形 精选文档,供参考！ 第 10 页,共 15 页【例 2】.在ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B, C 的对边,且 cos C cos B b 2a c . 1求角 B 的大小； 2如 b 13,ac4,求 ABC 的面积 cos B b 审题视点 由cos 2a c ,利用余弦定理转化为边的关系求解 C a2c2 b2解 1由余弦定理知： cos B 2ac , a2b2c2cos C 2ab . 将上式代入 cos B b 得： cos C 2ac a2 c2b22ac 2 ab c 2ab 2 2 2a c b, 整理得： a2c2

25、b2 ac. cos B a2c2 b22ac 2ac 2.B 为三角形的内角, B3 . ac 1 22将 b 13,ac4, 2 代入 b2a2c22accos B3 B, 得 b 2a c 2 2ac 2accos B, 1 1 33 13162ac1 2, ac 3.S ABC2ac sin B 4 . 【训练 2】 已知 A,B,C 为ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b, c, 且 2cos2 A cos A 0. 21求角 A 的值； 2如 a2 3,bc4,求 ABC 的面积 解 1由 2cos2 A 2cos A0, 得 1cos Acos A0, 1 2 即 cos

26、 A 2 , 0 A, A . 2由余弦定理得, a2 b2c22bccos A, A 23 , 就 a2b c2 bc, 又 a2 3,bc4, 精选文档,供参考！ 第 11 页,共 15 页有 12 42bc,就 bc 4, 1故ABC2 bc sin A 3. 考向三 利用正,余弦定理判定三角形形状 【例 3】.在ABC 中,如 a2b2sinA Ba2b2sin C,试判定 ABC 的形 状 审题视点 第一边化角或角化边,再整理化简即可判定 解 由已知 a b 2 2sinABa 2 b 2sin C, 得 b2sinA Bsin C a 2sin CsinAB, 即 b 2sin A

27、cos Ba cos Asin B, 2即 sin2Bsin Acos Bsin 2Acos Bsin B,所以 sin 2B sin 2A, 由于 A,B 是三角形的内角 故 02A 2,02B故只可能 2A 2B 或 2A 2B, . 即 AB 或 AB2 故 ABC 为等腰三角形或直角三角形 判定三角形的形状的基本思想是；利用正,余弦定理进行边角的统 一即将条件化为只含角的三角函数关系式, 然后利用三角恒等变换得出内角之 间的关系式； 或将条件化为只含有边的关系式, 然后利用常见的化简变形得出三 边的关系 【训练 3】 在 ABC 中,如 cos A cos B cos C a b c

28、；就 ABC 是 A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 解析 由正弦定理得 a2Rsin A,b2Rsin B,c 2RsinCR 为ABC 外接圆半径 sin A sin B sin C cos A cos B cos C . 即 tan Atan Btan C,ABC. 答案 B 考向三 正,余弦定理的综合应用 【例 3】.在ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c 2, 精选文档,供参考！ 第 12 页,共 15 页 C 3. 1如ABC 的面积等于 3,求 a,b； 2如 sin CsinB A2sin 2A,求 ABC 的面积 解 1

29、由余弦定理及已知条件,得 a2b2ab4. 3,得 ab 4,联立方程组 又由于 ABC 的面积等于 1 3 ,所以 2absin C a2b2 ab4, 解得 a2, ab 4, b2. 2由题意,得 sinB AsinBA4sin Acos A, 即 sin Bcos A 2sin Acos A. 当 cos A0,即 A2 时, B , a 3 43, b 23 3； 当 cos A0 时,得 sin B2sin A, 由正弦定理,得 b 2a. 联立方程组 a2b2ab4, b2a, a,b,c,且 cos B4 5, 解得 a 3 23, 43 b 3. 所以 ABC 的面积 S1 2 a bsin C 2