2021-2022学年永州市重点中学数学高二第二学期期末考试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）A1B2CD2且，可进行如下“分解”：若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）A44B45C46D473已知：，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD4设是函数的导函数，则的值为（）ABCD

2、5设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1,f(2)=,则 ( )AaBa且a-1D-1a6某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为（ ）A7B6C5D47已知变量x，y之间的一组数据如表：由散点图可知变量x，y具有线性相关，则y与x的回归直线必经过点（）A（2，2.5）B（3，3）C（4，3.5）D（6，4.8）8若函数对任意都有成立，则（）ABCD与的大小不确定9将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位

3、长度，所得函数图像关于对称，则（ ）ABCD10推理“圆内接四边形的对角和为；等腰梯形是圆内接四边形；”中的小前提是（）ABCD和11如图，矩形的四个顶点依次为，记线段、以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为( )ABCD12下列说法正确的是（ ）A命题“”的否定是“”B命题“已知，若则或”是真命题C命题“若则函数只有一个零点”的逆命题为真命题D“在上恒成立”在上恒成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设向量，且，则的值为_14函数在点处切线方程为，则=_.15已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻

4、折过程中,得到如下有三个命题:平面，且的长度为定值；三棱锥的最大体积为；在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为_（写出所有正确结论的序号）16已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8.高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6.高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为_；侧面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，且曲线在点处的切线方程为（1）求实数的值及函数的最大值；（2）证明：对任意的.18（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式有实数解，求的取值范围.19（1

5、2分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是，不会出现平局（1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；（2）如果采用五局三胜制若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜，求甲获胜的概率20（12分）已知复数，其中i为虚数单位.（1）若复数z是实数，求实数m的值；（2）若复数z是纯虚数，求实数m的值.21（12分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.(1)求曲线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程。(2)当曲线与曲线有两个公共点时，求实数的取值范围.22（10分）在平面直角坐标系中

6、，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），两曲线相交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.【详解】，.故选D.【点睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.2、B【解析】探寻规律，利用等差数列求和进行判断【详解】由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，是从开始的第个奇

7、数，第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，故选【点睛】本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。3、A【解析】若恒成立,则的最小值大于,利用均值定理及“1”的代换求得的最小值,进而求解即可.【详解】由题,因为,所以,当且仅当,即,时等号成立,因为恒成立,则,即,解得,故选:A【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.4、C【解析】分析：求导，代值即可.详解：，则.故选：C.点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且

8、要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误5、D【解析】先利用函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）1代入即可求a的取值范围【详解】因为函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，所以f（2）=f（-1）=-f（1）又因为f（1）1，故f（2）-1，即-10解可得-1a故选：D【点睛】本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法，属于基础题6、D【解析】计算，根据题意得到，设，判断数列单调递减，又，得到答案.【详解】因为，且，所以，即每个零件合格的概率为

9、.合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.合格零件个数为零个或一个的概率为，由，得 ， 令.因为，所以单调递减，又因为，所以不等式的解集为.【点睛】本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7、C【解析】计算出，结合回归直线方程经过样本中心点，得出正确选项.【详解】本题主要考查线性回归方程的特征，回归直线经过样本中心点.，故选C【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查平均数的计算，属于基础题.8、A【解析】构造函数，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln3）与g（ln5）的大小关系，整理即可得到答案【详解】解：

10、令，则，因为对任意都有，所以，即在R上单调递增，又，所以，即，即，故选：A【点睛】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，属中档题.9、B【解析】运用三角函数的图像变换，可得，再由余弦函数的对称性，可得，计算可得所求值.【详解】函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），则可得，再把得到的图像向左平移个单位长度，则可得，因为所得函数图像关于对称，所以，即，解得：，所以：故选： B【点睛】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.10、B【解析】由演绎推理三段论可知, 是大前提；是小前

11、提；是结论【详解】由演绎推理三段论可知, 是大前提；是小前提；是结论，故选B【点睛】本题主要考查演绎推理的一般模式11、D【解析】分析：利用定积分的几何意义求出阴影部分的面积，由几何概型的概率公式，即可得结果.详解：阴影部分的面积是，矩形的面积是，点落在区域内的概率，故选D.点睛：本题主要考查定积分的几何意义以及几何概型概率公式，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可

12、以用两曲线差的定积分来求解.12、B【解析】A注意修改量词并否定结论，由此判断真假；B写出逆否命题并判断真假，根据互为逆否命题同真假进行判断；C写出逆命题，并分析真假，由此进行判断；D根据对恒成立问题的理解，由此判断真假.【详解】A“”的否定为“”，故错误；B原命题的逆否命题为“若且，则”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C原命题的逆命题为“若函数只有一个零点，则”，因为时，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；D“在上恒成立”“在上恒成立”，故错误.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数零点、含一个量词的命题的真假判断、不等式恒成立问题的理解等内容，难度一般.注

13、意互为逆否命题的两个命题真假性相同.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、168【解析】根据向量，设，列出方程组，求得，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，设，又因为，所以，即，解得，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、4【解析】分析：因为在点处的切线方程，所以 ，由此能求出详解：因为在点处切线方程为，所以从而即答案为4.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，

14、解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化15、【解析】取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题的正误.【详解】如下图所示：对于命题，取的中点，连接、，则，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，命题正确；对于命题，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，平面，平面，的面积为，所

15、以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题正确；对于命题，为的中点，所以，若，且，平面，由于平面，事实上，易得，由勾股定理可得，这与矛盾，命题错误.故答案为.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.16、64 【解析】根据三视图可得该几何体表示一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，其中高为4，即可利用体积公式和表面积公式求解，得到答案.【详解】由题意可知，这个几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面

16、是一个长为8，宽为6的矩形，四棱锥高为4，所以四棱锥的体积为，四棱锥的侧面为等腰三角形，底边长分别为，斜高分别为，所以侧面积为.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及四棱锥的体积与侧面积的计算，其中解答中根据几何体的三视图得到几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）求出导函数，已知切线方程说明，代入后可得，然后确定函数的单调区间，得出最大值；（2）不等式为，可用导数求得的最小值，证明这个最小值大于0，即证得原不等式成立详解：（1）函数的定义

17、域为，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故令，得，当时，单调递增；当时，单调递减所以当时，取得最大值 （2）证明：原不等式可变为则，可知函数单调递增，而，所以方程在（0，+）上存在唯一实根x0，使得当x（0，x0）时，函数h（x）单调递减；当x（x0，+）时，函数h（x）单调递增；所以.即在（0，+）上恒成立，所以对任意x0，成立点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，

18、求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用18、（1）；（2）或.【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先求的最小值为,再解不等式得的取值范围.详解：（1）由题意的：,两边平方得：,即，解得或，所以原不等式的解集为.（2）,所以的最小值为,所以，即或,亦即或.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是求的最小值，这里利用了三角绝对值不等式求最值.19、（1）；（2）【解析】分析：（1）先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜

19、的概率，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果（2）由于采用五局三胜制，则甲获胜包括甲以3：0获胜，以3：1获胜，以3：2获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果详解：（1）甲恰好胜2局的概率；乙至少胜1局的概率；（2）打3局：；打4局：；打五局： 因此甲获胜的概率为点睛：求一个事件的概率，关键是先判断出事件所属的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算正确理解概率加法公式和相互独立性事件的概率计算公式是解题的关键20、（1）或；（2）.【解析】（1）由实数定义可知虚部为零，由此构造方程求得结果；（2）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此构造方程求得结果.【详解】（1）令，解得：或 当或时，复数是实数（2）令，解得：或又，即：且 当时，复数是纯虚数【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的