2022届上海市五爱高级中学数学高二下期末联考试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是( )A397B398C399D4002如图是“向量的线性运算”知识结构，如果要加入“三角形法

2、则”和“平行四边形法则”，应该放在（ ）A“向量的加减法”中“运算法则”的下位B“向量的加减法”中“运算律”的下位C“向量的数乘”中“运算法则”的下位D“向量的数乘”中“运算律”的下位3用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）ABCD4某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x(，)，则下列命题不正确的是( )A该市这次考试的数学平均成绩为80分B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D该市这次考试的数学成绩标准差为105已知向量，则（ ）ABCD

3、6已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是ABCD7下列命题中真命题的个数是（ ）若是假命题，则、都是假命题；命题“，”的否定是“，”若：，:，则是的充分不必要条件.A0B1C2D38在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的点到直线的距离的最小值是（）ABCD9已知x，y的取值如下表示：若y与x线性相关，且，则a=（ ）x0134y2.24.34.86.7A2.2B2.6C2.8D2.910已知函数的图象关于对称，的图象在点处的切线过点，若图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）ABCD11在四棱锥中，底面是正方形，

4、顶点在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（ ）（参考公式：）A2BC4D12已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（ ）A14B16C18D20二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知.经计算，则根据以上式子得到第个式子为_.14函数在区间上的最大值为，则的最小值为_.15方程的正整数解的个数_.16的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程

5、或演算步骤。17（12分）已知复数满足（其中为虚数单位）（1）求； （2）若为纯虚数，求实数的值18（12分）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥（）求证；（）若平面求二面角的大小；在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值19（12分）（选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.20（12分）已

6、知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间.21（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各

7、区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率22（10分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：分类积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高18725学习积极性一般61925总计242650 (1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检

8、验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据图中数字排列规律可知，第行共有项，且最后一项为，从而可推出第20行最后1个数的值，即可求解出答案【详解】由三角形数组可推断出，第行共有项，且最后一项为，所以第20行，最后一项为1故答案选D【点睛】本题主要考查归纳推理的能力，归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，解题时，要多观察实验，对有限的资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想2、A【解析】由“三角形法则”和“平行四边形法则”是向

9、量的加减法的运算法则，由此易得出正确选项【详解】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位故选A【点睛】本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系3、D【解析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数即可【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒

10、组成，第三个图中有8+16个火柴组成，以此类推：组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n1）第n个图中的火柴棒有6n+1故选：D【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题4、B【解析】分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案.详解：密度函数，该市这次考试的数学平均成绩为80分该市这次考试的数学标准差为10，从图形上看，它关于直线对称，且50与110也关于直线对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

11、.故选B.点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解.5、C【解析】由已知向量的坐标运算直接求得的坐标【详解】向量（-2，1），（3，2），.故选C.【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.6、B【解析】试题分析：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC底面ABCD，底面ABCD是正方形,且边长为20，那么利用体积公式可知,故选B.考点：本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积

12、7、C【解析】分析：由复合命题的真假判断判断；写出全程命题的否定判断；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断详解：若pq是假命题，则p，q中至少一个是假命题，故错误；命题“xR，x3x2+10”的否定是“”，故正确；若x10，则，反之，若，则x0或x1又p：x1，q：，p是q的充分不必要条件，故正确正确命题的个数是2个故选：C点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定，属于中档题8、B【解析】设曲线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线上的点到直线的距离的最小值.【详解】设曲线上任意一点的坐标为，所以，曲线上的一点到直线的距

13、离为，当时，取最小值，且，故选：B.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9、B【解析】求出，代入回归方程可求得【详解】由题意，所以，故选：B.【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键回归直线一定过中心点10、B【解析】首先根据函数的图象关于点对称得到，即.利用导数的切线过点得到，再求函数在处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子计算即可.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以.即：，解得，.所以，切点为.，.切线为：.因为切线过点，所以，解得.所

14、以，.，所以.所以.故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.11、B【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.则在中，有，再根据体积为可求及，在中，有，解出后可得正确的选项.【详解】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.设底面正方形的边长为，正四棱锥的高为，则.因为该正四棱锥的侧棱长为，所以，即又因为正四棱锥的体积为4，所以 由得，代入得，配凑得，即，得或.因为，所以，再将代入中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半径等于.故选B.【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、

15、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.12、B【解析】设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】我们分

16、析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案.【详解】观察已知中等式：，则，故答案为：.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.14、【解析】令，由导函数得最小值为，且端点处函数值.再由时，；时，可得表达式，问题可得解.【详解】则，由得当时，当时所以在上单调递减，在上单调递增.最小值为，又，且当时，即，解得，；当时，即由，得，.综上，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时取最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了通过导数分析函数的单调性和最值，考查了绝对值函数，还考查了

17、分类讨论思想，属于难题.15、【解析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.【详解】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内共有种故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.16、1【解析】分别求得各项系数和与各项的二项式系数和，从而求得的值【详解】解：在的展开式中，令可得设各项的系数和为，而各项的二项式系数和为，故答案为：1【点睛】本

18、题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1) 设，可得，解得从而可得结果；(2) 由（1）知，利用为纯虚数可得，从而可得结果.【详解】（1）设，由于则： 解得：（2）由（1）知又为纯虚数，【点睛】本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.18、详见解析；，或【解析】可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

19、可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.【详解】证明：在图1中，为平行四边形，当沿AD折起时，即，又，平面PAB，又平面PAB，解：以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD则0，0，1，0，1，1，1，0，设平面PBC的法向量为y，则，取，得0，设平面PCD的法向量b，则，取，得1，设二面角的大小为，可知为钝角，则，二面角的大小为设AM与面PBC所成角为，0，1，平面PBC的法向量0，直线AM与平面PBC所成的角为，解得或【点

20、睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.19、（1），（2）或或.【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）由题可知,所以联立和得 ，代入韦达定理即得答案解析：（1），故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到 ，所以 或，解得或或.20、（1）（2）当时，函数的增区间是（0,1），减区间是；当时，函数的增区间是和，减区间是；当时，函

21、数增区间是，没有减区间；当时，函数的增区间是（0,1）和，减区间是.【解析】（1）求导，根据导数的几何意义，写出切线方程的点斜式方程，整理化简即可；（2）求导，根据参数对导数正负的影响对参数进行分类讨论，求得对应的单调性和单调区间.【详解】（1）若，导函数为.依题意，有，则切线方程为，即.（2），当时，由，得，则函数的增区间是（0,1），减区间是；当时，由，得，再讨论两根的大小关系；当时，由，得或者，则函数的增区间是和，减区间是；当时，则函数的增区间是，没有减区间；当时，由，得或者，则函数的增区间是（0,1）和，减区间是；综上，当时，函数的增区间是（0,1），减区间是； 当时，函数的增区间是和

22、，减区间是；当时，函数增区间是，没有减区间；当时，函数的增区间是（0,1）和，减区间是.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究含参函数的单调性，属导数基础题.21、（1）（2）【解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率（2）当温度大于等于25时，需求量为500，求出Y900元；当温度在20，25）时，需求量为300，求出Y300元；当温度低于20时，需求量为200，求出Y100元，从而当温度大于等于20时，Y0，由此能估计估计Y大于零的概率【详解】解：（1）由前三年六月份各天的