垂直关系的判定-完整版PPT

1、6垂 直 关 系6.1垂直关系的判定问题引航1.直线与平面垂直的概念及判定定理的内容是什么？2.二面角的概念是什么？如何求二面角的平面角？3.平面与平面垂直的概念及判定定理的内容是什么？1.直线与平面垂直的概念及判定定理(1)定义：条件：一条直线和一个平面内的_直线都_.结论：这条直线和这个平面垂直.(2)画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的_垂直，如图.任何一条垂直横边(3)直线与平面垂直的判定定理：文字语言：条件：一条直线和一个平面内的_都垂直.结论：该直线与此平面垂直.符号语言：条件：直线a 平面，直线b ，直线la，lb，_.结论：_.两条相交直线ab=Al2.平面与

2、平面垂直(1)概念的产生过程(2)有关概念半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成_，其中的_都叫作半平面.二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角，_叫作二面角的棱，这_叫作二面角的面.二面角的记法：以直线AB为棱、半平面，为面的二面角，记作二面角_.两部分每一部分两个半平面这条直线两个半平面-AB-二面角的平面角：以二面角的棱上_为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角.直二面角：平面角是_的二面角.任一点垂直于棱直角(3)平面与平面的垂直定义：两个平面相交，如果所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直.画法：把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平

3、面的平行四边形的横边垂直(如图).记作：_.直二面角面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条_，那么这两个平面互相垂直.符号表示：若直线AB 平面，_，则(如图).垂线AB平面1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)l与平面内的两条直线垂直，则直线l平面.()(2)l与平面内的所有直线都垂直，则l平面.()(3)二面角的平面角的范围为(0，).()【解析】(1)错误.如图所示在长方体中有a ，b ，且la，lb，但是l与平面不垂直.(2)正确.由线面垂直的定义知.(3)错误.二面角的平面角的范围为0，.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1

4、)已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面个数为_.(2)经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_个.(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中二面角B1-AB-C1的大小为_.【解析】(1)当m，n异面但不垂直时，不能作出；当m，n垂直时只能作出一个.答案：0或1(2)当两点连线与垂直时有无数个，当两点连线与不垂直时只有1个.答案：1或无数(3)如图，由二面角的平面角的定义知B1BC1即为二面角B1-AB-C1的平面角，其大小为45.答案：45【要点探究】知识点1 直线和平面垂直1.对直线和平面垂直定义的四点说明(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注

5、意理解，实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.(2)直线和平面垂直是直线与平面相交的特例.(3)由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b ，则ab.(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.2.对直线与平面垂直的判定定理的三点说明(1)引进判定定理的必要性用线面垂直的定义可以证明线面垂直，但是要说明直线与平面内所有直线都垂直，在实际运用时有困难，所以需要引进一种容易操作，应用广泛的证明方法.(2)关键词“两条相交直线”的理解虽然平面内直线有无数多条，但它却可以由两条相交直线完全确定.由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这

6、个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直.(3)所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直.【微思考】(1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？提示：用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.(2)若将条件中的ab=A去掉，结论是否成立？提示：不成立.如果两条直线平行，则直线l不一定与平面垂直，如图：如果两条直线相交，则直线l一定与平面垂直.【即时练】下列说法中错误的个数是()若直线m

7、平面，直线lm，则l.若直线l和平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面必相交.过平面外一点有且只有一条直线和平面垂直.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.错误.若直线m平面，直线lm，则l与平行、相交或l在内都有可能.错误.若直线l和平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面平行、相交或l在内都有可能.正确.如图.假如l1与l2都过点P，且都与平面垂直，设垂足分别为A与B.在平面PAB内，有两条直线l1，l2与已知直线垂直.这是不可能的.所以l1和l2重合.正确.不论点A是否在直线a上(如图)，设过点A与直线a垂直的平面为.如果还有一个平面过点A与直线

8、a垂直，且=l，设过点A和直线a且不过l的平面为，且=b，=c.因为a，a，所以ab，ac，这样在同一平面内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的.所以，过点A和直线a垂直的平面只有一个.知识点2 二面角与面面垂直1.对二面角的平面角的三点说明(1)二面角的平面角可以表示二面角的大小，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.(2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.二面角的平面角的大小是唯一确定的，与棱上点的位置无关，解题时可以把平面角的顶点选在有利于解题的特殊位置上.(3)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直.由这个角所确定的平

9、面和二面角的棱是垂直的.2.两方面剖析平面与平面垂直(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的.(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的.3.对平面与平面垂直的判定定理的三点说明(1)本质：面面垂直线面垂直.(2)关键：寻找其中一个平面的垂线.(3)找平面垂线的方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若不存在则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有助于证明，不能随意添加.【微思考】(1)在作二面角的平面角时，它的大小随着顶点O的选取而改变吗？提示：不改变，由等角定理可以保证平面角的大小的确定性.(2)面面垂

10、直的判定定理的条件有几个，减少一个条件，定理是否成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立.【即时练】1.(2014西安高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小为_.2.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列三个命题，其中正确命题的序号是_.(1)若m，n，则mn.(2)若，m，则m.(3)若m，n，则mn.【解析】1.如图所示.ADAB，AD1AB，所以D1AD即为二面角D1-AB-D的平面角，由正方体性质知D1AD=45.答案：452.(1)若m，n，则mn.正确.(2)若，m，则m，满足直线和平面垂直的判定，正确.(3

11、)两条直线可能相交也可能异面，错误.答案：(1)(2)【题型示范】类型一 线线垂直和面面垂直的转化【典例1】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB(2)如图，在四面体S-ABC中，BSC=90，ASB=ASC=60，SA=SB=SC，求证：平面ABC平面SBC.【解题探究】1.题(1)中与AD1垂直的平面应具备什么特点？2.题(2)中，证明平面ABC平面SBC的关键点是什么？【探究提示】1.平面内的两条相交直线都与AD1垂直.2.利用已知条件探求线线垂直关系，进而得到线面垂直.【自主解答】

12、(1)选B.AD1A1D，A1B1AD1，又A1DA1B1=A1，所以AD1平面A1DB1.(2)如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD.如图，由题意知ASB与ASC为等边三角形，则AB=AC，所以ADBC，SDBC，令SA=a，在SBC中，SD= a，又AD= 所以AD2+SD2=SA2，即ADSD.又ADBC，BCSD=D，所以AD平面SBC.因为AD 平面ABC，所以平面ABC平面SBC.【方法技巧】1.线线垂直和线面垂直的相互转化2.证明线面垂直的四种常用方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平

13、面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.3.证明面面垂直的方法与技巧(1)两个平面垂直的判定定理可简述为“线面垂直，则面面垂直”.(2)应用定理的关键是在一个平面内找到另一个平面的垂线.(3)要证明平面与平面垂直的问题，只需转化为直线与平面垂直的问题，这充分说明了线面垂直与面面垂直的密切关系.【变式训练】(2014蚌埠高一检测)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，B1A1C1=90，D为BB1的中点.求证：AD平面A1DC1.【证明】因为AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABC，所以AA1平面A

14、1B1C1，所以A1C1A1A，又B1A1C1=90，所以A1C1A1B1，而A1B1AA1=A1，所以A1C1平面AA1B1B，又AD 平面AA1B1B，所以A1C1AD，由已知计算得AD= ，A1D= ，AA1=2，所以AD2+A1D2=AA12，所以A1DAD，因为A1C1A1D=A1，所以AD平面A1DC1.【补偿训练】如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD.【证明】因为A1ABD，ACBD，A1AAC=A，所以BD平面A1AO.又A1O 平面A1AO.所以BDA1O.设正方体的棱长为a，连接OM，A1M，A1C1.因为

15、A1O2=A1A2+AO2=a2+ OM2=MC2+OC2= A1M2=A1C12+C1M2= 所以A1O2+OM2=A1M2，所以A1OOM.又BDOM=O，所以A1O平面MBD.类型二 二面角的平面角【典例2】(1)如图所示，在三棱锥S-ABC中，SBC，ABC都是等边三角形，且BC=1，SA= ，则二面角S-BC-A的大小为_.(2)(2014南昌高二检测)在棱长都相等的四面体A-BCD中，E，F分别是棱AD，BC的中点，连接AF，CE，DF，如图所示.证明：平面AFD平面BCD.求二面角A-FC-E的余弦值.【解题探究】1.题(1)中二面角S-BC-A的平面角怎样找？2.题(2)中，证

16、明平面AFD与平面BCD垂直的方法是什么？中怎样寻找二面角A-FC-E的平面角？【探究提示】1.取BC的中点O，连接AO，SO可得SOA为二面角的平面角.2.先证BC平面AFD，然后证明平面AFD平面BCD.充分利用棱长相等的四面体的特点结合二面角平面角的定义寻找.【自主解答】(1)取BC的中点O，连接AO，SO，因为AB=AC，O是BC的中点，所以AOBC，同理可证SOBC，所以SOA是二面角S-BC-A的平面角，在AOB中，AOB=90，ABO=60，AB=1，所以AO=1sin60= ，同理可求SO= ，又SA= ，所以SOA是等边三角形，故SOA=60.所以二面角S-BC-A的大小为6

17、0.答案：60(2)因为AB=AC，BF=CF，所以BCAF，同理得BCDF.又AF 平面AFD，DF 平面AFD，AFDF=F，所以BC平面AFD.又因为BC 平面BCD，所以平面AFD平面BCD.因为BC平面AFD，EF 平面AFD，所以BCEF.因为平面AFC平面EFC=BC，又BCEF，BCAF，所以AFE是二面角A-FC-E所成的平面角.设四面体的棱长为1，则AF=FD= ，AE= AD= ，EF= ，cosAFE=所以二面角A-FC-E的余弦值是 .【延伸探究】题(2)中，求二面角A-BC-D的余弦值.【解析】设四面体棱长为1，因为该四面体的棱长都相等，且F是棱BC的中点，所以AF

18、BC，DFBC，所以AFD是二面角A-BC-D的平面角，因为顶点A在底面的射影O是底面三角形的中心，恰好是DF的一个靠近F点的三等分点，在RtAOF中，cosAFD= ，即二面角A-BC-D的余弦值是 .【方法技巧】求二面角大小的基本步骤【变式训练】已知D，E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过点D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.【解析】如图所示，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点.于是C1F为这两个平面的交线.因而，所求二面角即为二面角D-C1F-A1.因为A1DB1E，且A1D=2B1E，所以E，B1分别为DF和A1F的中点.因为A1B1=B1C1=A1C1=B1F，所以FC1A1C1.又因为CC1平面A1B1C1，FC1 平面A1B1C1，所以CC1FC1.又因为A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，所以FC1平面AA1C1C，所以FC1DC1.所以DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角.由已知A1D=A1C1，则DC1A1=45.故所求二面角的大小为45.【易错误区】对定理理解不准