直线与圆的位置关系-知识讲解

1、00直线与圆的位置关系一知识讲解【学习目标】理解并掌握直线与圆的三种位置关系;理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义:2直线和圆的三种位置关系：相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交.相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.3直线与圆的位置关系的判定和性质.直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢?由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系下面图(

2、1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径;图中直线与圆心的距离大于半径.要点二、切线的性质定理和判定定理1.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径要点诠释:直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点位置关系称为相切.此时直线与圆的一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果O0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,那么,dvr二直线I与O0相交；d=r：直线I与O0相切；dr-直线I与O0相离.切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质;

3、置关系的判定.从右边到左边则是直线与圆的位52.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可要点三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆2三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形的内心到三边的距离都相等要点诠释：任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即:(S为三角形的面积，P为三角形的周长，

4、r为内切圆的半径).2【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系1.在RtABC中，/C=90,AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米；(2)r=2.4厘米；(3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CDLAB于D,在RtABC中，/C=90,AC=3,BC=4,得AB=5,SiABC=-AB-CD=-ACBC,AB-CD=ACBC,AB二CD=AC*BC=2.4(cm),当r=2cm时，CDDr,二圆C与AB相离；当r=2.4cm时，CD=r,.圆C与AB相切;(3)当r=3cm时，CDcr,二圆C与AB相交.【总结升华】欲判定OC与

5、直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可.举一反三:【变式】已知oo的半径为10cm如果一条直线和圆心o的距离为10cm那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A.相离B.相切【答案】B.C.相交D.相交或相离类型二、切线的判定与性质2.如图所示，在RtABC中，/B=90,/A的平分线交BC于D,以D为圆心，DB长为半径作OD.求证：AC是OD的切线.【思路点拨】【答案与解析】证明：过D作DF丄AC于F./B=90,DB丄AB.又AD平分/BACDF=BD=半径.AC与OD相切.【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再

6、证明垂线段的长等于半径的长即可.3.(2015?黄石)如图，00的直径AB=4,/ABC=30,BC交OO于D,D是BC的中点.(1)求BC的长；(2)过点D作DEIAC垂足为E,求证：直线DE是00的切线.【思路点拨】(1)根据圆周角定理求得/ADB=90，然后解直角三角形即可求得BD,进而求得BC即可;(2)要证明直线DE是00的切线只要证明/EDO=90即可.【答案与解析】证明：(1)解：连接AD/AB是00的直径，/ADB=90,B又/ABC=30,AB=4,BD=2二,D是BC的中点，BC=2BD=4；;(2)证明：连接ODD是BC的中点，O是AB的中点,。0是厶ABC的中位线，OD

7、/AC,则/EDOMCED又vDELAC/CED=90，/EDOMCED=90DE是OO的切线.【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30角的直角三角形的性质.解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线.C4.如图，AB为OO的直径，AC为OO的弦，AD平分/BAG交OO于点D,DEIAC,交AC的延长线于点E.(1)判断直线DE与OO的位置关系，并说明理由；(2)若AE=8,OO的半径为5,求DE的长.【思路点拨】(1)连接OD证明OD/AD即可；(2)作DF丄AB于F,证明EADAFAD将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：(1)直线DE与OO相切.理由如下:连接OD/AD平分/

8、BAC/EAD=ZOAD/OA=OD/ODA=ZOAD/ODA=EADEA/OD/DELEA,DELOD/DFA=ZDEA=90/EAD=ZFAD,AD=AD,EADAFAD.AF=AE=8,DF=DE.TOA=OD=5,.OF=3.在RtDOF中,DF=、.52-32=4.DE=DF=4.【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题举一反三：【变式1】(2015?盐城)如图，在ABC中，/CAB=90，/CBA=50，以AB为直径作00交BC于点D,点E在边AC上，且满足ED=EA求/DOA的度数；求证：直线ED与00相切.【答案与解析】(1

9、)解；/DBA=50,/DOA=2DBA=100,(2)证明：连接OEfAC=DO在AEA。与AEDO中，EA=ED,kEO=EOEAOAEDO/EDOMEAO/BAC=90,MEDO=90,DE与00相切.3c举一反三:【答案】因为以AB为直径的O0与BC相切于点B,所以/ABC=90,0与BC相切于点B,则AC等于（）在RtABC中，ACAB2BC222222.2，故选C.类型三、三角形的内切圆/A=50,求/BOC勺度数.【思路点拨】0是厶ABC的内心，/A=50,根据内切圆的性质可求BOC的度数.TOC o 1-5 h z11/OBC吃OCBd（180-ZA）=（佃0-50）=65，在BO（中，根据三角形内角和求出/22【答案与解析】解：O是厶ABC的内心，ZA=50,11ZOBCZOCBa（1