图形几何变换课件

1、图形几何变换几何变换内容二维变换 三维变换几何变换（定义）图形的几何变换是指对图形的几何信息经过 平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是 图形在方向、尺寸和形状方面的变换。提出问题如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换YX如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换YXXZY(x,y,z)(x , y , z )二维几何变换基本概念齐次坐标齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。齐次坐标的不唯一性设二维坐标为（x,y）,则其次坐标为（hx，hy，h），h为任意数。标准化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。 所以当h=1时，（hx，hy，h）标准化齐次坐标为（x，y，1）二维变

2、换矩阵s 1m1 lq yp xab y cd xxy1 T2 D基本几何变换基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，常用的几何变换有：平移、旋转、缩放、 反射、错切变换1、 平移变换平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一 个坐标位置的重定位过程。平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-body transformation）t xX平移变换P t yPtYtx，ty称为平移矢量00y 1 t10tx 10则矩阵推导：设:y y tyx x tx 1 0t y x10 y 010y 1 1tx x原式以矩阵表示为：2、 比例变换比例变换是指对p点相对于坐标原

3、点沿x方向放缩Sx倍， 沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。YP ( 4 , 3 )P( 2 , 1 )X比例变换(Sx=2 , Sy=3)x sx x y sy y推导：10 00 0yssx00则矩阵110 1 00 y0 x y 0s xysx0原式以矩阵表示为：Sx=Sy比例原图(b)SxSy比例原图比例变换SxSySx=Sy1Sx=Sy1(a)3、旋转变换YX旋转变换P二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为 正，顺时针为负）得到新的点p的重定位过程。PrrYX旋转变换PPrr旋转前：yxp r sinp r cos旋转后px r cos( ) r cos( )

4、 cos( ) r sin( ) sin( ) px cos( ) py sin( )py r sin( ) r sin( ) cos( ) r cos( ) sin( ) px sin( ) py cos( )写成矩阵表达式为：1 1 01y y 0 p0 px px p sin cossin cos0当 1 1 01y y 0 p0 px px p sincos sincos 0其逆变换110 1 y y 0 p0 px px p sin cossin cos04 、对称变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。XY( a) 关于x轴对称XY( b) 关于y轴对称XY( c)

5、关于原点对称(1)关于x轴对称YXP ( x, - y)P( x, y)( a) 关于x轴对称1 1 10y y 0 p0 px 10 p 010 px (2)关于y轴对称YXP (-x, y)p( x, y)( b) 关于y轴对称1 1 01y y 0 p0 px 10 p 010 px (3)关于原点对称YXP( x, y)( c) 关于原点对称1 1 01y y 0 p0 px 10 p 010 px (4)关于y=x轴对称Yp( x, y)p ( y, x)Xx=y1 1 010010y y 0 p0 px ( d) 关于x=y对称 p 1 px (5)关于y=-x轴对称YXP (-y

6、, - x)P( x, y)x=- y( e) 关于x=- y对称1 1 01y xy x0 p 010p00 p 1 p5、错切变换错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物 体的变形处理。YYXYXX(a)原图(b)沿x方向错切(c)沿y方向错切错切变换其变换矩阵为：1 1 01y y 0 p0 px 1b10 p c px 参数b、c变化使图形产生变化：沿x方向错切 (b变化，c不变)沿y方向错切(b不变，c变化)两个方向错切(b变化，c变化)二维图形几何变换的计算几何变换均可表示成P=T* P的形式点的变换直线的变换多边形的变换曲线的变换复合变换复合变换是指：图形作一次以上的几何变

7、换，变换结果是每次的 变换矩阵相乘。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换 的组合形式。复合变换具有形式： P T P (Tn LT3 T2 T1 ) P Tn LT3 T2 T1 P(n 1)二维复合平移两个连续平移是加性的。0 01 00y1y 2 y 2 101t t01tx1 tx 2 tx 2 1001t 01ty1 01 00tx1 1二维复合比例连续比例变换是相乘的。100010 001 00 0 000y1y 2y 2y10s s00sx1 sx 20sx 2s0 0ssx1二维复合旋转两个连续旋转是相加的。可写为：R R() R() R(1 2 )1210010010 s

8、in(1 2) sin(1 2)cos(1 2)0cos(1 2)0 sin 20cos 2 sin 20cos 200sin1sin1 cos10cos1相对任一参考点的二维几何变换相对某个参考点(xF , yF )作二维几何变换，其变换过程为：平移针对原点进行二维几何变换。反平移通用任意点旋转平移物体使固定点与坐标原点重合对于坐标原点旋转用步骤1的反向平移将物体移回原始位置XY平移XY旋转XY平移XY原图复合变换矩阵是：101000100yx10 xcossin01001y sincos0 01T (x,y)通用固定点缩放平移物体使固定点与坐标原点重合对于坐标原点缩放用步骤1的反向平移将物

9、体移回原始位置复合变换矩阵是：1100 00yy 010 xS0010 x1S101000T 0相对任意方向的二维几何变换如：对某任意一直线段作反射变换，其变换的过程是：平移变换旋转变换针对坐标轴进行二维几何变换；反向旋转逆向平移例. 相对直线y=1/2*x的反射变换XY原图XY平移XY旋转XY反射XY逆向旋转XY逆向平移1100000 0yT sincos sin010 xcos110 x cossin010001y sincos0 010001001 001例.将正方形ABCO各点沿图所示的(0,0)(1,1)方向进 行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换YX1/23/22针对固定

10、方向的拉伸O1/213/22ABCC BA10010002sincos sin cossincos01 0sin0 cos00 0s0s100过程。T R( ) S (s1 , s2 ) R( ) 21o 1，s 2取 45 ，s坐标系之间的变换坐标系间的变换xOp( xp , yp )x 问题：yy O x0y0分析：xyy OO ( x0 , y0 )x p , 也即p pxpyp *x坐标系变换的变换原理Op*yOp *可以分两步进行：yy O y0 x Ox0 x(a)将x y 坐标系的原点平移到xy坐标系的原点p(xp , yp)yy Ox x(b)将x 轴旋转到x轴上p(xp ,

11、yp)于是：1 pypyppp x100010 10 x0 0 01 y0T sin( )1 T x sin( ) cos( ) 0其中：cos( )坐标系间的变换xOp(xp,yp)xyyOx0y0坐标系转换：1 1 010 01 01 1 1000 0100101100 1 I I II b ya xI b ya xI y 0 xII 光栅变换直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。光栅平移变换：(c)擦除原象素块的内容(b)复制(copy)象素块 的内容(a)读出(read) 象素块 的内容90、180的光栅旋转变换：(x, y)row l en(a)逆时针旋转90vo ll e

12、n9 1102113481276598 51234 67101112row l envo ll en1 4598 85234 1211109677610111232(b)逆时针旋转180 1任意角度的光栅旋转变换：旋转的 象素阵列光栅网格A21A34例子I 4I 3TI 1I 2最邻近插值法0,00,yx,yx,1x,00,11,1f (0,0)f (1,0)f (x,y) 1,0f (1,1)f (0,1)双线性插值（一阶插值）左图为双线性插值示意图光栅比例变换：(a)Sx=1 / 2 , Sy=1 / 2(b)原图(a)Sx=1 , Sy=2缩小时原图 中的相应象 素区域放大时原图 中的相

13、应象 素区域yxyyy y ax ay b变换的性质二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换： x axx x axy y bx矩阵表示形式为：0ab xy1Tyxyyy 1 bx 0axxaxyy1T axy1 T2 D x性质：仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿 射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换 总可以表示为这五种变换的复合。二维几何变换还具有如下一些性质：直线的中点不变性；平行直线不变性；相交不变性；仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长 度的不变性；比例变化可改变图形的大小和形状；错切变化引起图形角度关系的改变，甚

14、至导致图形 发生畸变。三维几何变换前言： 三维几何变换和物体建模方法是在二维 几何变换的基础上考虑了z坐标而得到的，三维之 中的旋转变换可能选择空间的任意方向作为旋转 轴的方向，比二维旋转困难。目前大多数三维软件是将三维旋转作围绕三个 坐标轴x、y、z的二维旋转的复合而进行处理。基本知识：什么是三维齐次坐标(x, y, z)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , zh , h)xh hx , yh hy , zh hz , h 0h=1时，点(x, y, z)的 标准齐次坐标是(x, y, z, 1)旋转角度为正时，点的旋转方向：在右手坐标系中旋转轴相应的旋转方向x轴从y轴到z轴y轴从z轴

15、到x轴z轴从x轴到y轴ZXY三维齐次坐标变换矩阵 s mnr g lq dabcp efhiT3 D三维几何变换矩阵 mnr z s 1h lq ydp xabcefijp xyz1 T3D p 三维基本几何变换三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换下面均是假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后的 点为p(x,y,z)。1.平移变换设任意点P（x , y, z）经过平移矩阵T的 变换后得到点P（ x，y，z） 1 100 1 0t y z y x100100100tz z y tx xP T Px x txy y tyz z tzXZY(x,y,z)(x,y,z)平

16、移变换2、缩放 0 0 010 z 110 x0 ys z y 0sz00y点P=（x , y, z）相对于坐标原点的缩放变换矩阵 表示为： x sx000 xy sy yz sz zx s x其中，sx, sy和sz为指定的任意正值.P S P上式的变换对物体的所方式的物体大小和相 对于坐标原点的物体位置发生变化。ZXYxyxBCDy比例变换z23EHFG2A1例子:对如图所示的长方形体进行比例变换，sx =1/2， sy =1/3， sz =1/2，求变换后的长方形体各点坐标。z 11 00 0 0 010 z 110 y0 xs z y 0sz0y x sx0012131211 001

17、00 000010301200 2 1 1 z y x 如:G点,坐标是(2,3,2)点A、B、C、D、E、F、H作类似处理3、旋转变换物体进行旋转变换时，必须指定一个旋转轴和一个 旋转角度。二维的旋转仅发生在xy平面上，而三维旋 转则可指定为空间中任意直线进行。旋转方向正向采用右手法则zyX旋转变换的角度方向二维绕原点旋转式子：x x cos( ) y sin( )y x sin( ) y cos( )110 1 0 y0 x xcos sincos 0即 y sin由二维推广到三维，绕z轴的旋转方程式为：x x cos y sin y x sin y cos z z 0010 z 110

18、y0 x z y x sincos sin0cos00100P R( ) Pz通过对上面的式子进行坐标参数x、y、z的循 环替换，可以得到关于绕x、y轴的旋转矩阵。绕x轴的旋转式子y y cos z sin z y sin z cos x x齐次坐标表示为 00010 z 110 y0 x z y x 100cos sinsincos 00P R( ) Px绕y轴的旋转式子z z cos x sinx z sin x cosy y齐次坐标表示为： 010 z 110 y0 x z y x sin cos 0sin 0100cos 00P R( ) Py11 . 4其他变换反射在二维变换下，反射

19、变换是以线和点为基准，在三维变 换下，反射变换则是以面、线、点为基准的。 1 10 1 0 z 0 y0 x z0 1 y 0 z y x x 100100-100对称于XOY平面 111 y0 x z 00 10 z 1 0001 y 0 x10000 z y x 对称于YOZ平面 100110001010 10 z 0 y x z 0 1 0 y0 z y x x 对称于XOZ平面错切错切变换可以修改三维物体的形状沿X轴方向错切变换矩阵, Y、Z轴方向坐标不变 1100 1 00 z 0 y0 x z y x1a0100100 00 z 110 y0 xb 1 0 z y x1001001

20、00在三维空间中，产生对z轴错切的矩阵为： X、Y轴方向坐标不变关于XY平面的错切： 1000001b010010a0SHZ这个矩阵变换的效果是：使用一个与z值成比 例的数值来改变x和y的坐标值，同时保持z坐标 不变。1.相对任一参考点的三维变换, yc, zc）的缩放变换可以用下相对于某一给定点（xc 列序列进行表示:1 .平移给定点到原点11 0 0 0(1 s) y y(1 sz )zc z c yy0(1 sx )xc x s00sz00sx0.是用缩放变换矩阵进行相对于原点的缩放.平移给定点到原始位置。 组合变换为：T (xc, yc , zc ) S (sx , sy , sz )

21、 T (xc , yc ,zc ) p 例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换，比例变换步骤如下：ZXY( 2 )(b)移至坐 标原点Z( 1 )FY(a)原图XXY( 4 )Z(d)移回F点原来 位置ZXY( 3 )(c)基本比 例变换相对参考点F的比例变换一般三维旋转对于绕与坐标轴不重合的轴进行旋转的变换 矩阵，可以通过平移和坐标轴旋转的复合而得 到。有这么些特殊情况：1、如果物体的旋转轴平行某个坐标轴，那么通过以下步骤 进行变换1)平移物体使其旋转轴与平行于该轴的一个坐标轴重合。对于该轴完成指定的旋转平移物体将其旋转轴移回到原来的位置。 如图：变换过程：ZXY（b）移动旋转轴 至

22、Y轴ZXY旋转轴（ a）原图ZXY（ d） 移回原始位置ZXY穸（c）围绕X轴旋转一个角度这个变换过程为表示为：P T 1 R( ) T Py那么复合矩阵就为R( ) T 1 R( ) Ty2、如果物体绕的轴与每个坐标轴都不平行的话，就需要 进行额外的变换。需5个变换步骤：平移物体与旋转轴，使得旋转轴通过坐标原点旋转物体使得旋转轴与某一坐标轴重合绕坐标轴完成指定的旋转利用逆旋转使旋转轴回到其原始方向利用逆平移使旋转轴回到其原始位置第三步骤中，可以把旋转轴变换到三个坐标轴中的任 意一个，一般是z轴。下面举例讨论如何建立变换矩阵以实现将旋转轴变换到x轴，以及如何将旋转周变回原来的位置。如图ZXY45pAB(2 , 2 , 1)451 100 2010 20011000T1 ZXY4545ABZXY45AB ZXY4545B A 1 1 21 000 0 sin 450 000sin 450 100 210100cos 45010000 c