概率论概率2在条件下随机变量

1、在 条件下随机变量 X 的条件分布律：条件分布在 条件下随机变量 Y 的条件分布律： 二维离散型随机变量情形课前复习在 Y= y 条件下随机变量 X 的条件分布密度：在 Y= y 条件下随机变量 X 的条件分布函数： 二维连续型随机变量情形注： 条件分布密度 的自变量是 x，而不是 y（但函数值受到 y的影响）。 定义 如果对任意的 ，恒有离散型情形：X 与 Y相互独立的充分必要条件是 对一切 i, j, 都有： 随机变量的独立性则称 X 与 Y 相互独立。连续型情形： X 与 Y 相互独立的充分必要条件是 对一切 x,y,都有：相互独立的概念也可推广到 n 个随机变量的场合。结论 若(X，Y

2、 )的分布密度为其中A为常数，a, b, c, d 或为常数，或为, 则X，Y 相互独立.结论（二维正态情形）.若则 X 与 Y 相互独立课 前 练 习2. 设 (X, Y ) 具有下述联合密度函数, 试求边缘密度函数，并问 X,Y 是否独立?1. 已知 (X, Y ) 的分布律 如下，问当 为何值 时，X 与 Y 相互独立？1. 已知 (X, Y )的分布律 如下，问当 为何值 时，X 与 Y 相互独立？解 先求出边缘分布律 2. 设 (X, Y ) 具有下述联合密度函数, 试求边缘密度函数，并问 X,Y 是否独立?注意其中的变量范围所以 X, Y 不独立。解因为当 时，一维随机变量函数的分

3、布一.离散型随机变量情形一般地，在11对应情形， 的分布律为y=g(x)是多1对应情形注：如果某些 有相同的数值，则这些相同的值 在分布律中只出现一次，其概率为这些相同值所对应的 概率的和。课前复习例3 已知 X 的分布律为求 的分布律。解 由于当当当故得 Y 的分布律为 方法一：定义法 第一步：先用定义求随机变量 的分布函数 二.已知 X 为连续型随机变量，求 的分布（密度）第二步：再求 的分布密度 。例1 设随机变量 X 具有概率密度 求 的分布密度。解 第一步：先求 Y 的分布函数当 时，分别记 X，Y 的分布函数为 当 时，第二步：再求分布密度例1 设随机变量 X 具有概率密度 求 的

4、分布密度。如已知 ，求 的分布密度。 的分布密度为此时称Y服从自由度为1的 分布。方法二：定理法 定理 设 X 为连续型随机变量，其分布密度为 。如果 是一处处可导的严格单调函数，则也是一连续型随机变量，且其分布密度为其中 是 的反函数，（证明略.）用此定理时应注意：1）验证定理的条件是否满足；2）公式中的绝对值号不能丢；3）(,)的范围确定。解：这里所以由定理知V 的分布密度为例2 设电压 ,其中 A 是一个已知的正常数, 相 角 是一个随机变量,且有 ,试求电 压V的概率密度.且有反函数例3 设 X 的分布密度为 ，求 的 分布（密度）。解：这里 ，显然是处处单调可导的，特别地，当 时，有

5、所以由定理知 Y 的分布密度为 且，从而故再特别地，令 ，则注： 方法 2）比较简单；相对而言，方法 1）较麻烦。 方法1）更具有普遍性。 只要不满足定理条件，就应采用第 1）种方法。 对于两个随机变量函数的分布，我们主要研究下面二种类型的分布：三、两个随机变量函数的分布 在研究这二种类型的分布时，我们主要是针对连续型随机变量情形。问题：设(X，Y)是二维r.v.，g( x,y) 是二元连续函数 Z=g( X, Y ), 要求 Z 的分布。（一） 的分布 设 的分布密度为 ，则 的分布函数为 这里积分区域 为满足条件的点集 它是位于直线 左下方的半平面(见图).将二重积分化为二次积分得由分布密

6、度的定义知， 的分布密度为（*）由 的对称性知， 又可写成（*）(*)，(*)是两个随机变量和的分布密度的一般公式。对内层积分作变量代换特别地，当 X 与 Y 相互独立时，于是 的分布密度为以上两个公式称为卷积公式，记为 。即例4 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量，均服从 分布，求 的分布密度。解：因为 X 与 Y 相互独立，所以由卷积公式得 的分布密度故 一般地，若 X 与 Y 独立，且 仍服从正态分布，且更一般地，设 ,且它们相互独立，则它们的和 仍然服从正态分布，且有结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍 然服从正态分布。练习 设 求 的分布密度。解：即因为 X 和 Y

7、相互独立，故离散情形的卷积公式设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为要求 X+Y 的分布。解：由上面公式，知例5 设X和Y是相互独立的随机变量，（二） 的分布问题：设 X、Y 相互独立，分布函数分别为 求 M，N 的分布。再求 的分布函数。特别地，若 X、Y 具有相同的分布函数,且共同的分布函数为 F(x), 则 M，N 的分布为：在n维随机变量的情形，有类似的结论成立。例6 设系统 L由两个相互独立的子系统L1，L2 作联接而 成，联结的方式分别为 (i) 串联，(ii) 并联，(iii) 备用 （当系统L1损坏时，系统L2开始工作），如图所示，设 L1，L2的寿命分别为X，Y，已知它们的概率密度分别为试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。解 由题知 (i) 串联情形。由于L1，L2中有一个坏时，系统L就停 止工作，所以这时L的寿命其密度函数为 (ii