效用、损失与风险函数

1、17/18第三章 效用、损失和风险(Utility,Loss and Risk)本章要紧参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，18431 效用的定义和公理系统一、引言什么缘故要引入效用 决策问题的特点：自然状态不确定以概率表示； 后果价值待定： 以效用度量。1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例一：同是100元钞票，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钞票的边缘价值问题。

2、例二： 上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义有人认为打赌不如礼品,即 *由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preference order)的问题 *偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(躯体)状态有关。 * 除风险偏好之外，还时刻偏好。 i, 折扣率 ii,其他 而效用(Utility)确实是偏好的量化，是数(实值函数).Daniel Bernoulli 在1738年指出： 若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，假如他明白与给定行动有关的今后

3、的自然状态，且这些状态出现的概率已知或能够可能，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。 二、效用的定义 1.符号 i,AB(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed) A to B) AB(即ARB) A不劣于B AB(即AIB) A无差不于B (Indifference) ii, 展望(prospect): 可能的前景 即各种后果及后果出现概率的组合 P=( ) 既考虑各种后果 (consequence) 又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布 所有P的集合记作p iii,抽奖(lottery)与确定当量 若 ( ; )则称 确定性后

4、果 为抽奖 ( ; ) 的确定当量2.效用的定义(A) 在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系一致，即: 若 p , iff u()u() 则称u为效用函数三、效用存在性公理 理性行为公理 Von Neumann-Morenstern, 1994 169公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p, 则 or or 公理2 传递性 (Transitivity) p, 若, 则 公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变) 若p, 且 0 1 则 对任何p ,必有 +(1-) +(1-)或者表达成：, 则 +(1-) +(1-) 即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大

5、的情况是决策人所喜爱的。公理4 连续性公理 偏好的有界性若 则 存在 01, 01, 使 +(1-) +(1-) 由 +(1-) 可知 不是无穷劣,即 u() 由 +(1-) 可知 不是无穷优, 即 u() 即使是死亡，亦不至于无穷劣例：i,过马路 若死亡为无穷劣，则不能过马路 ii,狂犬病疫苗 上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.例：Allais 悖论（Paradox 例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答Savage的回答是A组宁择i， B组宁择ii，Allais指出：B组的i, ii, 均以0.89的$500,000 取代0.89的

6、$0，即与A组的i,ii,相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。 Savage当时语塞。效用的公理化定义 在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使i, 当且仅当 u() u() ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u()iii, 对满足上述条件的 , 必有 () =b( )+c , 其中 b, c , b0则u(P)称为(基数)效用函数*关于线性：将ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u() 推广到一般,若p ;0 , i=1,2,m; =1; 则 u( )= u()四、基数效用与序数效用 (Cardinal & Ordinal Util

7、ity)基数：实数：1，2，3,序数：第一，二，4，3，2，1区不：1.基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布),是实数; 序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，能够是整正数2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一) 原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, b+c; 其中 b, c , b0.而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为 16,9,4,1;或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.序数效用的存在性公理1.连通性(可比)2.传递性3.对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29 3.1)3.2 效用函数的构造一、离散型的概率

8、分布 后果元素有限各后果效用设定的步骤 NM法 由公理4: 若 ,则可找到 01, 使+(1-) 第一步： 选定 , C , 使 令 u()=0, u()=1 所选择的 、 应使比较易于进行.第二步：对 ,求(01), 使 +(1-) 则 u()=u(+(1-)= u()+(1-)u()第三步：若, 求(01), 使+(1-) 则u()=u(+(1-) )=u()+(1-)u( ) u( )=/(-1)第四步：若 , 求(0 0 u在x 处凹, 风险厌恶 r(x)=-u”(x)/u(x) = 0 u在x 处线性, 风险中立 0 在x处有递减的边缘价值 m(x)=-v”(x)/v(x)=0 在x

9、处有不变的边缘价值 0时u(x)通常是凹的 递减的边缘价值 风险厌恶 x0与x0的形状不同, 负债较多有追求风险的倾向.2.钞票的效用曲线的构成 设某人现有1000元存款(某商店有资产10万，企业有1000万等等) i, NM法(见3.2) 利用 +(1-) ii,修正的NM法 利用 0.5+0.5 例: 设u(0)=0), u(1000)=1 有3000.5+0.5 u(300)=0.5 又1250.5+0.5 u(125)=0.25 5500.5+0.5 u(550)=0.75 由00.5+0.5 设 a=-250 则u(-250)=-u(500)=-0.72 -2500.5+0.5缘故：i,价值函数是S型 ii,在一定范围内相对风险态度不变 iii,负债到一定程度以上有冒险倾向 Friedmann-Savage 效用曲线(1948): 3.4 损失、风险和贝叶斯风险一、损失函数L 有些文献采纳损失函数进行分析 u(c)=u(,a) l(,a)-u(,a) 则损失函数与效用作用相同 为了使损失值非负，可取 l(,a)= u(,a)-u(,a) 二、风险函数 自然状态集 参数空间 行动集 A 决策空间 观看值集 X 测度空间 决策规则 :xa , , 为策略空间 损失l(,a)=l(,(x) 由于X是随机变量，对给定的，采纳决策规则时定义风险函