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1、二、求高阶导数举例第四节一、高阶导数的定义高阶导数三、高阶导数的运算法则 第二章 一、高阶导数的定义速度即加速度即1. 引例 变速直线运动2. 定义二阶导数，记作(2)若函数的导数在区间(a, b)或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导(函)数 ,记作的导数为依次类推 ,分别记作二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 .上可导, 则称二、求高阶导数举例1. 逐阶求导法: 按高阶导数的定义逐阶求导.解例12. 归纳法:n 阶导数的一般表达式.逐阶求出若干阶导数后,再归纳出例2解由此结果可得下列重要结论:(1) 若为自然数n, 则(3)若=1,则由上

2、式易得(其中a为常数)(2)只要自然数mn, 就有3. 利用已知高阶导数法常用高阶导数公式：解 设求例34. 隐函数求高阶导数举例例4 由方程确定 , 求解方程两边对 x 求导,得再求导, 得当时,故由 得再代入 得5. 由参数方程所确定的函数求高阶导数举例若参数方程二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程, 可得中?已知注意 :例5解设, 且求三、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则(C为常数) 莱布尼茨(Leibniz) 公式及设函数用数学归纳法可证莱布尼茨公式成立 .例6求解 设则代入莱布尼兹公式 , 得解可导不一定存在，故用定义求例7内容小结1. 逐阶求导法2

3、. 利用归纳法3. 间接法 利用已知的高阶导数公式4. 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法：如,5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 从低到高每次都用参数方程求导公式.直接法思考题1. 如何求下列函数的 n 阶导数?解 解 2. (填空题) (1) 设则提示:各项均含因子 ( x 2 )(2) 已知任意阶可导, 且时提示:则当3. 设求使存在的最高分析: 但是不存在 .2又阶数备用题例1-1解解 设求其中 f 二阶可导.例1-2例2-1解例2-2解规定 0 ! = 1思考:求例2-3 设求解 一般地 ,类似可证:例2-4证假设：则例2-5 设解例3-1 解解例3-2例3-3 设解 令令x = 2,可得A = 1.求令x = 1,可得B = 1.解例3-4例4-1分析（不一致）（一致）（不一致）解例4-2解两边取对数两边对x求导数解例4-3例5-1解求由星形线的参数方程解所确定的函数y = y(x)的二阶导数.例5-2xyOa- a例6-1解

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