现代控制理论状态空间法.答案市公开课金奖市赛课一等奖课件

1、当代控制理论第一章 状态空间法第1页一.问题引出 1 -古典控制理论不足 1、仅适合用于SISO线性定常系统(外部描述，时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域方法.(理论) 3、设计是建立在试探基础上.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才能采取传递函数.控制系统状态空间描述第2页而实际上大多数系统表现为: 1、多输入，多输出.（抽象定义，系统含有合格性） 2、时变.（总是可找到一些参数是随时间改变） 3、非线性.（泛指运动本身非线性特征） 4、复杂性，复杂任务和高精度.第3页 所以古典控制理论处理问题受到限制,需要寻找新处理方法.这种方法或理论应要求: 1、描述多输入/

2、输出复杂系统方法和理论基础. 2、含有可计算形式. 3、解析式设计 4、能描述系统内部状态和终端行为(内部描述). 5、系统t=0松驰状态,非松驰状态,或非线性时变等情况下适用性.第4页 结论 -对研究内容界定和限制 所以对于一个多输入/输出系统来说: 1、采取在时域内进行建模，且因为是对实际物理系统进行模型描述，因而模型中全部变量和函数均假定为实数 。第5页 2、数学描述主要伎俩是微分方程，并应充分利用系统内部描述法来建立微分方程，以充分表述系统内部特征. 3、适合用于非初始松驰或非零初始条件系统状态. 4、主要研究线性连续时不变系统.第6页二.问题引出 2 -状态空间分析方法 经过一个实例

3、引出状态空间分析方法基本概念. 例:设有如图所表示网络第7页 显然,若流经电感初始电流及电容两端初始电压已知,则在任何电压驱动下,网络行为能唯一地确定。 从u到y网络传递函数求得为: (1) 故该网络脉冲响应为:(1) 第8页 现将输入电压u ,)施加于网络,且网络设定为时不变. (1)若在 时刻系统是松驰,则其输出为: (2) (2)若在 时刻非松驰（ 前有输入，系统有能量储存），则系统输出为: (3) 第9页 显然在 以前施加于系统输入能经过电容和电感能量存放对 之后输出产生影响. 现在我们考虑由未知输入u(-, 对y ,)影响,即: （4） 第10页 其中: 注意到 和 与t无关,所以假

4、如 和 已知,则由未知输入u(-, 引发在t 之后输出就完全能够确定。第11页由式（3）得到 并利用式（4）结果，得 （5） 对式(3)取关于t导数,并利用第12页得到:连同g(0)=0,就意味着有(6)联立式(5)和式(6),得到 第13页 从而若网络在 时刻非松驰则输出由下式给出: 结论:若 和 已知( 时刻系统一个状态),即使网络在 时刻非松驰,它在t u ,) 之后输出也能唯一被确定.显然是由 和 ，u ,)共同唯一地确定.第14页所以 和 能够作为网络状态,一样也可用 和 作为网络状态,而这两组数原函数是微分方程变量.从例子中也能够看出来,在无限区间(-, 上输入,其作用效果已综合在

5、 , 和 , 两个数中,所以状态概念非常有意义和有效.第15页从上述例子可得到以下结论: 1、系统状态不是唯一. 2、状态选择与物理量相关,普通应该是相互 独立储能元件物理量. 3、每一瞬时状态能够是仅由有限个数集合组成.第16页 定义1.状态 系统在时刻 状态乃是时刻 一个信息量,它与输入u ,)唯一地确定系统t 时行为。 注：系统行为指包含状态在内系统全部响应。 状态即指某一时刻,能够表征系统特征或行为数。而该数原函数则可称为状态变量,而这种函数不但能够描述某一时刻行为，并可在 ,)内描述行为,为此定义状态变量是:第17页 定义2.状态变量 状态变量是确定系统状态最小一组变量,假如以最少n

6、个变量 能够完全描述系统行为 (即当t 时输入和在t= 初始状态给定后,系统状态完全能够确定),那么 是一组状态变量.第18页 定义3.状态向量（有限个数状态变量集合） 假如将状态变量 作为向量x(t)各个分量,则称x(t)为状态向量,一旦给定 时刻状态向量, 则它与输入u ,)唯一地确定系统在 时状态x(t)。第19页 定义4.状态空间 若状态向量x(t),可唯一地由 空间中一组规范正交基底(单位坐标向量)线性组合表示,则状态向量x(t)是n维状态空间( ,n)中一个向量,全部状态向量x(t)集合组成n维状态空间( ,n) 或定义为: 通常状态变量均为有实际意义实数值,所以状态向量取值空间是

7、有限维实向量空间,称为状态空间。第20页 总结: (1)依据状态变量定义,状态变量应选取系统中相互独立储能元件物理量,独立储能元件个数即为状态变量个数. (2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数学描述所需,而非明确物理意义。 第21页 (3)状态变量是系统内部变量,普通情况下输出是状态函数,但输出总是希望可量测。 (4)仅讨论有限个状态变量系统。 (5)有限个数状态变量集合,称为状态向量。 (6)状态向量取值空间称为状态空间。第22页 例2,设下列图RLC网络,假如电流 ,电容电压 初始值和 时输入电压均已知,则 时网络状态完全由 , 确定.所以可将 和 作为这个系统一组状态变量.第2

8、3页 (注意:这个系统,也可将 (t)和R*i(t)选为一组状态变量) 设i(t)和 (t)作为一组状态向量,则描述系统动力学方程:第24页用向量矩阵形式表示,则上述方程可表示为: (1) 若设 ,则上式可简化为:第25页 , 当输出选定后,则能够量测输出,总是能够经过状态变量和输入线性组合得到. y=Cx+Du (2) 此例中 D=0, ,即第26页由此，我们能够得出，当代控制理论或状态空间分析方法是建立在系统采取有限个一阶微分方程描述基础上，而有限个一阶微分方程组成了向量矩阵方程，因而从本质上来说，当代控制理论分析方法是时域分析方法.第27页控制系统状态空间描述-线性系统状态空间表示式状态

9、空间表示式是描述系统行为数学模型,它包含状态方程和输出方程,状态方程由有限个一阶微分方程组成,而输出方程则是状态向量和输入函数.1.状态方程x(t)是n1维向量,A(t)是nn维向量,B(t)是nr维向量,u(t)是r1维向量,第28页(1)假如是线性定常系统,则 是常系数矩阵,则状态方程可写为:(2)假如是单输入系统,则状态方程描述了 时刻状态 和输入 所决定系统在 行为.第29页2.输出方程输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量往往是选取能够量测物理量)其输出变量与状态变量以及输入变量之间关系. 用其中: 是m1维向量, , 是mn维向量, , 是mr维向量, ,第30页 3.状态空间

10、表示式 1)线性时变系统: 2)线性时不变系统: 在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系统，即线性定常系统，所以本课程主要研究对象是线性定常系统。第31页4.状态空间描述结构图(或称状态变量图)例:依据上例画出结构图.解:先将例子写成下述形式 第32页则结构图为:第33页画法: 1)依据状态方程从方程右边开始画起. 2)经过积分步骤得到状态. 3)经过状态反馈组合得到状态微分 4)经过状态组合得到输出.第34页5.输入/输出描述和状态变量描述比较 (1)系统输入/输出描述仅揭示系统在初始松驰假定下输入输出间关系.所以对非松驰系统不能采取这种描述.尤为主要问题,此描述不能揭示非初始松驰时系统

11、将发生行为,也不能揭示系统内部行为. (2)对于甚为复杂线性系统,求其动态方程描述是很繁,在此情况下,借助于直接测量求取输入/输出描述可能稍轻易一些.第35页 (3)状态变量法中各种结果均能以传递函数法得到. (4)状态空间表示式能够推广到时变情形,且这种状态空间描述方程可适合用于各种当代设计方法. (5)在非线性系统研究中,能够依据不一样方法,而采取上述两种描述方法中一个. (6)采取状态空间描述形式,可方便地进行计算机仿真.第36页 三.状态空间表示式建立依据系统物理机理,直接写出状态空间表示式,如例2.方法:依据相关物理定律,或直接建立所选择状态变量一阶微分方程组.或将得到微分方程化为所

12、选状态变量一阶微分方程组.第37页 讨论: (1)这种方法要求系统是完全可数学描述,即结构和参数必须是确定物理系统. (2)系统是能描述简单物理系统.在普通情况下,只有简单物理系统才能直接建立按所选择状态变量一阶微分方程. (3)复杂物理系统,在这种情况下,对系统描述可能是n阶线性微分方程,故而需将高阶微分方程转成一阶微分方程形式.第38页依据系统微分方程建立状态空间表示式.1.输入项中不含输入导数项线性系统空间状态表示式系统描述为: (1) 第39页讨论:状态怎样选择对方程(1),若已知 和 则可完全确定系统在 行为,故而可选取 n个状态作为状态变量.注意到,从数学上讲,这种方法是方便,但在

13、实际情况下,输出中可能存在噪声效应,因而高阶微分是不准确,这是需要注意.第40页解:设则方程(1)可写成:(2) 第41页或写成矩阵形式:其中输出方程:第42页显然这种结果很轻易地推广到r个输入(但不含输入导数项)情形中,以一个例子说明.例: 设 为系统微分方程其中y为输出, 为输入,试求状态空间表示式.第43页解:设则及第44页即:其中 第45页2.输入中含有导数项n阶线性系统状态空间表示式.系统微分方程: (3)第46页讨论: 1)选择状态变量 显然 以及 和 就可唯一确定 时行为. 2)不能单纯将输入,输出作为状态变量,必须用输入/输出线性组合作为状态变量,且为了得到状态空间简约形式,状

14、态变量选择必须能消去状态方程中输入u导数项.第47页用两个方法来处理问题: (1)将方程(3)写成微分算子形式,即令 为微分算子,则原方程可写成 （4）y(t)亦可表示为: （5） 第48页设一新变量v(t),并令 (6) 将上式写成微分形式,则为:(7) 第49页取状态变量则上式又可写成状态方程 (8) 第50页将式(6)代入式(5)得到输出方程即 或 (9)式(8)和式(9)组成状态空间表示式显然,上述结果亦可方便地推广到多输入,多输出情形.第51页(2)选取适当状态变量以消去输入项中导数形式.设状态变量为: 式中第52页这么微分方程式(3)能够写成下述状态空间表示式.上述两情况下,含有A

15、阵形式矩阵称为相伴标准形矩阵或称友阵.第53页四.状态空间表示式(或动态方程)线性变换.对于状态空间表示式来说,因为状态变量选择非唯一性,所以所得到动态方程形式是不一样,但因为是描述同一系统,故而动态方程不论形式怎样,它们对系统行为描述应该提供一样多信息。第54页1.系统状态空间表示式非唯一性.对于选定状态变量x,则线性定常系统为: (11)第55页若存在非奇异矩阵P ,使 或 则式(11)变为 (12) 其中 ,初始条件变换第56页式(12)表明了状态空间表示式非唯一性,而其根本原因在于 ,即状态选取非唯一性，因为总是可找到非奇异P,使得讨论: (1)x和 为同一向量在线性空间是关于不一样基

16、底不一样表示,其中P也称为基底变换矩阵。 (2)A也被称为线性算子(本身映射),对于同一算子A,对于不一样基底也有不一样表示(如 )，但A和 是相同,即满足第57页 显而易见,同一算子关于不一样基底全部矩阵表示都是相同. 问题: (1)既然一个线性算子有各种表示,是否有可能选一组基底以使算子A表示最为简练. (2)在不一样基底下,线性算子含有不一样表示,那么它们特征值是否发生了改变.第58页2.系统特征值不变性(1)特征值定义,特征向量定义定义:设A为将 映射到本身线性算子 若存在C 中非零向量X 及C 中标量, 使得 则称为A特征值, 任何满足 非零向量X称为A特征向量.第59页 按定义,为

17、了寻找关于A特征值, 将 写成 其中I 是 单位阵, 对于方程 是齐次方程组，且 也是 ，该方程当且仅当 方程才有非零解。故当且仅当 是 根时,标量 才是A特征值,显然A阵共有n个特征根,当然它们未必是相异.(2)特征值不变性 易证实这一结论第60页3.化A阵为对角阵(化状态方程为对角线规范形)(特征值互异情况下)这里,实际上是为回答上述第一个问题-使A表示最简练.首先研究在A特征值是互异情形下: 不加证实地给出下述结论.若线性算子A或A阵含有互异特征值,则在选择特征向量作为基底情况下,算子A或A阵表示是一对角阵,对角线上元素即为其特征值.第61页详细来说:对于状态方程 若A特征值互异, 互异

18、,则存在非奇异矩阵P,进行变换 ,变换后状态方程为第62页其中A为对角阵,即且P由A阵特征向量 组成 满足易证 组成向量是线性无关.第63页上述方法成立一个主要基础是需证实 线性无关,若作为基底,则 是A关于基底表示。一个特殊情况,若A为友阵时,则可直接给出变换阵P称P 为范德蒙矩阵,它能使友阵A,作相同变换后得第64页4.化状态方程为约当规范形(化A阵为约当形矩阵)这种情形实际是A阵特征值有重根情形.-假如A阵有重根则只能化成约当形矩阵约当规范形推导比较复杂,我们这里不加证实地给出下述结论:第65页设A特征值有q个重根,其余(n-q)个根为互异根,将A阵化为约当规范形形式为:第66页对应变换矩阵 其中 是对应于n-q个互异单根特征向量,求法同对角规范形。 是对应于q个重根各特征向量